Logarithme népérien

1. Définition

La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est la fonction réciproque de la fonction exponentielle : pour tout $x>0$, $\ln(x)$ est l'unique réel $y$ tel que $e^y=x$.

$$\ln(1) = 0, \qquad \ln(e) = 1$$

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ et tout $y>0$ : $e^{\ln y} = y$ et $\ln(e^x) = x$.

2. Propriétés algébriques

Pour tous réels strictement positifs $a$ et $b$, et tout entier $n$ :

$$\ln(ab) = \ln(a)+\ln(b), \qquad \ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln(a)-\ln(b), \qquad \ln(a^n) = n\ln(a), \qquad \ln\left(\dfrac{1}{a}\right) = -\ln(a)$$

3. Dérivée

La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et $\left(\ln x\right)' = \dfrac{1}{x}$.

Plus généralement, pour $u$ dérivable et strictement positive, $\left(\ln u\right)' = \dfrac{u'}{u}$.

4. Variations et limites

La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ (car sa dérivée $\frac{1}{x}$ est toujours strictement positive).

$$\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty, \qquad \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$$

5. Croissance comparée

Le logarithme « perd » face aux fonctions polynômes :

$$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0$$

6. Résolution d'équations et inéquations

Par injectivité et stricte croissance du logarithme, pour tous réels strictement positifs $a, b$ :

$$\ln(a) = \ln(b) \iff a=b, \qquad \ln(a) < \ln(b) \iff a < b$$

Pour résoudre $e^x = k$ (avec $k>0$), on obtient $x = \ln(k)$.