Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes :
$A=(x+1)(x+3)$
$\quad$
$B=(2x+8)(x+5)$
$\quad$
$C=(4x-1)(x+2)$
$\quad$
$D=(5x+4)(4x+7)$
$\quad$
$E=(4x+3)(3x-2)$
$\quad$
$F=(7x-4)(2x-1)$
$\quad$
$\begin{align*}A&=(x+1)(x+3) \\
&=x^2+3x+x+3 \\
&=x^2+4x+3
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} B&=(2x+8)(x+5) \\
&=2x^2+10x+8x+40 \\
&=2x^2+18x+40
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}C&=(4x-1)(x+2) \\
&=4x^2+8x-x-2\\
&=4x^2+7x-2
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}D&=(5x+4)(4x+7) \\
&=20x^2+35x+16x+28\\
&=20x^2+51x+28
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}E&=(4x+3)(3x-2) \\
&=12x^2-8x+9x-6\\
&=12x^2+x-6
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} F&=(7x-4)(2x-1) \\
&=14x^2-7x-8x+4\\
&=14x^2-15x+4
\end{align*}$
$\quad$
Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes en utilisant les identités remarquables.
$A=(4x+3)^2$
$\quad$
$B=(6x-7)^2$
$\quad$
$C=(5x+4)(5x-4)$
$\quad$
$D=(3x+7)^2$
$\quad$
$E=(7x-5)^2$
$\quad$
$F=(3x-5)(3x+5)$
$\quad$
$G=(7-4x)^2$
$\quad$
$H=(2x+9)^2$
$\quad$
$I=(6-2x)(6+2x)$
$\quad$
$\begin{align*} A&=(4x+3)^2 \\
&=(4x)^2+2\times 4x\times 3+3^2 \\
&=16x^2+24x+9
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} B&=(6x-7)^2 \\
&=(6x)^2-2\times 6x \times 7 + 7^2 \\
&=36x^2-84x+49
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}C&=(5x+4)(5x-4) \\
&=(5x)^2-4^2 \\
&=25x^2-16
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} D&=(3x+7)^2 \\
&=(3x)^2+2\times 3x \times 7 + 7^2 \\
&=9x^2+42x+49
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} E&=(7x-5)^2 \\
&=(7x)^2-2\times 7x \times 5+5^2 \\
&=49x^2-70x+25
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} F&=(3x-5)(3x+5) \\
&=(3x)^2-5^2 \\
&=9x^2-25
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} G&=(7-4x)^2 \\
&=7^2-2\times 7 \times 4x + (4x)^2 \\
&=49-56x+16x^2
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} H&=(2x+9)^2 \\
&=(2x)^2+2\times 2x \times 9 + 9^2 \\
&=4x^2+36x+81
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} I&=(6-2x)(6+2x) \\
&=6^2-(2x)^2 \\
&=36-4x^2
\end{align*}$
Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes en utilisant les identités remarquables.
