Matrices
Cours
1. Définition
Une matrice de dimension $n \times p$ est un tableau de nombres à $n$ lignes et $p$ colonnes. On note $A = (a_{ij})$ où $a_{ij}$ est le coefficient situé ligne $i$, colonne $j$.
2. Opérations
Somme (matrices de mêmes dimensions) : on additionne terme à terme.
Produit par un scalaire $k$ : on multiplie chaque coefficient par $k$.
Produit matriciel $AB$ : possible seulement si le nombre de colonnes de $A$ égale le nombre de lignes de $B$. Le coefficient $(i,j)$ de $AB$ est la somme des produits ligne $i$ de $A$ par colonne $j$ de $B$.
Attention : en général, $AB \neq BA$.
3. Matrice identité et matrice inverse
La matrice identité $I$ vérifie $AI = IA = A$ pour toute matrice carrée $A$ de même dimension.
Une matrice carrée $A$ est inversible s'il existe une matrice $A^{-1}$ telle que $AA^{-1} = A^{-1}A = I$.
Pour une matrice $2\times2$, $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, le déterminant est $\det(A) = ad-bc$. $A$ est inversible si et seulement si $\det(A) \neq 0$, et alors :
$$A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$
4. Résolution de systèmes linéaires
Un système linéaire peut s'écrire sous forme matricielle $AX=B$. Si $A$ est inversible, l'unique solution est $X = A^{-1}B$.
5. Application : suites et matrices de transition
Les matrices permettent de modéliser l'évolution d'un système (marche aléatoire, population répartie entre plusieurs états) au moyen d'une matrice de transition, en calculant ses puissances successives.