Loi binomiale

Rappel de cours :
Un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ consiste en la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes :

• Chaque épreuve n'a que deux issues possibles : le Succès $S$ et l'Échec $E$ (ou $\overline{S}$).
• Les épreuves sont indépendantes les unes des autres (la probabilité de succès $p$ reste constante à chaque tirage).

Pour justifier que cette expérience constitue un schéma de Bernoulli, vérifions point par point les conditions nécessaires :

Description d'une épreuve de Bernoulli :

Un tirage d'une boule constitue une épreuve de Bernoulli comportant deux issues possibles :

• Succès ($S$) : « La boule tirée est rouge », de probabilité $p = 0{,}30$ (car 30 % des boules sont rouges).
• Échec ($\overline{S}$) : « La boule tirée n'est pas rouge », de probabilité $q = 1 - p = 0{,}70$.

Répétition et Indépendance :

• L'expérience est répétée $n = 5$ fois de manière identique.
• Les tirages s'effectuant avec remise, la composition de l'urne reste strictement inchangée d'un tirage à l'autre. Les tirages sont donc indépendants et la probabilité de succès $p = 0{,}30$ demeure constante à chaque tirage.

L'expérience est une répétition de $n = 5$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de paramètre $p = 0{,}30$.
Il s'agit donc bien d'un schéma de Bernoulli de paramètres $n = 5$ et $p = 0{,}30$.

Formule générale :
Pour tous entiers naturels $n$ et $k$ tels que $0 \leq k \leq n$ : $$\dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$$

Application de la formule :

$$\dbinom{5}{2} = \dfrac{5!}{2!(5-2)!} = \dfrac{5!}{2! \times 3!}.$$

Décomposition des factorielles :

$$\dbinom{5}{2} = \dfrac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (3 \times 2 \times 1)}.$$

Simplification par $3!$ :

$$\dbinom{5}{2} = \dfrac{5 \times 4}{2 \times 1} = \dfrac{20}{2} = 10.$$

Rappel de cours :
Si $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$, alors pour tout entier $k \in \{0, 1, \dots, n\}$ : $$P(X = k) = \dbinom{n}{k} \, p^k \, (1-p)^{n-k}.$$

Identification des paramètres :

• Nombre d'épreuves : $n = 5$
• Probabilité de succès : $p = 0{,}4$
• Probabilité d'échec : $1 - p = 0{,}6$
• Nombre de succès cherché : $k = 3$

Calcul du coefficient binomial :

$$\dbinom{5}{3} = \dfrac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10.$$

Application numérique :

$$\begin{align*} P(X = 3) &= \dbinom{5}{3} \times (0{,}4)^3 \times (0{,}6)^{5-3} \\ &= 10 \times (0{,}4)^3 \times (0{,}6)^2 \\ &= 10 \times 0{,}064 \times 0{,}36 \\ &= 0{,}2304. \end{align*}$$

Rappel de cours :
Si $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$, alors pour tout entier $k \in \{0, 1, \dots, n\}$ : $$P(X = k) = \dbinom{n}{k} \, p^k \, (1-p)^{n-k}$$ En particulier pour $k = 0$ : $$P(X = 0) = (1-p)^n.$$

Identification des paramètres :

• Nombre d'épreuves : $n = 10$
• Probabilité de succès : $p = 0{,}2$
• Probabilité d'échec : $1 - p = 0{,}8$
• Nombre de succès cherché : $k = 0$.

Application de la formule :

$$\begin{align*} P(X = 0) &= \dbinom{10}{0} \times (0{,}2)^0 \times (0{,}8)^{10} \\ &= 1 \times 1 \times 0{,}8^{10} \\ &= 0{,}8^{10} \\ &\approx 0{,}1074. \end{align*}$$

Rappel de cours :
Si $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ :

• Espérance : $E(X) = n \times p$
• Variance : $V(X) = n \times p \times (1-p)$
• Écart type : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$

Identification des paramètres :

• Nombre d'épreuves : $n = 20$
• Probabilité de succès : $p = 0{,}3$
• Probabilité d'échec : $1 - p = 0{,}7$

Calcul de l'espérance $E(X)$ :

$$E(X) = n \times p = 20 \times 0{,}3 = 6.$$

Calcul de la variance $V(X)$ :

$$V(X) = n \times p \times (1-p) = 20 \times 0{,}3 \times 0{,}7 = 6 \times 0{,}7 = 4{,}2.$$

Rappel de cours :
Pour une variable aléatoire discrète $X$ à valeurs entières : $$P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$$ Si $X \sim \mathcal{B}(n, p)$, la probabilité d'obtenir $k$ succès est donnée par : $$P(X = k) = \dbinom{n}{k} \, p^k \, (1-p)^{n-k}.$$

Identification des paramètres :

• $n = 4$
• $p = 0{,}5$
• $1 - p = 0{,}5$.