$A=\left(x+\dfrac{1}{3}\right)^2$
$\quad$
$B=\left(2x-\dfrac{1}{2}\right)^2$
$\quad$
$C=\left(6x+\dfrac{2}{5}\right)\left(6x-\dfrac{2}{5}\right)$
$\quad$
$D=\left(3x+\dfrac{7}{6}\right)^2$
$\quad$
$E=\left(3x-\dfrac{4}{3}\right)^2$
$\quad$
$F=\left(\dfrac{7}{4}x+\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{7}{4}x-\dfrac{1}{2}\right)$
$\quad$
$G=\left(2x-\dfrac{5}{2}\right)^2$
$\quad$
$H=\left(3x-\dfrac{7}{3}\right)^2$
$\quad$
$\begin{align*} A&=\left(x+\dfrac{1}{3}\right)^2 \\
&=x^2+2 \times x\times \dfrac{1}{3} + \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 \\
&=x^2+\dfrac{2}{3}x + \dfrac{1}{9}
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} B&=\left(2x-\dfrac{1}{2}\right)^2 \\
&=(2x)^2-2\times 2x \times \dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 \\
&=4x^2-2x+\dfrac{1}{4}
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} C&=\left(6x+\dfrac{2}{5}\right)\left(6x-\dfrac{2}{5}\right) \\
&=(6x)^2-\left(\dfrac{2}{5}\right)^2 \\
&=36x^2-\dfrac{4}{25}
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}D&=\left(3x+\dfrac{7}{6}\right)^2 \\
&=(3x)^2+2\times 3x \times \dfrac{7}{6}+\left(\dfrac{7}{6}\right)^2 \\
&=9x^2+7x+\dfrac{49}{36}
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} E&=\left(3x-\dfrac{4}{3}\right)^2 \\
&=(3x)^2-2\times 3x \times \dfrac{4}{3}+\left(\dfrac{4}{3}\right)^2 \\
&=9x^2-8x+\dfrac{16}{9}
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}F&=\left(\dfrac{7}{4}x+\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{7}{4}x-\dfrac{1}{2}\right) \\
&=\left(\dfrac{7}{4}x\right)^2-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 \\
&=\dfrac{49}{16}x^2-\dfrac{1}{4}
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} G&=\left(2x-\dfrac{5}{2}\right)^2 \\
&=(2x)^2-2\times 2x\times \dfrac{5}{2}+\left(\dfrac{5}{2}\right)^2 \\
&=4x^2-10x+\dfrac{25}{4}
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}H&=\left(3x-\dfrac{7}{3}\right)^2 \\
&=(3x)^2-2\times 3x\times \dfrac{7}{3}+\left(\dfrac{7}{3}\right)^2 \\
&=9x^2-14x+\dfrac{49}{9}
\end{align*}$
$\quad$
Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes.
$A=(3x+1)(4x+2)-5(2x-3)$
$\quad$
$B=(4x-1)(5x-3)+7(3x-1)$
$\quad$
$C=(5x-4)(3x+7)+(4x-2)(5x+9)$
$\quad$
$D=(x-2)(x+2)-(2x+1)(3x-2)$
$\quad$
$E=4(3x+1)^2-(2x+3)(2x-3)$
$\quad$
$\begin{align*}A&=(3x+1)(4x+2)-5(2x-3) \\
&=12x^2+6x+4x+2-(10x-15) \\
&=12x^2+10x+2-10x+15 \\
&=12x^2+17
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} B&=(4x-1)(5x-3)+7(3x-1) \\
&=20x^2-12x-5x+3+21x-7\\
&=20x^2+4x-4
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}C&=(5x-4)(3x+7)+(4x-2)(5x+9) \\
&=15x^2+35x-12x-28+20x^2+36x-10x-18\\
&=35x^2+49x-46
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}D&=(x-2)(x+2)-(2x+1)(3x-2) \\
&=x^2-2^2-\left(6x^2-4x+3x-2\right) \\
&=x^2-4-\left(6x^2-x-2\right) \\
&=x^2-4-6x^2+x+2\\
