Nombres complexes — point de vue algébrique
Cours
1. Définition et forme algébrique
L'ensemble des nombres complexes, noté $\mathbb{C}$, est un ensemble de nombres contenant $\mathbb{R}$ et muni d'un nombre $i$ vérifiant $i^2 = -1$.
Tout nombre complexe $z$ s'écrit de manière unique sous la forme algébrique :
$$z = a + ib \quad \text{avec } a, b \in \mathbb{R}$$
$a$ est appelé la partie réelle de $z$, notée $\text{Re}(z)$ ; $b$ est la partie imaginaire de $z$, notée $\text{Im}(z)$ (c'est un nombre réel, pas un nombre complexe).
Si $b = 0$, $z$ est réel. Si $a = 0$ et $b \neq 0$, $z$ est un imaginaire pur.
2. Opérations sur les nombres complexes
Les opérations se font comme sur les nombres réels, en utilisant $i^2 = -1$ :
$$(a+ib) + (c+id) = (a+c) + i(b+d)$$
$$(a+ib)(c+id) = (ac - bd) + i(ad + bc)$$
Exemple
$(2+3i)(1-i) = 2 - 2i + 3i - 3i^2 = 2 + i + 3 = 5 + i$.
3. Conjugué d'un nombre complexe
Le conjugué de $z = a+ib$ est le nombre complexe $\bar{z} = a - ib$.
Propriétés, pour tous $z, z' \in \mathbb{C}$ :
$$z + \bar{z} = 2\,\text{Re}(z), \qquad z - \bar{z} = 2i\,\text{Im}(z)$$
$$\overline{z + z'} = \bar{z} + \overline{z'}, \qquad \overline{z \times z'} = \bar{z} \times \overline{z'}$$
Un nombre complexe $z$ est réel si et seulement si $\bar{z} = z$ ; il est imaginaire pur si et seulement si $\bar{z} = -z$.
4. Module d'un nombre complexe
Le module de $z = a + ib$ est le nombre réel positif :
$$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$$
Propriété fondamentale, très utile pour calculer un quotient :
$$z \times \bar{z} = a^2 + b^2 = |z|^2$$
Pour calculer l'inverse ou un quotient, on multiplie par le conjugué du dénominateur :
$$\frac{1}{a+ib} = \frac{a-ib}{(a+ib)(a-ib)} = \frac{a-ib}{a^2+b^2}$$
5. Équations du second degré à coefficients réels
Pour résoudre $az^2 + bz + c = 0$ avec $a, b, c \in \mathbb{R}$ et $a \neq 0$, on calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ :
- Si $\Delta > 0$ : deux solutions réelles distinctes $\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
- Si $\Delta = 0$ : une solution réelle double $\dfrac{-b}{2a}$
- Si $\Delta < 0$ : deux solutions complexes conjuguées $\dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$
Exemple
Pour $z^2 - 4z + 13 = 0$ : $\Delta = 16 - 52 = -36 < 0$. Les solutions sont $z = \dfrac{4 \pm i\sqrt{36}}{2} = 2 \pm 3i$.
6. Puissances de i
Les puissances de $i$ sont périodiques de période 4 :
$$i^0 = 1, \quad i^1 = i, \quad i^2 = -1, \quad i^3 = -i, \quad i^4 = 1, \ldots$$
Pour calculer $i^n$, on détermine le reste de la division euclidienne de $n$ par $4$.
Exemple
$i^{2023}$ : $2023 = 4 \times 505 + 3$, donc $i^{2023} = i^3 = -i$.
7. Équations $z^2 = a$ avec $a$ réel négatif
Pour résoudre $z^2 = a$ avec $a < 0$, on écrit $a = -|a|$ et on utilise $z^2 = -|a| = (i\sqrt{|a|})^2$, d'où :
$$z = i\sqrt{|a|} \quad \text{ou} \quad z = -i\sqrt{|a|}$$
Exemple
$z^2 = -9$ : les solutions sont $z = 3i$ et $z = -3i$.