Q1. Donner mentalement le résultat du calcul suivant : $(-1)^{-144}+(-1)^{143}$.

Q2. Écrire le nombre suivant sous la forme $a + b\sqrt{c}$, avec $a$ et $b$ dans $\mathbb{Z}$ et $c$ dans $\mathbb{N}$ : $(-3-\sqrt{3})(4-\sqrt{3})$.

Q3. Développer et réduire : $(2+x)(2-3x)(4+6x)$.

Q4. Écrire le nombre suivant sans le symbole de la racine carrée au dénominateur : $\dfrac{1}{2+\sqrt{7}}. $

Q5. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $(x-1)^2=(3x-2)^2$.

Q1. Donner mentalement le résultat du calcul suivant : $1+(-1)^{143}$.

Q2. Écrire le nombre suivant sous la forme $a + b\sqrt{c}$, avec $a$ et $b$ dans $\mathbb{Z}$ et $c$ dans $\mathbb{N}$ : $(1+\sqrt{5})(-3-\sqrt{5})(3-\sqrt{5})$.

Q3. Développer et réduire : $(2-3x)^3$.

Q4. Écrire le nombre suivant sans le symbole de la racine carrée au dénominateur : $\dfrac{1+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}. $

Q5. Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ le système d'équations : $$\begin{cases} 2x+3y=15 &\\ x+y=5\end{cases}.$$

Q1. Calculer : $i^{143}$.

Q2. Écrire le nombre suivant sous la forme $a + b\sqrt{c}$, avec $a$ et $b$ dans $\mathbb{Z}$ et $c$ dans $\mathbb{N}$ : $(7-\sqrt{7})(3-\sqrt{7})$.

Q3. Développer et réduire : $(1+i)^3$.

Q4. Écrire le nombre suivant sans le symbole de la racine carrée au dénominateur : $\dfrac{-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.$

Q5. Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ le système d'équations : $$\begin{cases} x-3y=9 &\\ x+y=3\end{cases}.$$

Q1. Calculer : $i^{4n}$, avec $n\in \mathbb{N}$.

Q2. Donner la forme algébrique de ce nombre complexe : $(7-i\sqrt{7})(3-i\sqrt{7})$.

Q3. Développer et réduire : $(1-i)^3$.

Q4. Donner la forme algébrique de ce nombre complexe : $\dfrac{-\sqrt{3}}{2-i\sqrt{3}}. $

Q5. Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ le système d'équations : $$\begin{cases} 2x-y=9 &\\ x+3y=3\end{cases}.$$

Q1. Calculer : $i^{4n+3}$, avec $n\in \mathbb{N}$.

Q2. Déterminer les racines de ce polynôme $x^2-6x-7$ sans utiliser le discriminant.

Q3. Démontrer que la somme de deux multiples de cinq est un multiple de cinq.

Q4. Démontrer que la somme de deux nombres consécutifs est impaire.

Q5. Donner la forme algébrique de ce nombre complexe : $\dfrac{-1}{\sqrt{5}(2-i\sqrt{5})}$

Q1. Calculer : $i^{2n}$, avec $n\in \mathbb{N}$.

Q2. On considère un réel $a$ et le nombre complexe : $z=a^2+1+2i(a^2-3)$.
Déterminer les éventuelles valeurs de $a$ pour lesquelles $z$ est un réel.

Q3. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que : $$15x^3-x^2-12x+4=(x+1)(ax^2+bx+4).$$

Q4. Vrai ou faux? Le carré d'un nombre irrationnel n'est jamais rationnel. Justifier la réponse.

Q5. Donner la forme algébrique de ce nombre complexe : $\dfrac{-\sqrt{3}}{2-i\sqrt{3}}$.

Q1. Calculer : $i^{2n+1}$, avec $n\in \mathbb{N}$.

Q2. On considère un réel $a$ et le nombre complexe $z=a^2+1+2i(a^2-3)$.
Déterminer les éventuelles valeurs de $a$ pour lesquelles $z$ est un imaginaire pur.

Q3. Déterminer la forme algébrique de : $$(1+2i)^3.$$

Q4. On considère les nombres complexes : $z_1=\dfrac{1+i}{1-i}$ et $z_2=\dfrac{1-i}{1+i}$.
Donner la forme algébrique de $z_1+z_2.$

Q5. Déterminer la forme algébrique de : $i\sqrt{2}(2\sqrt{2}-i)+2i\sqrt{3}(i-\sqrt{3})$

Q1. Déterminer la forme algébrique de : $\dfrac{1}{3+2i}.$

Q2. Déterminer la forme algébrique de : $-(1+i)+2i\left(\dfrac12+i\right).$

Q3. Soient $a$ et $b$ deux réels et $z_1$ et $z_2$ deux nombres complexes définis par
$z_1=a^2+a+i(b^2+1)$ et $z_2=3a^2-3+2ib$.
Déterminer $a$ et $b$ telles que $z_1=z_2$.

Q4. Écrire le conjugué de $z$ sous forme algébrique : $z=i(2+2i)-3i(1+2i)$.

Q5. Montrer que $a$ est une racine du polynôme $P$ : $P(z) =z^3+4z^2+6z+4$ et $a=-2$.