&=-5x^2+x-2
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} E&=4(3x+1)^2-(2x+3)(2x-3) \\
&=4\left((3x)^2+2\times 3x\times 1 + 1\right)-\left((2x)^2-3^2\right) \\
&=4\left(9x^2+6x+1\right)-\left(4x^2-9\right) \\
&=36x^2+24x+4-4x^2+9\\
&=32x^2+24x+13
\end{align*}$
$\quad$
Factoriser
$A=5(x+1)+x(x+1)$
$\quad$
$B=(x-1)(2x+3)+(x-1)(5x-2)$
$\quad$
$C=(2x-5)(4x-3)-(2x-5)(3x-1)$
$\quad$
$D=2(3x-1)(x+3)-3(x+3)(4x+1)$
$\quad$
$E=2(3-x)(2x+5)-(2x+5)$
$\quad$
$F=-3(x+1)(1-x)+(1-x)(7x-8)$
$\quad$
$G=(5x-2)+4(2x+1)(5x-2)$
$\quad$
$A=5\underline{(x+1)}+x\underline{(x+1)} = (x+1)(5+x)$
$\quad$
$\begin{align*} B&=\underline{(x-1)}(2x+3)+\underline{(x-1)}(5x-2) \\
&=(x-1)\left[(2x+3)+(5x-2)\right] \\
&=(x-1)(2x+3+5x-2)\\
&=(x-1)(7x+1)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} C&=\underline{(2x-5)}(4x-3)-\underline{(2x-5)}(3x-1) \\
&=(2x-5)\left[(4x-3)-(3x-1)\right] \\
&=(2x-5)(4x-3-3x+1)\\
&=(2x-5)(x-2)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}D&=2(3x-1)\underline{(x+3)}-3\underline{(x+3)}(4x+1) \\
&=(x+3)\left[2(3x-1)-3(4x+1)\right] \\
&=(x+3)(6x-2-12x-3) \\
&=(x+3)(-6x-5)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} E&=2(3-x)(2x+5)-(2x+5) \\
&=2(3-x)\underline{(2x+5)}-\underline{(2x+5)} \times 1 \\
&=(2x+5)\left[2(3-x)-1\right] \\
&=(2x+5)(6-2x-1) \\
&=(2x+5)(-2x+5)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}F&=-3(x+1)\underline{(1-x)}+\underline{(1-x)}(7x-8) \\
&=(1-x)\left[-3(x+1)+(7x-8)\right] \\
&=(1-x)(-3x-3+7x-8) \\
&=(1-x)(4x-11)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}G&=(5x-2)+4(2x+1)(5x-2) \\
&=\underline{(5x-2)}\times 1+4(2x+1)\underline{(5x-2)} \\
&=(5x-2)\left[1+4(2x+1)\right] \\
&=(5x-2)(1+8x+4) \\
&=(5x-2)(5+8x)
\end{align*}$
Factoriser en utilisant des identités remarquables.
$A=x^2-10x+25$
$\quad$
$B=9+6x+x^2$
$\quad$
$C=1-x^2$
$\quad$
$D=4x^2+12x+9$
$\quad$
$E=x^2-16$
$\quad$
$F=9x^2-4$
$\quad$
$G=9x^2-6x+1$
$\quad$
$H=25-4x^2$
$\quad$
$\begin{align*} A&=x^2-10x+25 \\
&=x^2-2\times x \times 5+5^2 \\
&=(x-5)^2
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}B&=9+6x+x^2 \\
&=3^2+2\times 3 \times x+x^2 \\
&=(3+x)^2
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}C&=1-x^2 \\
&=1^2-x^2 \\
&=(1-x)(1+x)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}D&=4x^2+12x+9 \\
&=(2x)^2+2\times 2x \times 3 +3^2 \\
&=(2x+3)^2
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}E&=x^2-16 \\
&=x^2-4^2\\
&=(x-4)(x+4)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}F&=9x^2-4 \\
&=(3x)^2-2^2 \\
&=(3x-2)(3x+2)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}G&=9x^2-6x+1 \\
&=(3x)2-2\times 3x \times 1+1^2 \\
&=(3x-1)^2
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}H&=25-4x^2 \\
&=5^2-(2x)^2 \\
&=(5-2x)(5+2x)
\end{align*}$
$\quad$
Factoriser en utilisant au préalable une identité remarquable.
