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Loi binomiale

Cours

Fiche Loi binomiale – Terminale Spé
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Épreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire où seules deux issues sont possibles :

  • le succès \( S \)
  • l’échec \( \overline{S} \)
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Schéma de Bernoulli

On répète \( n \) fois une même épreuve de Bernoulli, dans les mêmes conditions (indépendance). Cette succession d’épreuves est appelée un schéma de Bernoulli.

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Exemple : 3 successions d’épreuves de Bernoulli.

Loi de Bernoulli

On considère une épreuve de Bernoulli dont le succès est de probabilité \( p \). On note \( X \) la variable aléatoire représentant l’issue de cette épreuve.

\( X = k \)Succès \( S \)Échec \( \overline{S} \)
\( P(X=k) \)\( p \)\( 1-p \)

Loi binomiale

On répète \( n \) fois une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès \( p \). On note \( X \) le nombre de succès obtenus.

On dit que \( X \) suit la loi binomiale de paramètres \( n \) et \( p \), notée :

\[ X \sim \mathcal{B}(n,p) \]

\( n! \) : Factorielle

  • \( n! = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n \)
  • Par convention : \( 0! = 1 \)
  • \( n! \) est le nombre de permutations d’un ensemble de \( n \) éléments

\( C_n^k \) : Coefficient binomial

Pour \( k \in \{0,1,\dots,n\} \) :

\[ C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Il représente le nombre de sous‑ensembles à \( k \) éléments parmi \( n \) éléments.

Triangle de Pascal

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Probabilité

Si \( X \sim \mathcal{B}(n,p) \), alors pour tout entier \( k \in [0,n] \) :

\[ P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \]

Espérance, variance et écart-type

Si \( X \sim \mathcal{B}(n,p) \), alors :

  • Espérance : \( E(X)=np \)
  • Variance : \( V(X)=np(1-p) \)
  • Écart-type : \( \sigma(X)=\sqrt{np(1-p)} \)

Exemples : \( X \sim \mathcal{B}(40,p) \)

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Exercices Corrigés

On tire 5 fois de suite, avec remise, une boule dans une urne contenant 30% de boules rouges. Justifier qu'on est dans un schéma de Bernoulli.
Calculer $\binom{5}{2}$.
Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi $\mathcal{B}(5;0{,}4)$. Calculer $P(X=3)$.
Soit $X \sim \mathcal{B}(10;0{,}2)$. Calculer $P(X=0)$.
Soit $X \sim \mathcal{B}(20;0{,}3)$. Calculer $E(X)$ et $V(X)$.
Soit $X \sim \mathcal{B}(4;0{,}5)$. Calculer $P(X \leq 1)$.
Un QCM de 10 questions indépendantes à 4 choix est répondu au hasard. Soit $X$ le nombre de bonnes réponses. Donner la loi de $X$ et calculer $E(X)$.
Une urne contient 30% de boules rouges. On tire 8 boules avec remise. Calculer $P(X=2)$.
Soit $X \sim \mathcal{B}(6;0{,}1)$. Calculer $P(X \geq 1)$ à l'aide de l'événement contraire.
Une chaîne de production a un taux de défaut de 5%. On prélève 15 pièces. Calculer $P(X \leq 1)$.

QCM notés

QCM noté — Loi binomiale 10 questions · ⏱ 20 min

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