Q1. Déterminer la forme algébrique de : $\dfrac{4}{-3+i}.$

Q2. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $3z-2i+4=i-2z.$

Q3. Soient $x$ un réel et $z_1$ et $z_2$ deux nombres complexes définis par
$z_1=3x-3+i(x^2+1)$ et $z_2=x^2-x+i(x^2-1)$.
Déterminer $x$ telle que $z_1+z_2$ soit un imaginaire pur.

Q4. Écrire le conjugué de $z$ sous forme algébrique : $z=(2+i)(1+3i)$.

Q5. Montrer que $a$ est une racine du polynôme $P$ : $P(z) =2z^3-14z^2+38z-26$ et $a=1$.

Q1. Déterminer la forme algébrique de : $\dfrac{6+i4}{-5-3i}.$

Q2. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $3(z+i)-2=i+z.$

Q3. Soient $x$ un réel et $z_1$ et $z_2$ deux nombres complexes définis par
$z_1=3x-3+i(x^2+1)$ et $z_2=x^2-x+i(x-1)$.
Déterminer $x$ telle que $z_1+z_2$ soit un réel.

Q4. Écrire le conjugué de $z$ sous forme algébrique : $z=(1-i)^4$.

Q5. Montrer que $a$ est une racine du polynôme $P$ : $P(z) =z^4-z^3-5z^2-z-6$ et $a=i$.

Q1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $4z^2+16=0$.

Q2. Déterminer la forme algébrique de l'inverse de : $\dfrac12-\dfrac12 i$

Q3. Déterminer la forme algébrique du conjugué de : $\dfrac{4+2i}{1-i}.$

Q4. Soient $z_1$ et $z_2$ deux nombres complexes définis par
$z_1=\dfrac{1+i}{1-i}$ et $z_2=\dfrac{1-i}{1+i}$.
Donner sous la frome algébrique $z_1+z_2$, puis $z_1-z_2$.

Q5. Le polynôme $P$ est défini dans $\mathbb{C}$. Donner l'expression factoriser de $P(z)=z^3+4z$. .

Q1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $(1+i)z^2=(2-i)z$.

Q2. Déterminer la forme algébrique de : $\left(\dfrac{1}{1-i}\right)^2$.

Q3. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $2z - 2i\overline{z} = -5 - i$.

Q4. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2+2\overline{z}+1=0$.

Q5. Donner la forme algébrique de la somme : $1+i+i^2+\cdots+i^{99}.$

Q1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $2z^2-z+5=0$.

Q2. Déterminer la forme algébrique de: $\dfrac{1-i}{3+i}+\dfrac{2}{1-i}$.

Q3. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $2z + 4i\overline{z} = -2 + i$.

Q4. Donner la forme algébrique de : $(1-2i)^6.$

Q5. Donner la forme algébrique de la somme: $1+i+i^2+\cdots+i^{199}.$

Q1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $2z^2-3z+7=0$.

Q2. Déterminer la forme algébrique de : $\left(\dfrac{1+i}{1-i}\right)^2$.

Q3. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $3z + 2i\overline{z} = -5 + i$.

Q4. Donner la forme algébrique de : $(2-i)^8.$

Q5. Donner la forme algébrique de la somme : $1+i+i^2+\cdots+i^{4059}.$

Q1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $z^4+z^2-7=0$.

Q2. Déterminer la forme algébrique du conjugué de : $\left(\dfrac{1+i}{1-i}\right)^2$.

Q3. Déterminer $z_1$ et $z_2$ tels que : $z_1+z_2=-1$ et $z_1z_2=\dfrac{5}{2}$.

Q4. Donner la forme algébrique du conjugué de : $(1-i)^6.$

Q5. Donner la forme algébrique de la somme : $1+i+i^2+\cdots+i^{4n-1}$, avec $n\in \mathbb{N}^*$

Q1. Indiquer s'il s'agie d'un nombre réel ou d'un nombre imaginaire pur : $ z^2+\left(\overline{z}\right)^2.$

Q2. Déterminer $z_1$ et $z_2$ dans $\mathbb{C}$ tels que $z_1+z_2=6$ et $z_1z_2=13$.

Q3. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation suivante : $z=i\overline{z}.$

Q4. Démontrer que pour tout réel $x$ on a : $\dfrac{2\exp(-x)}{1+\exp(-x)}=\dfrac{2}{\exp(x)+1}.$

Q5. $ABCD$ est un parallélogramme tel que $AB=4$, $AC=6$ et $\left(\overrightarrow{CD},\overrightarrow{CA}\right)=\dfrac{\pi}{6}$. Calculer $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$.

Q1. Indiquer s'il s'agie d'un nombre réel ou d'un nombre imaginaire pur : $ z^2-\left(\overline{z}\right)^2.$

Q2. Déterminer $z_1$ et $z_2$ dans $\mathbb{C}$ tels que $z_1+z_2=1$ et $z_1z_2=1$.

Q3. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation suivante : $z\times \overline{z}=2z-1.$

Q4. Démontrer que pour tout réel $x$ on a : $\dfrac{2}{1+\exp(x)}=2-\dfrac{2}{1+\exp(-x)}.$

Q5. $ABCD$ est un parallélogramme tel que $AB=4$, $BC=4$ et $\left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}\right)=\dfrac{2\pi}{3}$. Calculer $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}$.