$A=x^2-4+(x+2)(x+3)$
$\quad$
$B=x^2+6x+9-(x+3)(x-1)$
$\quad$
$C=(3x-2)(x+5)+9x^2-4$
$\quad$
$D=9x^2-1+(3x+1)(2x+3)$
$\quad$
$E=x^2-4x+4+(x+3)(x-2)$
$\quad$
$\begin{align*} A&=x^2+(x+2)(x+3) \\
&=x^2-2^2+(x+2)(x+3) \\
&=(x-2)\underline{[(x+2)}+\underline{(x+2)}(x+3) \\
&=(x+2)\left[(x-2)+(x+3)\right] \\
&=(x+2)(x-2+x+3) \\
&=(x+2)(2x+1)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} B&=x^2+6x+9-(x+3)(x-1) \\
&=x^2+2\times x \times 3 + 3^2-(x+3)(x-1) \\
&=(x+3)^2-(x+3)(x-1) \\
&=\underline{(x+3)}(x+3)-\underline{(x+3)}(x-1) \\
&=(x+3)\left[(x+3)-(x-1)\right] \\
&=(x+3)(x+3-x+1) \\
&=(x+3)(4) \\
&=4(x+3)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}C&=(3x-2)(x+5)+9x^2-4 \\
&=(3x-2)(x+5)+(3x)^2-2^2 \\
&=\underline{(3x-2)}(x+5)+\underline{(3x-2)}(3x+2) \\
&=(3x-2)\left[(x+5)+(3x+2)\right] \\
&=(3x-2)(x+5+3x+2) \\
&=(3x-2)(4x+7)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}D&=9x^2-1+(3x+1)(2x+3) \\
&=(3x)^2-1^2+(3x+1)(2x+3) \\
&=(3x-1)\underline{(3x+1)}+\underline{(3x+1)}(2x+3) \\
&=(3x+1)\left[(3x-1)+(2x+3)\right] \\
&=(3x+1)(3x-1+2x+3) \\
&=(3x+1)(5x+2)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}E&=x^2-4x+4+(x+3)(x-2) \\
&=x^2-2\times x\times 2+2^2+(x+3)(x-2) \\
&=(x-2)^2+(x+3)(x-2) \\
&=\underline{(x-2)}(x-2)+(x+3)\underline{(x-2)} \\
&=(x-2)\left[(x-2)+(x+3)\right] \\
&=(x-2)(x-2+x+3) \\
&=(x-2)(2x+1)
\end{align*}$
Factoriser
$A=(x-1)^2-(4x-2)^2$
$\quad$
$B=9x^2-(x+1)^2$
$\quad$
$C=(2x+3)^2-(1+x)^2$
$\quad$
$D=(3x+2)^2-(5x+1)^2$
$\quad$
$E=x^2+6x+9-(x+3)(x-2)$
$\quad$
$F=25-(2x+3)^2$
$\quad$
$G=3x^2-6x+3$
$\quad$
$H=(3x+3)-(x+1)(2x-1)$
$\quad$
$A=(x-1)^2-(4x-2)^2$ est du type $a^2-b^2$ avec $a=(x-1)$ et $b=(4x-2)$
$\begin{align*} A&=(x-1)^2-(4x-2)^2 \\
&=\left[(x-1)-(4x-2)\right]\left[(x-1)+(4x-2)\right] \\
&=(x-1-4x+2)(x-1+4x-2) \\
&=(-3x+1)(5x-3)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} B&=9x^2-(x+1)^2 \\
&=(3x)^2-(x+1)^2 \\
&=\left[(3x)-(x+1)\right]\left[(3x)+(x+1)\right] \\
&=(3x-x-1)(3x+x+1) \\
&=(2x-1)(4x+1)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} C&=(2x+3)^2-(1+x)^2 \\
&=\left[(2x+3)-(1+x)\right]\left[(2x+3)+(1+x)\right] \\
&=(2x+3-1-x)(2x+3+1+x) \\
&=(x+2)(3x+4)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}D&=(3x+2)^2-(5x+1)^2 \\
&=\left[(3x+2)-(5x+1)\right]\left[(3x+2)+(5x+1)\right] \\
&=(3x+2-5x-1)(3x+2+5x+1) \\
&=(-2x+1)(8x+3)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} E&=x^2+6x+9-(x+3)(x-2) \\
&=x^2+2\times x \times 3+3^2-(x+3)(x-2) \\
&=(x+3)^2-(x+3)(x-2) \\
&=\underline{(x+3)}(x+3)-\underline{(x+3)}(x-2) \\
&=(x+3)\left[(x+3)-(x-2)\right] \\
&=(x+3)(x+3-x+2) \\
&=(x+3)(5) \\
&=5(x+3)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} F&=25-(2x+3)^2 \\
&=5^2-(2x+3)^2 \\
&=\left[5-(2x+3)\right]\left[5+(2x+3)\right] \\
&=(5-2x-3)(5+2x+3) \\
&=(2-2x)(8+2x)
\end{align*}$
On peut également constater que $(2-2x)=2(1-x)$ et que $(8+2x)=2(4+x)$.
