Géométrie dans l'espace (partie 2) : Produit scalaire, orthogonalité et distances

$\vec{u}\cdot\vec{v} = 1\times4+2\times(-1)+3\times2 = 4-2+6 = 8$.

$\vec{u}\cdot\vec{v} = 1\times2+2\times(-4)+3\times2 = 2-8+6=0$.

Le produit scalaire est nul : les vecteurs sont orthogonaux.

$d = -(2\times1+(-1)\times0+3\times2) = -(2+0+6) = -8$.

Équation : $2x-y+3z-8=0$.

Les coefficients de $x$, $y$, $z$ dans l'équation du plan sont exactement les coordonnées de $\vec{n}$ : $\vec{n}(1;2;-1)$ est bien un vecteur normal de ce plan.

Le vecteur normal du plan est $\vec{n}(1;2;-1)$. On a $\vec{u} = 2\vec{n}$ : les vecteurs sont colinéaires.

La droite est donc orthogonale au plan.

$d(A,\mathcal{P}) = \dfrac{|2\times1-2+2\times3-5|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}} = \dfrac{|2-2+6-5|}{\sqrt{9}} = \dfrac{1}{3}$.

Vecteurs normaux : $\vec{n_1}(1;2;-1)$ et $\vec{n_2}(2;4;-2)$. On a $\vec{n_2}=2\vec{n_1}$ : les vecteurs sont colinéaires.

Les plans sont donc parallèles (et distincts, car les équations ne sont pas proportionnelles avec la même constante).

Vecteurs normaux : $\vec{n_1}(1;1;1)$ et $\vec{n_2}(1;-1;0)$.

$\vec{n_1}\cdot\vec{n_2} = 1-1+0=0$ : les vecteurs normaux sont orthogonaux, donc les plans sont perpendiculaires.

$\overrightarrow{AB}(1;-1;0)$ et $\overrightarrow{AC}(0;1;-1)$ dirigent le plan. On cherche $\vec{n}(a;b;c)$ orthogonal aux deux : $a-b=0$ et $b-c=0$, donc $a=b=c$. On choisit $\vec{n}(1;1;1)$.

Équation : $x+y+z+d=0$ avec $d=-(1+1+1)=-3$, soit $x+y+z-3=0$.

On peut projeter orthogonalement le point sur la droite : la distance est la norme du vecteur reliant le point à son projeté, calculable à l'aide du produit scalaire (le projeté $H$ vérifie $\overrightarrow{AH}$ colinéaire au vecteur directeur et $\overrightarrow{MH}$ orthogonal à ce même vecteur).