Q1. Indiquer s'il s'agie d'un nombre réel ou d'un nombre imaginaire pur : $ \dfrac{z+\overline{z}}{z-\overline{z}}, $ avec $z\neq \overline{z}$

Q2. Déterminer $z_1$ et $z_2$ dans $\mathbb{C}$ tels que $z_1+z_2=-\sqrt{3}$ et $z_1z_2=1$.

Q3. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation suivante : $z^2=z \times \overline{z}.$

Q4. Démontrer que pour tout réel $x$ on a : $\dfrac{\exp(x)-\exp(-x)}{\exp(x)+\exp(-x)}=\dfrac{1-\exp(-2x)}{1+\exp(-2x)}.$

Q5. Dans un repère orthonormé $(O;I;J)$ on a $A(2;-1)$, $B(4;2)$, $C(4;0)$ et $D(1;2)$. Calculer $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$.

Q1. Indiquer s'il s'agie d'un nombre réel ou d'un nombre imaginaire pur : $ \dfrac{z^2+\overline{z}^2}{z\times \overline{z}}, $ avec $z\overline{z}\neq 0$

Q2. Déterminer $z_1$ et $z_2$ dans $\mathbb{C}$ tels que $z_1+z_2=-\sqrt{2}$ et $z_1z_2=1$.

Q3. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation suivante : $\dfrac{z+1}{z-2}=3i.$

Q4. Démontrer que pour tout réel $x$ on a : $\dfrac{\exp(2x)-1}{\exp(2x)+1}=\dfrac{1-\exp(-2x)}{1+\exp(-2x)}.$

Q5. Dans un repère orthonormé $(O;I;J)$ on a $A(2;-1)$, $B(4;2)$, $C(4;0)$ et $D(1;2)$. Démontrer que les droites $(DB)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires.

Q1. Soient $A$, $B$ et $C$ trois points d'affixes respectives $a=4-5i$, $b=2i-3$ et $c=1+i$. Déterminer l'affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}.$

Q2. Calculer le module de $z=4-3i$.

Q3. Déterminer la nature de l'ensemble de points $M$ d'affixe $z$ du plan complexe vérifiant : $|z-3+5i|=4.$

Q4. Déterminer un argument du nombres complexe suivant : $z=\dfrac{3}{2}-\dfrac{3i\sqrt{3}}{2}$.

Q5. Déterminer la forme algébrique de : $z=\sqrt{2}\left(\cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)+i\sin\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)\right)$.

Q1. Soient $A$, $B$ et $C$ trois points d'affixes respectives $a=4-5i$, $b=2i-3$ et $c=1+i$. Déterminer l'affixe du vecteur $-2\overrightarrow{AC}.$

Q2. Calculer le module de $z=\sqrt{2}-i\sqrt{3}$.

Q3. Déterminer la nature de l'ensemble de points $M$ d'affixe $z$ du plan complexe vérifiant : $|z+1-2i|=|z+5|.$

Q4. Déterminer un argument du nombres complexe suivant : $z=4\sqrt{3}-4i$.

Q5. Déterminer la forme algébrique de : $z=\sqrt{6}\left(\cos\left(\dfrac{17\pi}{6}\right)+i\sin\left(\dfrac{-17\pi}{6}\right)\right)$.

Q1. Soient $A$, $B$ et $C$ trois points d'affixes respectives $a=4-5i$, $b=2i-3$ et $c=1+i$. Déterminer l'affixe du milieu I de $[AB].$

Q2. Calculer le module de $z=\dfrac{-2-3i}{1-2i}$.

Q3. Déterminer la nature de l'ensemble de points $M$ d'affixe $z$ du plan complexe vérifiant : $|z-2i|=|z+1|.$

Q4. Déterminer un argument du nombres complexe suivant : $z=7i$.

Q5. Déterminer la forme algébrique de : $z=\sqrt{2}\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\right)$.

Q1. Soient $A$, $B$ et $C$ trois points d'affixes respectives $a=-\dfrac{1}{2}+3i$, $b=1-\dfrac{4}{5}i$ et $c=2i-7$. Déterminer l'affixe de $D$ tel que $\overrightarrow{BD}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CA}$.

Q2. Calculer le module de $z=(4i-3)^3$.

Q3. Déterminer la forme trigonométrique de: $z=1+i.$

Q4. Déterminer un argument du nombres complexe suivant : $z=\dfrac{-9\sqrt{3}}{2}+\dfrac{9i}{2}$.

Q5. Linéariser les expressions suivantes : $\cos^2(x).$

Q1. Soient $A$, $B$ et $C$ trois points d'affixes respectives $a=-\dfrac{1}{2}+3i$, $b=1-\dfrac{4}{5}i$ et $c=2i-7$. Déterminer l'affixe de $E$ tel que $\overrightarrow{AE}=5\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}$.

Q2. Calculer le module de $z=\dfrac{(2-i)^3}{6-5i}$.

Q3. Déterminer la forme trigonométrique de: $z=-3+3i.$

Q4. Déterminer l'argument principal du nombres complexe suivant : $z=5$.