Donc $F=4(1-x)(4+x)$ mais ce résultat n’était pas nécessairement attendu.
$\quad$
$\begin{align*} G&=3x^2-6x+3 \\
&=3\left(x^2-2x+1\right) \\
&=3(x-1)^2
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} H&=(3x+3)-(x+1)(2x-1) \\
&=3\underline{(x+1)}-\underline{(x+1)}(2x-1) \\
&=(x+1)\left[3-(2x-1)\right] \\
&=(x+1)(3-2x+1) \\
&=(x+1)(4-2x)
\end{align*}$
On peut encore aller plus loin en écrivant $H=2(x+1)(2-x)$.
$\quad$
Factoriser les expressions suivantes :
$A=2(1-6x)(x+1)-3(2x-1)(1-6x)$
$\quad$
$B=(5x+2)(3x-4)-(3x-4)$
$\quad$
$C=(2x-1)(3x+2)-4x(2x-1)$
$\quad$
$D=3(3x+4)(2x+3)-2(3x+4)(5-6x)$
$\quad$
$\begin{align*} A&=2\underline{(1-6x)}(x+1)-3(2x-1)\underline{(1-6x)} \\
&=(1-6x)\left[2(x+1)-3(2x-1)\right] \\
&=(1-6x)(2x+2-6x+3) \\
&=(1-6x)(-4x+5)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} B&=(5x+2)(3x-4)-(3x-4) \\
&=(5x+2)\underline{(3x-4)}-\underline{(3x-4)} \times 1 \\
&=(3x-4)\left[(5x+2)-1\right] \\
&=(3x-4)(5x+2-1) \\
&=(3x-4)(5x+1)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*}C&=\underline{(2x-1)}(3x+2)-4x\underline{(2x-1)} \\
&=(2x-1)\left[(3x+2)-4x\right] \\
&=(2x-1)(3x+2-4x) \\
&=(2x-1)(2-x)
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} D&=3\underline{(3x+4)}(2x+3)-2\underline{(3x+4)}(5-6x) \\
&=(3x+4)\left[(3(2x+3)-2(5-6x)\right] \\
&=(3x+4)(6x+9-10+12x) \\
&=(3x+4)(18x-1)
\end{align*}$
On donne l’expression $A=(x+1)^2+(x+1)(2x-3)$.
Développer, réduire et ordonner $A$.
$\quad$
Calculer $A$ pour $x=\dfrac{1}{2}$.
$\quad$
Factoriser $A$.
$\quad$
Résoudre l’équation $(x+1)(3x-2)=0$
$\quad$
- $\quad$
$\begin{align*} A&=(x+1)^2+(x+1)(2x-3) \\
&=x^2+2x+1+2x^2-3x+2x-3 \\
&=x^2+2x+1+2x^2-x-3 \\
&=3x^2+x-2
\end{align*}$
$\quad$
- Si $x=\dfrac{1}{2}$ alors
$\begin{align*} A&=\left(\dfrac{1}{2}+1\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}+1\right)\left(2\times \dfrac{1}{2}-3\right) \\
&=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{3}{2} \times (1-3) \\
&=\dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{2} \times (-2) \\
&=\dfrac{9}{4}-3 \\
&=\dfrac{9}{4}-\dfrac{12}{4} \\
&=-\dfrac{3}{4}
\end{align*}$
$\quad$
- $\quad$
$\begin{align*} A&=(x+1)^2+(x+1)(2x-3) \\
&=\underline{(x+1)}(x+1)+\underline{(x+1)}(2x-3) \\
&=(x+1)\left[(x+1)+(2x-3)\right] \\
&=(x+1)(x+1+2x-3) \\
&=(x+1)(3x-2)
\end{align*}$
$\quad$
- $(x+1)(3x-2)=0$
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
Donc soit $x+1=0$ ou $3x-2=0$.
soit $x=-1$ ou $3x=2$
donc $x=-1$ ou $x=\dfrac{2}{3}$
Les solutions de l’équation sont par conséquent $-1$ et $\dfrac{2}{3}$.
$\quad$