Géométrie dans l'espace (partie 2) : Produit scalaire, orthogonalité et distances

Le produit scalaire de deux vecteurs dans l'espace se calcule en multipliant les coordonnées correspondantes puis en additionnant les résultats : \[ \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = 1\times4+2\times(-1)+3\times2. \]

Ainsi, \[ \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = 4-2+6 = 8. \]

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

Calculons le produit scalaire : \[ \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = 1\times2 + 2\times(-4) + 3\times2. \]

On obtient : \[ \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = 2-8+6 = 0. \]

Le produit scalaire est donc nul.

En conséquence, les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont orthogonaux.

Première méthode

Une équation cartésienne d'un plan de vecteur normal \[ \overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix} \] est de la forme : \[ ax+by+cz+d=0. \]

Ici : \[ a=2,\qquad b=-1,\qquad c=3. \] L'équation du plan est donc : \[ 2x-y+3z+d=0. \]

Comme le plan passe par \(A(1;0;2)\), les coordonnées de \(A\) vérifient l'équation : \[ 2\times1-0+3\times2+d=0. \]

Donc : \[ 2+6+d=0 \] soit, \[ d=-8. \]

En conséquence, une équation cartésienne du plan est donnée par : \[ \boxed{2x-y+3z-8=0}. \]

Deuxième méthode : produit scalaire

Soit \(M(x;y;z)\) un point quelconque du plan. Le vecteur : \[ \overrightarrow{AM} = \begin{pmatrix} x-1\\ y\\ z-2 \end{pmatrix} \] est orthogonal au vecteur normal \(\overrightarrow{n}\).

On a donc : \[ \overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AM}=0. \]

Ainsi : \[ \begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x-1\\ y\\ z-2 \end{pmatrix} =0. \]

En calculant le produit scalaire : \[ 2(x-1)-y+3(z-2)=0. \]

On développe : \[ 2x-2-y+3z-6=0. \]

Une équation cartésienne du plan est alors donnée par : \[ \boxed{2x-y+3z-8=0}. \]

Première méthode

Pour une équation cartésienne de la forme : \[ ax+by+cz+d=0, \] un vecteur normal au plan est : \[ \overrightarrow{n_0} = \begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}. \]

Ici : \[ a=1,\qquad b=2,\qquad c=-1. \]

Donc un vecteur normal au plan est : \[ \overrightarrow{n_0} = \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ -1 \end{pmatrix}. \]

Or, \[ \overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ -1 \end{pmatrix} = \overrightarrow{n_0}. \]

Donc, $\overrightarrow{n}$ est bien un vecteur normal au plan.

Deuxième méthode : colinéarité

Le plan est donné par l'équation : \[ x+2y-z+5=0. \]

À partir de cette équation, on peut prendre comme vecteur normal : \[ \overrightarrow{n_0} = \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ -1 \end{pmatrix}. \]

Le vecteur proposé est : \[ \overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ -1 \end{pmatrix}. \]

On cherche un réel \(k\) tel que : \[ \overrightarrow{n}=k\overrightarrow{n_0}. \]

On obtient : \[ \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ -1 \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ -1 \end{pmatrix}. \]

La première coordonnée donne : \[ 1=k\times1 \quad\Longrightarrow\quad k=1. \]

On vérifie les deux autres coordonnées : \[ 1\times2=2 \] et \[ 1\times(-1)=-1. \]

Les deux vecteurs sont donc colinéaires (ils sont même égaux).

En conséquence, $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan.

À partir de l'équation du plan : \[ x+2y-z+1=0, \] on peut déterminer un vecteur normal au plan : \[ \overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ -1 \end{pmatrix}. \]

Pour qu'une droite soit orthogonale à un plan, son vecteur directeur doit être colinéaire à un vecteur normal au plan.

Cherchons un réel \(k\) tel que : \[ \overrightarrow{u}=k\overrightarrow{n}. \]

On obtient : \[ \begin{pmatrix} 2\\ 4\\ -2 \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ -1 \end{pmatrix}. \]

La première coordonnée donne : \[ k=2. \]

On vérifie : \[ 2\times2=4 \] et \[ 2\times(-1)=-2. \]

Les deux vecteurs sont donc colinéaires : \[ \overrightarrow{u}=2\overrightarrow{n}. \]

En conséquence, la droite est orthogonale au plan.