Q5. Linéariser les expressions suivantes : $\sin^2(x).$

Q1. Soient $A$, $B$ et $C$ trois points d'affixes respectives $a=-\dfrac{1}{2}+3i$, $b=1-\dfrac{4}{5}i$ et $c=2i-7$. Déterminer l'affixe de $F$ le milieu de $[AC]$.

Q2. Calculer le module de $z=(1-2i)(5+3i)$.

Q3. Déterminer la forme trigonométrique de: $z=\pi i.$

Q4. Déterminer l'argument principal du nombres complexe suivant : $z=-\dfrac{1}{6}i$.

Q5. Linéariser les expressions suivantes : $\sin(x)\cos(x).$

Q1. On donne $a=3i-1$, $b=1+i$ et $c=8-3i$ les affixes respectives des points $A$, $B$ et $C$. Démontrer que ces points sont alignés.

Q2. Calculer le module de $z=\dfrac{5}{2+3i}$.

Q3. Déterminer la forme trigonométrique de: $z=-\dfrac{7}{2}-\dfrac{7\sqrt{3}}{2}.$

Q4. Déterminer l'argument principal du nombres complexe suivant : $z=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Q5. Linéariser les expressions suivantes : $\cos^2(x)\sin(x).$

Q1. On donne $a=3i-1$, $b=1+i$ et $c=8-3i$ les affixes respectives des points $A$, $B$ et $C$. Déterminer l'affixe de $E$ tel que $\overrightarrow{AE}=5\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}$.

Q2. Calculer le module de $z=\dfrac{(2i-4)^2}{-1+2i}$.

Q3. Déterminer la forme trigonométrique de: $z=-2+2i.$

Q4. Déterminer l'argument principal du nombres complexe suivant : $z=-ai$ avec $a\in \mathbb{R}$.

Q5. Linéariser les expressions suivantes : $\sin^3(x).$

Q1. On donne $a=3i-1$, $b=1+i$ et $c=8-3i$ les affixes respectives des points $A$, $B$ et $C$. Déterminer l'affixe du vecteur $\overrightarrow{AC}.$

Q2. Calculer le module de $z=\dfrac{(2i-4)^4}{-1+i}$.

Q3. Déterminer la forme trigonométrique de: $z=3(\sqrt{2}-\sqrt{6})+3i(\sqrt{2}+\sqrt{6}).$

Q4. Déterminer l'argument principal du nombres complexe suivant : $z=-b$ avec $b\in \mathbb{R}$.

Q5. Calculer la valeur exacte de : $\cos\left(\dfrac{7\pi}{12}\right).$

Q1. Déterminer la forme algébrique de : $z=\sqrt{2}\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\right)$.

Q2. Calculer le module de $z=1+i+i^2+\cdots+i^{11} $.

Q3. Déterminer la forme trigonométrique de: $z=6+6\sqrt{3}i.$

Q4. Déterminer la forme exponentielle de : $z=-\sqrt{2}-i\sqrt{2}$.

Q5. Calculer la valeur exacte de : $\sin\left(\dfrac{7\pi}{12}\right).$

Q1. Déterminer la forme algébrique de : $z=5\left(\cos\left(\dfrac{-\pi}{3}\right)+i\sin\left(\dfrac{-\pi}{3}\right)\right)$.

Q2. Déterminer la forme trigonométrique de: $z=\pi i.$ .

Q3. Déterminer la forme exponentielle de : $z=\dfrac{3}{2}+i\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$.

Q4. Déterminer le module et l'argument principal de : $z=\dfrac{1}{2}e^{\dfrac{5i\pi}{3}}$.

Q5. Calculer la valeur exacte de : $\sin\left(\dfrac{11\pi}{12}\right).$

Q1. Résoudre l'équation sur $]-\pi;\pi]$ : $\sin(x)=\cos(x).$

Q2. Montrer que : $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin(x).$

Q3. Développer et simplifier l'expression suivante : $(e^{-x}+2)(e^x+5).$

Q4. Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{2}{e^x+1}$. Démontrer que $f(x)+f(-x)=2$.

Q5. Calculer la valeur exacte de : $\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right).$

Q1. Résoudre l'équation sur $]-\pi;\pi]$ : $2\sin^2(x)+\sin(x)-1=0.$

Q2. Montrer que : $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos(x).$

Q3. Soit \(x\) un réel. Que vaut $(e^x+e^{-x})^2-(e^x-e^{-x})^2$?

Q4. Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on pose $u_n=e^{2n+3}$. Que vaut $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ ?

Q5. Calculer la valeur exacte de : $\cos\left(\dfrac{\pi}{8}\right).$

Q1. Déterminer la nature de l'ensemble de points $M$ d'affixe $z$ du plan complexe vérifiant : $|z-3+4i|=\sqrt{3}.$

Q2. Montrer que pout $x$ dans $\mathbb{R}$ : $e^{xi}-1=e^{\frac{xi}{2}}\left(e^{\frac{xi}{2}}-e^{\frac{-xi}{2}}\right)$.

Q3. À l'aide de la formule de Moivre, donner la forme algébrique de : $(1+i)^6$

Q4. À l'aide des formules d'Euler, écrire $\sin^3(x)$ sous la forme d'une expression linéarisée (sans puissance).