Calcul de $P(X = 0)$ :

$$P(X = 0) = \dbinom{4}{0} \times (0{,}5)^0 \times (0{,}5)^4 = 1 \times 1 \times 0{,}0625 = 0{,}0625.$$

Calcul de $P(X = 1)$ :

$$P(X = 1) = \dbinom{4}{1} \times (0{,}5)^1 \times (0{,}5)^3 = 4 \times 0{,}5 \times 0{,}125 = 0{,}25.$$

Somme des probabilités :

$$\begin{align*} P(X \leq 1) &= P(X = 0) + P(X = 1) \\ &= 0{,}0625 + 0{,}25 \\ &= 0{,}3125. \end{align*}$$

Identification de la loi de $X$ :

• Chaque question constitue une épreuve de Bernoulli avec deux issues :
  • Succès ($S$) : « Répondre correctement », de probabilité $p = \dfrac{1}{4} = 0{,}25$.
  • Échec ($\overline{S}$) : « Répondre de manière incorrecte », de probabilité $1 - p = \dfrac{3}{4} = 0{,}75$.
• Cette épreuve est répétée $n = 10$ fois de façon identique et indépendante (car l'élève répond au hasard à chaque question).

La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès sur les $10$ épreuves. $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p = 0{,}25$ :

$$X \sim \mathcal{B}(10 \,;\, 0{,}25)$$

Calcul de l'espérance $E(X)$ :

Pour une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$, l'espérance est donnée par la formule $E(X) = n \times p$.

$$E(X) = 10 \times 0{,}25 = 2{,}5$$

Rappel de cours :
Les tirages étant effectués de façon identique et indépendante (avec remise), $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ avec $n = 8$ et $p = 0{,}3$.
Pour tout entier $k \in \{0, 1, \dots, n\}$ : $$P(X = k) = \dbinom{n}{k} \, p^k \, (1-p)^{n-k}.$$

Identification des paramètres :

• Nombre d'épreuves : $n = 8$
• Probabilité de succès : $p = 0{,}3$
• Probabilité d'échec : $1 - p = 0{,}7$
• Nombre de succès cherché : $k = 2$.

Calcul du coefficient binomial :

$$\dbinom{8}{2} = \dfrac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28.$$

Application numérique :

$$\begin{align*} P(X = 2) &= \dbinom{8}{2} \times (0{,}3)^2 \times (0{,}7)^{8-2} \\ &= 28 \times (0{,}3)^2 \times (0{,}7)^6 \\ &= 28 \times 0{,}09 \times 0{,}117649 \\ &\approx 0{,}2965. \end{align*}$$

Rappel de cours :
L'événement contraire de « au moins un succès » ($X \geq 1$) est « aucun succès » ($X = 0$).
On a donc la relation : $$P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$$ Pour $X \sim \mathcal{B}(n, p)$, la probabilité $P(X = 0)$ s'exprime simplement par : $$P(X = 0) = (1-p)^n.$$

Identification des paramètres :

• $n = 6$
• $p = 0{,}1$
• $1 - p = 0{,}9$

Calcul de la probabilité de l'événement contraire $P(X = 0)$ :

$$\begin{align*} P(X = 0) &= \dbinom{6}{0} \times (0{,}1)^0 \times (0{,}9)^6 \\ &= 1 \times 1 \times (0{,}9)^6 \\ &= 0{,}9^6 \\ &= 0{,}531441. \end{align*}$$

Calcul de $P(X \geq 1)$ :

$$\begin{align*} P(X \geq 1) &= 1 - P(X = 0) \\ &= 1 - 0{,}9^6 \\ &= 1 - 0{,}531441 \\ &= 0{,}468559. \end{align*}$$

Rappel de cours :
Le prélèvement de chaque pièce est une épreuve de Bernoulli avec :

• Succès ($S$) : « La pièce est défectueuse », de probabilité $p = 0{,}05$.
• Échec ($\overline{S}$) : « La pièce n'est pas défectueuse », de probabilité $1 - p = 0{,}95$.

Les $15$ tirages étant identiques et indépendants, $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(15 \,;\, 0{,}05)$.
La probabilité $P(X \leq 1)$ se calcule par : $$P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1).$$

Identification des paramètres :

• $n = 15$
• $p = 0{,}05$
• $1 - p = 0{,}95$

Calcul de $P(X = 0)$ :

$$\begin{align*} P(X = 0) &= \dbinom{15}{0} \times (0{,}05)^0 \times (0{,}95)^{15} \\ &= 1 \times 1 \times (0{,}95)^{15} \\ &= 0{,}95^{15} \approx 0{,}46329. \end{align*}$$

Calcul de $P(X = 1)$ :

$$\begin{align*} P(X = 1) &= \dbinom{15}{1} \times (0{,}05)^1 \times (0{,}95)^{14} \\ &= 15 \times 0{,}05 \times (0{,}95)^{14} \\ &= 0{,}75 \times (0{,}95)^{14} \approx 0{,}36576. \end{align*}$$

Somme des probabilités :

$$\begin{align*} P(X \leq 1) &= P(X = 0) + P(X = 1) \\ &= 0{,}95^{15} + 0{,}75 \times 0{,}95^{14} \\ &\approx 0{,}46329 + 0{,}36576 \\ &\approx 0{,}82905. \end{align*}$$