La distance d'un point \(A(x_A;y_A;z_A)\) au plan \[ ax+by+cz+d=0 \] est donnée par la formule : \[ d(A,\mathcal{P}) = \frac{\left|ax_A+by_A+cz_A+d\right|} {\sqrt{a^2+b^2+c^2}}. \]

Ici : \[ a=2,\qquad b=-1,\qquad c=2,\qquad d=-5. \]

On remplace les coordonnées du point \(A(1;2;3)\) : \[ d(A,\mathcal{P}) = \frac{\left|2\times1-1\times2+2\times3-5\right|} {\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}}. \]

Calcul du numérateur : \[ \left|2-2+6-5\right| = |1| = 1. \]

Calcul du dénominateur : \[ \sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3. \]

Ainsi : \[ d(A,\mathcal{P}) = \frac{1}{3}. \]

On considère les deux plans : \[ \mathcal{P}_1 : x+2y-z+1=0 \] et \[ \mathcal{P}_2 : 2x+4y-2z-3=0. \]

Déterminons un vecteur normal à chacun des deux plans : \[ \overrightarrow{n_1} = \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ -1 \end{pmatrix} \qquad\text{et}\qquad \overrightarrow{n_2} = \begin{pmatrix} 2\\ 4\\ -2 \end{pmatrix}. \]

Cherchons si ces deux vecteurs sont colinéaires. On remarque que : \[ \overrightarrow{n_2} = 2\overrightarrow{n_1}. \]

Les vecteurs normaux sont donc colinéaires. Par conséquent, les deux plans sont parallèles ou confondus.

Vérifions maintenant s'ils sont confondus. Si les deux plans étaient confondus, toute équation du premier plan multipliée par \(2\) donnerait une équation du second plan.

En multipliant l'équation de \(\mathcal{P}_1\) par \(2\), on obtient : \[ 2x+4y-2z+2=0. \]

Or l'équation de \(\mathcal{P}_2\) est : \[ 2x+4y-2z-3=0. \]

Les deux équations ne sont pas identiques. Les plans ne sont donc pas confondus.

En conséquence, $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont parallèles et distincts.

On considère les deux plans : \[ \mathcal{P}_1 : x+y+z=0 \] et \[ \mathcal{P}_2 : x-y=0. \]

Déterminons un vecteur normal à chacun des deux plans : \[ \overrightarrow{n_1} = \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} \qquad\text{et}\qquad \overrightarrow{n_2} = \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 0 \end{pmatrix}. \]

Deux plans sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux. Calculons donc le produit scalaire : \[ \overrightarrow{n_1}\cdot\overrightarrow{n_2} = 1\times1+1\times(-1)+1\times0. \]

On obtient : \[ \overrightarrow{n_1}\cdot\overrightarrow{n_2} = 1-1+0 = 0. \]

Les vecteurs normaux sont donc orthogonaux.

Par conséquent, $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont perpendiculaires.

Première méthode

Calculons deux vecteurs du plan : \[ \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 0 \end{pmatrix} \qquad\text{et}\qquad \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ -1 \end{pmatrix}. \]

Cherchons un vecteur normal au plan sous la forme : \[ \overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}. \]

Comme \(\overrightarrow{n}\) est normal au plan, il est orthogonal à \(\overrightarrow{AB}\) et à \(\overrightarrow{AC}\). On doit donc avoir : \[ \overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AB}=0 \] et \[ \overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AC}=0. \]

On obtient le système : \[ \begin{cases} a-b=0\\ b-c=0 \end{cases} \]

Donc : \[ a=b=c. \]

On peut choisir : \[ a=b=c=1. \]

Ainsi, un vecteur normal au plan est : \[ \overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}. \]

L'équation du plan est donc de la forme : \[ x+y+z+d=0. \]

Comme le plan passe par \(A(1;1;1)\) : \[ 1+1+1+d=0. \]

Donc : \[ d=-3. \]

Une équation cartésienne de ce plan est alors donnée par : \[ \boxed{x+y+z-3=0} \]

Autre méthode : système de trois équations

On cherche une équation cartésienne du plan sous la forme : \[ ax+by+cz+d=0. \]

Le plan passe par les trois points : \[ A(1;1;1),\qquad B(2;0;1),\qquad C(1;2;0). \]

Les coordonnées de chaque point doivent donc vérifier l'équation du plan.

Pour \(A(1;1;1)\) : \[ a+b+c+d=0. \]

Pour \(B(2;0;1)\) : \[ 2a+c+d=0. \]

Pour \(C(1;2;0)\) : \[ a+2b+d=0. \]

On obtient le système : \[ \begin{cases} a+b+c+d=0\\ 2a+c+d=0\\ a+2b+d=0 \end{cases} \]

Soustrayons la première équation de la deuxième : \[ a-b=0. \] Donc : \[ a=b. \]

Soustrayons la première équation de la troisième : \[ b-c=0. \] Donc : \[ b=c. \]

Ainsi : \[ a=b=c. \]

On peut choisir : \[ a=b=c=1. \]

La première équation donne alors : \[ 1+1+1+d=0, \] d'où : \[ d=-3. \]

On obtient finalement : \[ \boxed{x+y+z-3=0}. \]

Une équation cartésienne du plan passant par \(A\), \(B\) et \(C\) est alors donnée par : \[ \boxed{x+y+z-3=0}. \]

On peut projeter orthogonalement le point sur la droite : la distance est la norme du vecteur reliant le point à son projeté, calculable à l'aide du produit scalaire (le projeté $H$ vérifie $\overrightarrow{AH}$ colinéaire au vecteur directeur et $\overrightarrow{MH}$ orthogonal à ce même vecteur).