Q5. Factoriser : $z^3-8$.

Q1. Déterminer la nature de l'ensemble de points $M$ d'affixe $z$ du plan complexe vérifiant : $|z+3-4i|=0.$

Q2. Montrer que pout $x$ dans $\mathbb{R}$ : $e^{nxi}-1=e^{\frac{nxi}{2}}\left(e^{\frac{nxi}{2}}-e^{\frac{-nxi}{2}}\right)$.

Q3. À l'aide de la formule de Moivre, donner la forme algébrique de : $(\sqrt{3}+i)^6$

Q4. À l'aide des formules d'Euler, écrire $\cos^4(x)$ sous la forme d'une expression linéarisée (sans puissance).

Q5. Soit $z$ un nombre complexe appartenant à $\mathbb{U}$. Calculer $|1+z|^2+|1-z|^2$.

Q1. Déterminer la nature de l'ensemble de points $M$ d'affixe $z$ du plan complexe vérifiant : $|z-2-i|=|z+1+3i|$.

Q2. Montrer que pout $x$ dans $\mathbb{R}$ : $e^{(p+q)xi}-1=e^{\frac{(p+q)xi}{2}}\left(e^{\frac{(p+q)xi}{2}}-e^{\frac{-(p+q)xi}{2}}\right)$.

Q3. À l'aide de la formule de Moivre, donner la forme algébrique de : $(1-i\sqrt{3})^9$

Q4. À l'aide des formules d'Euler, écrire $\cos^2(x)\sin^3(x)$ sous la forme d'une expression linéarisée (sans puissance).

Q5. Déterminer la forme algébrique de : $(1+i)^4+(1-i)^4$.

Q1. Déterminer la nature de l'ensemble de points $M$ d'affixe $z$ du plan complexe vérifiant : $|z|=\sqrt{3}$.

Q2. Pour tous $a$ et $b$ dans $\mathbb{R}$, montrer que : $\cos(a)+\cos(b)=2\cos\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\cos\left(\dfrac{a-b}{2}\right)$.

Q3. À l'aide de la formule de Moivre, donner la forme algébrique de : $(1+i\sqrt{3})^9$.

Q4. À l'aide des formules d'Euler, écrire $\cos^2(x)+2\sin^3(x)$ sous la forme d'une expression linéarisée (sans puissance).

Q5. Mettre sous forme exponentielle le nombre complexe suivant : $z=1+i\sqrt 3$.

Q1. Déterminer la nature de l'ensemble de points $M$ d'affixe $z$ du plan complexe vérifiant : $|\overline{z}-2+\dfrac{3}{4}i|=3$.

Q2. Pour tous $a$ et $b$ dans $\mathbb{R}$, montrer que : $\cos(a)-\cos(b)=-2\sin\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\sin\left(\dfrac{a-b}{2}\right)$.

Q3. Donner la forme algébrique de : $(2+2i)^6$.

Q4. Ecrire $3\cos^3(x)-\sin^2(x)$ sous la forme d'une expression linéarisée.

Q5. Mettre sous forme exponentielle le nombre complexe suivant : $z=\frac{-i\sqrt 2}{1+i}$.

Q1. Déterminer la nature de l'ensemble de points $M$ d'affixe $z$ du plan complexe vérifiant : $|iz-2i|=1$.

Q2. Pour tous $a$ et $b$ dans $\mathbb{R}$, montrer que : $\sin(a)+\sin(b)=2\sin\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\cos\left(\dfrac{a-b}{2}\right)$.

Q3. Donner la forme algébrique de : $\left(\frac{1+i\sqrt 3}{1-i}\right)^{20}$.

Q4. On pose : $z_1=4e^{i\frac{\pi}{4}},\;z_2=3ie^{i\frac{\pi}{6}},\;z_3=-2e^{i\frac{2\pi}{3}}$. Écrire sous forme exponentielle le nombre complexe suivant : $z_1z_2$.

Q5. Soit $z_1$ et $z_2$ deux nombres complexes. Démontrer que $$|z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2=2(|z_1|^2+|z_2|^2).$$

Q1. Déterminer la nature de l'ensemble de points $M$ d'affixe $z$ du plan complexe vérifiant : $|3iz|=|3iz+3-9i|$.

Q2. Pour tous $a$ et $b$ dans $\mathbb{R}$, montrer que : $\sin(a)-\sin(b)=2\sin\left(\dfrac{a-b}{2}\right)\cos\left(\dfrac{a+b}{2}\right)$.

Q3. Donner la forme algébrique de : $\frac{(1+i)^{2000}}{(i-\sqrt 3)^{1000}}$.

Q4. On pose : $z_1=4e^{i\frac{\pi}{4}},\;z_2=3ie^{i\frac{\pi}{6}},\;z_3=-2e^{i\frac{2\pi}{3}}$. Écrire sous forme exponentielle le nombre complexe suivant : $z_1z_3$.

Q5. Soit $z$ un nombre complexe, $z\neq 1$. Démontrer que : $$|z|=1\iff \frac{1+z}{1-z}\in i\mathbb R.$$

Q1. Déterminer la nature de l'ensemble de points $M$ d'affixe $z$ du plan complexe vérifiant : $|\overline{z}-1+i|=|\overline{z}-5+i|$.

