Nombres complexes — point de vue géométrique

Cours

1. Argument et forme trigonométrique

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, tout nombre complexe $z$ non nul correspond à un point $M$ appelé image de $z$, et $z$ est appelé affixe de $M$.

L'argument de $z$, noté $\arg(z)$, est une mesure (en radians, modulo $2\pi$) de l'angle $\left(\vec{u}\,, \overrightarrow{OM}\right)$.

Tout nombre complexe non nul s'écrit sous forme trigonométrique :

$$z = r(\cos\theta + i\sin\theta) \quad \text{avec } r = |z| \text{ et } \theta = \arg(z)$$

2. Forme exponentielle

On note $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$. Tout nombre complexe non nul s'écrit alors sous forme exponentielle :

$$z = re^{i\theta}$$

Exemple

$z = 1+i$ a pour module $r = \sqrt{2}$ et pour argument $\theta = \dfrac{\pi}{4}$, donc $z = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$.

3. Propriétés du module et de l'argument

Pour tous nombres complexes non nuls $z, z'$ et tout entier $n$ :

$$|zz'| = |z||z'|, \qquad \left|\dfrac{z}{z'}\right| = \dfrac{|z|}{|z'|}, \qquad |z^n| = |z|^n$$

$$\arg(zz') = \arg(z) + \arg(z') \ [2\pi], \qquad \arg\!\left(\dfrac{z}{z'}\right) = \arg(z) - \arg(z') \ [2\pi], \qquad \arg(z^n) = n\arg(z) \ [2\pi]$$

4. Formule de Moivre et formules d'Euler

Formule de Moivre : pour tout $\theta \in \mathbb{R}$ et tout $n \in \mathbb{Z}$,

$$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$$

Formules d'Euler : pour tout $\theta \in \mathbb{R}$,

$$\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}, \qquad \sin\theta = \dfrac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$$

Les formules d'Euler permettent notamment de linéariser des expressions comme $\cos^2\theta$ ou $\sin^3\theta$ (les transformer en une somme de cosinus/sinus d'angles multiples).

5. Interprétation géométrique

Si $M$ et $M'$ ont pour affixes $z$ et $z'$, alors :

$|z'-z|$ est la distance $MM'$
La translation de vecteur d'affixe $b$ transforme $M(z)$ en $M'(z+b)$
La rotation de centre $O$ et d'angle $\theta$ transforme $M(z)$ en $M'(z')$ avec $z' = e^{i\theta}z$
L'ensemble des points $M(z)$ tels que $|z| = r$ est le cercle de centre $O$ et de rayon $r$

6. Liens utiles

Exercices Corrigés

Déterminer le module et un argument de $z = 1+i$.

Écrire $z = -2i$ sous forme exponentielle.

Soit $z_1 = 2e^{i\pi/3}$ et $z_2 = 3e^{i\pi/6}$. Calculer $z_1 z_2$ sous forme exponentielle.

Utiliser la formule de Moivre pour calculer $\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)^{12}$.

Déterminer l'affixe du point image de $A$ d'affixe $z_A = 2+i$ par la rotation de centre $O$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^3 = 1$.

Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z-1| = |z+i|$.

Écrire $z = \sqrt{3}+i$ sous forme trigonométrique.

À l'aide des formules d'Euler, exprimer $\cos^2\theta$ en fonction de $\cos(2\theta)$.

Déterminer le module et un argument de $z = \dfrac{1+i}{1-i}$.

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QCM noté — Nombres complexes (forme géométrique) 10 questions · ⏱ 20 min