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Dérivation et théorème des valeurs intermédiaires

Cours

Fiche Dérivabilité & Convexité – Terminale Spé

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Dérivabilité

Soient $ f $ une fonction définie sur un intervalle $ I $ et $ a \in I $.

On dit que $ f $ est dérivable en $ a $ si :

\[ \lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \]

Cette limite réelle finie est appelée nombre dérivé de $ f $ en $ a $, noté $ f'(a) $.

On dit que $ f $ est dérivable sur $ I $ si elle est dérivable en tout point de $ I $. La fonction $ f' : x \mapsto f'(x) $ est alors appelée fonction dérivée.

Dérivée d'une fonction composée

Soit $ u $ une fonction dérivable sur un intervalle $ I $.

Fonction	Dérivée	Condition
$ u^2 $	$ 2u'u $
$ \frac{1}{u} $	$ -\frac{u'}{u^2} $	$ u(x)\neq 0 $
$ e^u $	$ u'e^u $
$ \sqrt{u} $	$ \frac{u'}{2\sqrt{u}} $	$ u(x)>0 $
$ u^n $	$ nu'u^{n-1} $
$ \ln(u) $	$ \frac{u'}{u} $	$ u(x)>0 $
$ \sin(u) $	$ u'\cos(u) $
$ \cos(u) $	$ -u'\sin(u) $

Dérivabilité & Continuité

Si $ f $ est dérivable en $ a $, alors elle est continue en $ a $.
La réciproque est fausse : une fonction peut être continue sans être dérivable.

Convexité

$ f $ est concave sur un intervalle $ I $ si sa courbe est au-dessus de ses sécantes.

$ f $ est convexe sur un intervalle $ I $ si sa courbe est en dessous de ses sécantes.

Dérivée seconde

$ f $ est concave sur $ I $ si $ f''(x)<0 $.
$ f $ est convexe sur $ I $ si $ f''(x)>0 $.

Propriétés

$ f $ convexe sur $ I $ ⇒ $ f(tx + (1-t)y) \le tf(x) + (1-t)f(y) $.
$ f $ concave sur $ I $ ⇒ $ f(tx + (1-t)y) \ge tf(x) + (1-t)f(y) $.
$ f $ est convexe sur $ I $ ⇔ $ -f $ est concave sur $ I $.

Point d'inflexion

Le point $ (a, f(a)) $ est un point d’inflexion si $ f''(a)=0 $ et change de signe en $ a $.

Position relative de la tangente

Si $ f $ est convexe sur $ I $, sa courbe est au-dessus de ses tangentes.

Si $ f $ est concave sur $ I $, sa courbe est en dessous de ses tangentes.

Exercices Corrigés

Calculer la dérivée de $f(x) = 3x^2-5x+2$.

Calculer la dérivée de $f(x) = (2x+1)^3$.

Calculer la dérivée de $f(x) = \sqrt{x^2+1}$.

Étudier le signe de $f'(x)$ pour $f(x)=x^3-3x$, et en déduire les variations.

Déterminer les extremums locaux de $f(x)=x^3-3x$.

Calculer la dérivée de $f(x) = \dfrac{1}{x^2+1}$.

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f(x)=x^2$ au point d'abscisse $2$.

Montrer que l'équation $x^3-3x=1$ admet une unique solution sur $[1;2]$.

Étudier les variations de $f(x)=\dfrac{x+1}{x-2}$ sur $\mathbb{R}\setminus\{2\}$.

On dispose de 40 m de clôture pour un enclos rectangulaire. Déterminer les dimensions qui maximisent l'aire.

QCM notés

QCM noté — Dérivation et théorème des valeurs intermédiaires 10 questions · ⏱ 20 min

QCM d'entraînement

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Exercices interactifs

Une série d'exercices avec correction immédiate, à volonté.

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Fonction	Dérivée	Condition
\( u^2 \)	\( 2u'u \)
\( \frac{1}{u} \)	\( -\frac{u'}{u^2} \)	\( u(x)\neq 0 \)
\( e^u \)	\( u'e^u \)
\( \sqrt{u} \)	\( \frac{u'}{2\sqrt{u}} \)	\( u(x)>0 \)
\( u^n \)	\( nu'u^{n-1} \)
\( \ln(u) \)	\( \frac{u'}{u} \)	\( u(x)>0 \)
\( \sin(u) \)	\( u'\cos(u) \)
\( \cos(u) \)	\( -u'\sin(u) \)