Q2. Pour tous $a$ et $b$ dans $\mathbb{R}$, montrer que : $\tan(a)+\tan(b)=\dfrac{\sin(a+b)}{\cos(a)\cos(b)}$.

Q3. Donner la forme algébrique de : $\frac{(1+i)^{1000}}{(i+\sqrt 3)^{2000}}$.

Q4. On pose : $z_1=4e^{i\frac{\pi}{4}},\;z_2=3ie^{i\frac{\pi}{6}},\;z_3=-2e^{i\frac{2\pi}{3}}$. Écrire sous forme exponentielle le nombre complexe suivant : $z_2z_3$.

Q5. Donner l'écriture exponentielle du nombre complexe suivant : $$ \frac{1-e^{i\frac{\pi}{3}}}{1+e^{i\frac{\pi}{3}}}.$$

Q1. Soient $A$, $B$ et $C$ trois points d'affixes respectives $a=4+i$, $b=1+3i$ et $c=4-\dfrac{5}{2}i$. Calculer AB.

Q2. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $z^5=1$.

Q3. Démontrer que $a | b$ si et seulement si pour tout $k$ de $\mathbb{Z}$, $a | (b−ka).$

Q4. Déterminer les entiers relatifs $a$, tels que $(a−5) | (a + 7).$

Q5. Déterminer les entiers naturels n tels que : $n -1$ divise $n+3.$

Q1. Soient $A$, $B$ et $C$ trois points d'affixe respective $a=4+i$, $b=1+3i$ et $c=4-\dfrac{5}{2}i$. Le point C appartient-il au cercle de centre A passant par B?

Q2. Quelle est la forme algébrique de $(1+i)(1+2i)(1+3i)$?

Q3. Résoudre dans $\mathbb{N}^2$ l’équation : $x^2 − y^2 = 13.$

Q4. Calculer la somme des $n$ premiers entiers naturels.

Q5. La somme des multiples de 13 compris entre 100 et 500.

Q1. Soient $A$, $B$ et $C$ trois points d'affixes respectives $a=4+i$, $b=1+3i$ et $c=4-\dfrac{5}{2}i$. Calculer AC.

Q2. Déterminer le module et l'argument du nombre complexe de : $e^{e^{i\alpha}}$.

Q3. Quel est le reste de la division euclidienne par 4 de la somme des carrés de deux nombres entiers consécitifs ?

Q4. Résoudre dans $\mathbb{Z}$, $x-1 | x+1$.

Q5. Résoudre dans $\mathbb{Z}^2$ l’équation : $2x^3 + xy −11 = 0$.

Q1. Soient $A$, $B$ et $C$ trois points d'affixes respectives $a=4+i$, $b=1+3i$ et $c=4-\dfrac{5}{2}i$. Calculer BC.

Q2. Soit $\theta \in \left[-\pi;\pi\right]$. Déterminer le module et l'argument du nombre complexe de : $e^{i\theta}+e^{2i\theta}$.

Q3. Montrer que $\forall n \in N$, $2^{5n+1}+3^{n+3}$ est un multiple de 29.

Q4. Soit $n$ un entier naturel non nul. Déterminer le reste de la division euclidienne de : $n^2 + 2n$ par $n + 1$.

Q5. Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $609|5^{4n}-2^{4n}$.

Q1. Donner la forme trigonométrique de : $(1+i)^n+(1-i)^n$.

Q2. Soit $Z$ un nombre complexe. Démontrer que $$1+|Z|^2+2\Re e(Z)\geq 0.$$.

Q3. Soit $n$ un entier naturel non nul. Déterminer le reste de la division euclidienne de : $7n +15$ par $3n+ 2.$

Q4. Montrer que pour tout entier $n\geq 1$, $40^n n!|(5n)!$.

Q5. On considère la fraction $q_n=\dfrac{n+19}{n-7}$; $n$ étant un entier naturel strictement supérieur à 7. Comment choisir $n$ pour que $q_n$ soit simplifiable ?

Q1. Soit $z$ et $w$ deux nombres complexes. Démontrer que l'on a $$|z-w|^2\leq (1+|z|^2)(1+|w|^2).$$

Q2. Démontrer que, pour tout nombre complexe $z$ tel que $1-\bar a z\neq 0$, $$1-\left|\frac{z-a}{1-\bar{a}z}\right|^2 = \frac{(1-|a|^2)(1-|z|^2)}{|1-\bar a z|^2}.$$

Q3. Résoudre dans $\mathbb{Z}^2$ l’équation : $11x + 16y = 0$.

Q4. Le nombre d’élèves d’une classe est inférieur à 40. Si on les regroupe par 9 ou par 12, il en reste 1 chaque fois. Quel est ce nombre?

Q5. Déterminer le plus petit entier naturel dont les restes sont 5 ; 13 ; 17 lorsqu’on le divise respectivement par 15 ; 23 ; 27.

Q1. Démontrer que, pour tout nombre complexe $z$ tel que $1-\bar a z\neq 0$, $$1-\left|\frac{z-a}{1-\bar{a}z}\right|^2 = \frac{(1-|a|^2)(1-|z|^2)}{|1-\bar a z|^2}.$$

Q2. Soient $a,b\in]0,\pi[$. Ecrire sous forme exponentielle le nombre complexe suivant : $e^{ia}+e^{ib}$.

Q3. Démontrer que, pour tout entier $n\geq 0$, $(3-\sqrt{5})^n+(3+\sqrt{5})^n$ est divisible par $2^n$.

Q4. Résoudre les équations d'inconnues $(x,y)\in\mathbb N^2$ : $x^2-y^2=7$.

Q5. Déterminer, suivant les puissances de $n\in\mathbb N$, le reste de la division euclidienne de $2^n$ par $5$.

Q1. Calculer $ln(2i)$.

Q2. Soit $a\in]0,\pi[$. Ecrire sous forme exponentielle le nombre complexe suivant : $1-e^{ia}$.

Q3. Démontrer que pour tout $n\in\mathbb Z$, $n(n+2)(7n-5)$ est divisible par $6$.

Q4. Soit $n\in\mathbb N$ et $a=n^5-n$. Démontrer que $a$ est divisible par $5$.

Q5. Démontrer que la somme de trois cubes consécutifs est toujours divisible par 9.

Q1. Calculer $ln(-i)$.

Q2. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $z^4=1$.

Q3. Soit $n$ un entier qui est le produit de $k$ entiers distincts, $k\geq 1$. Démontrer que $n$ admet au moins $\frac{k(k-1)}2+1$ diviseurs distincts.

Q4. Résoudre les équations d'inconnues $(x,y)\in\mathbb N^2$ : $9x^2-y^2=32$.

Q5. Résoudre, dans $\mathbb{Z}^2$, l'équations diophantienne suivante : $xy=2x+3y$.

Q1. Soit $n\geq 1$. Montrer que $(n+1)|\binom{2n}{n}$.

Q2. Résoudre l'équation suivante : $5x\equiv 3\ [17]$

Q3. Démontrer que $13$ divise $3^{126}+5^{126}$.

Q4. Résoudre le système d'équation suivant, d'inconnue $x\in\mathbb Z$ : $$\left\{ \begin{array}{rcl} x&\equiv&1\ [5]\\ x&\equiv&2\ [11]. \end{array}\right.$$

Q5. Soit $a$ et $b$ deux entiers tels que $a^2+b^2$ soit divisible par $7$. Démontrer que $a$ et $b$ sont divisibles par $7$.

Q1. Déterminer les entiers positifs $a$ et $b$ sachant que $a<4000$ et que la division euclidienne de $a$ par $b$ donne un quotient de 82 et un reste de 47.

Q2. Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de $2^{2013}+562$ par $4$.

Q3. Quand on divise un nombre par 12, le reste est 8. Quand on divise ce même nombre par 10, on augmente le quotient de $1$ et le reste devient 2. Quel est ce nombre?

Q4. Démontrer que sur la droite $y=\frac 34x+\frac 18$, il n'y a pas de points à coordonnées entières.

Q5. Résoudre, dans $\mathbb{Z}^2$, l'équations diophantienne suivante : $9x^2-y^2=32$.

Q1. Trouver le reste de la division par 13 du nombre $100^{1000}$.

Q2. Montrer que $\forall n \in \mathbb{N}$, $n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)$ est divisible par $120$.

Q3. Démontrer que le nombre $7^n + 1$ est divisible par 8 si $n$ est impair ; dans le cas $n$ pair, donner le reste de sa division par 8.

Q4. Soient a,b, c trois entiers impairs. Déterminer le reste modulo 8 de $a^2+b^2+c^2$ et celui de $2(ab+bc+ca)$.

Q5. Résoudre dans $\mathbb{Z}$ : $1665x+1035y = 45$.

Q1. Trouver tous les couples $( x, y) \in \mathbb{N}^2$ tels que : $x^2-y^2 = 15$.

Q2. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $n^3-n$ est divisible par $2$.

Q3. Soient $k\in \mathbb{N}$, $a = 3k +5$ et $b = 2k +1$.
Prouver que les seuls diviseurs positifs communs possibles à $a$ et $b$ sont $1$ et $7$.

Q4. Déterminer les entiers naturels $n$ tel que $n-3$ divise $n^2+3$.

Q5. Démontrer par récurrence que pour tout $n\in \mathbb{N}^*$, le nombre $2^{2n}+6n-1$ est divisible par $9$.

Q1. Démontrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$, les nombres suivants sont premiers entre eux : $3n-1$ et $5n-2$.

Q2. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $n^3-n$ est divisible par $3$.

Q3. Déterminer tous les couples d’entiers naturels $(x, y)$ tels que : $3( x-2) = 5 ( y + 3)$.

Q4. Déterminer les entiers naturels $n>2$ tels que $n-3$ divise $n^2-3$.

Q5. Démontrer par récurrence que pour tout $n\in \mathbb{N}^*$, $6$ divise $n^3+11n$.

Q1. Démontrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$, les nombres suivants sont premiers entre eux : $11n+6$ et $9n+5$.

Q2. Démontrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $n\left(n^2 + 5\right)$ est divisible par $6$.

Q3. Trouver un entier $x$ tel que $36\equiv x ~[4]$ et $0\leq x <7$.

Q4. Résoudre dans $\mathbb{Z}$ le système suivant : $x\equiv -2~[5]$ et $x>0$.

Q5. Démontrer la congruence suivante : $15^5-3^5\equiv 0~[12]$.

Q1. On considère un entier naturel $n$ et $a=5\left(n^2+n\right)^2$.
Prouver que $a$ est divisible par $20$.

Q2. Soient $x$ et $y$ deux entiers naturels tels que $x \equiv 7~[9]$ et $y \equiv 4~ [9]$. Déterminer le reste dans la division par $9$ de $3x + 4 y$.

Q3. Trouver un entier $x$ tel que $9^{10}-5^{10}\equiv 0~[7]$.

Q4. Résoudre dans $\mathbb{Z}$ le système suivant : $x+2\equiv -1~[7]$ et $100 \leq x<125$

Q5. Démontrer la congruence suivante : $9^{10}-5^{10}\equiv 0~[7]$.

Q1. On considère un entier naturel $n$ et $a=5\left(n^2+n\right)^2$.Démontrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $2^{3n}-1\equiv 0~[7]$.

Q2. Soient $x$ et $y$ deux entiers naturels tels que $x \equiv 7~[9]$ et $y \equiv 4~ [9]$. Déterminer le reste dans la division par $9$ de $x^2 + y^2$.

Q3. Résoudre dans $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z} $l’équation $5p-3q=1$.

Q4. On considère deux entiers naturels $a$ et $b$.
Calculer $(a+b)^3$. En déduire que $(a+b)^3\equiv a^3+b^3~[3]$.

Q5. Quel est le reste dans la division de $10^{100} + 100^{10}$ par $27$ ?

Q1. Utiliser l’algorithme d’Euclide pour trouver le $\text{PGCD}$ des nombres suivants : $360$ et $2~100$.

Q2. Trouver 2 nombres entiers naturels $a$ et $b$ dont le $\text{PGCD}$ est $4$ tels que $a + b = 48$.

Q3. Soit $n\in \mathbb{N}$ , quand on divise $169$ et $267$ par $n$, on obtient le même reste $15$. Démontrer que $n$ est un diviseur commun à $154$ et $252$.

Q4. Déterminer deux entiers naturels $a$ et $b$ sachant que leur $\text{PGCD}$ est $9$ et leur somme $72$.

Q5. Déterminer deux entiers naturels $a$ et $b$ sachant que leur $\text{PGCD}$ est $17$ et leur produit $1~734$.

Q1. Si aujourd’hui nous sommes mardi, quel jour serons-nous dans 100 jours ?

Q2. Montrer que si un nombre est un multiple de 24, alors c’est un multiple de 6 et un multiple de 4. La réciproque est-elle vraie ?

Q3. Déterminer l’ensemble des entiers relatifs $n$ tels que $2n+3$ divise $6n+8$.

Q4. Soit $n$ un entier naturel. Déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles $n^2+5$ est un multiple de $n+1$.

Q5. Soit $n$ un entier naturel. Montrer que $(n+4)(n^2+7)$ est pair en raisonnant par disjonction de cas.

Q1. Soit $n$ un entier naturel non multiple de $3$. Montrer que le reste de la division euclidienne de $n^2$ par 3 vaut 1.

Q2. Soit $a$ et $n$ deux entiers naturels tels que $a$ divise $3n+5$ et $7n+2$. Déterminer les valeurs possibles de $a$.

Q3. Soit $n$ un entier naturel. Déterminer, selon la valeur de $n$, le reste de la division euclidienne de $10n+14$ par $4n+3$.

Q4. Soit $n$ un entier naturel. Montrer que $9n^3+36n^2−21n+30$ est un multiple de 6.

Q5. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $6^n+19$ est divisible par 5.

Q1. Soit \(n\) un entier naturel et \(S_n = 1^3+2^3+3^3 + \dots + n^3\). Montrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul \(n\), \(S_n = \left(1+2+\dots+n\right)^2\).

Q2. Montrer que :\(S_n\) est un multiple de \(n\) si et seulement si \(n^3 + 2n^2 + n\) est un multiple de 4.

Q3. En raisonnant par disjonction de cas, déterminer les entiers tels que \(S_n\) est un multiple de \(n\).

Q4. Soit $n$ un entier naturel non multiple de $3$. Montrer que : $n^2+9n+8$ est divisible par 3.

Q5. On considère la fonction \(f\) définie pour tout entier relatif \(n\) différent de 2 par \(f(n)=\dfrac{3n^2+5n-3}{n-2}\). Quelles sont les valeurs de \(n\) pour lesquelles l’image par \(f\) est un entier ?

Q1. Déterminer les entiers naturels $n$ et $a$ tels que $a^2=39+x^2$.

Q2. Déterminer les entiers relatifs $n$ tels que $n+4$ divise $2n+13$.

Q3. pour tout relatif $n$, $n(n^2-4)$ est divisible par 3.

Q4. Le reste de la division euclidienne de $-23$ par l'entier naturel non nul $b$ vaut 7. Que valent le quotient $q$ et le diviseur $b$ ?

Q5. Soit $k$ un entier non nuel. Monatrer que $(2k+1)^2-1$ est divisible 8.