Dérivation & Convexité

Rappel des formules de dérivation usuelle :
Pour toutes fonctions dérivables $u$ et $v$ et toutes constantes réelles $k$ et $c$ :

• $\left(x^2\right)' = 2x$
• $(x)' = 1$
• $(c)' = 0$ (dérivée d'une constante)
• $(k \cdot u)' = k \cdot u'$
• $(u + v)' = u' + v'$ (dérivée d'une somme)

La fonction $f$ est une fonction polynomiale, elle est donc dérivable sur $\mathbb{R}$.

On dérive terme à terme :

• La dérivée de $3x^2$ est $3 \times (2x) = 6x$.
• La dérivée de $-5x$ est $-5 \times 1 = -5$.
• La dérivée de la constante $2$ est $0$.

En additionnant les dérivées de chaque terme, on obtient :

$$f'(x) = 6x - 5$$

Rappel de cours (Dérivation d'une puissance d'une fonction) :
Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle et $n \in \mathbb{N}^*$, alors la fonction $u^n$ est dérivable et sa dérivée est donnée par la formule : $$(u^n)' = n \times u' \times u^{n-1}.$$

Identification des éléments :

La fonction $f$ est de la forme $u(x)^n$ avec :

• $u(x) = 2x + 1$
• $n = 3$.

Calcul de la dérivée de $u$ :

La dérivée de la fonction affine $u(x) = 2x + 1$ est :

$$u'(x) = 2.$$

Application de la formule :

En appliquant la formule $(u^3)' = 3 \cdot u' \cdot u^2$, on obtient :

$$f'(x) = 3 \times 2 \times (2x + 1)^{3-1}$$ $$f'(x) = 6(2x + 1)^2.$$

Rappel de cours (Dérivation de $\sqrt{u}$) :
Si $u$ est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle $I$, alors la fonction $\sqrt{u}$ est dérivable sur $I$ et sa dérivée est donnée par la formule : $$\left(\sqrt{u}\right)' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}.$$

Domaine de dérivabilité :

Pour tout réel $x$, $x^2 + 1 \geq 1 > 0$. Le polynôme sous la racine est strictement positif sur $\mathbb{R}$, donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.

Identification des éléments :

La fonction $f$ est de la forme $\sqrt{u(x)}$ avec :

• $u(x) = x^2 + 1$
• $u'(x) = 2x$

Application de la formule :

En appliquant la formule $\left(\sqrt{u}\right)' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$, on obtient :

$$f'(x) = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}}.$$

En simplifiant par $2$ au numérateur et au dénominateur :

$$f'(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}.$$

Rappel de cours :
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ :

• Si $f'(x) > 0$ sur un intervalle, alors $f$ est strictly croissante sur cet intervalle.
• Si $f'(x) < 0$ sur un intervalle, alors $f$ est strictly décroissante sur cet intervalle.
• Si $f'(x) = 0$ en annulant son signe, $f$ admet un extrémum local en ce point.

Calcul de la dérivée :

La fonction $f$ est polynomiale donc dérivable sur $\mathbb{R}$. Pour tout $x \in \mathbb{R}$ :

$$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1)$$

Recherche des racines de $f'(x)$ :

$$f'(x) = 0 \iff 3(x^2 - 1) = 0 \iff x^2 = 1 \iff x = -1 \text{ ou } x = 1$$

Étude du signe de $f'(x)$ :

$f'(x) = 3x^2 - 3$ est un trinôme du second degré dont le coefficient devant $x^2$ ($a = 3$) est strictement positif. La parabole est tournée vers le haut :

• $f'(x) > 0$ sur $]-\infty\,;\,-1[\;\cup\;]1\,;\,+\infty[$ (à l'extérieur des racines).
• $f'(x) < 0$ sur $]-1\,;\,1[$ (entre les racines).
• $f'(x) = 0$ pour $x = -1$ et $x = 1$.

Calcul des extrémums locaux :

• Maximum local en $x = -1$ : $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$
• Minimum local en $x = 1$ : $f(1) = 1^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2$

Tableau de variations :

Rappel de cours (Condition nécessaire et suffisante d'extremum local) :
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et $x_0 \in I$ :

• Si la dérivée $f'$ s'annule en $x_0$ en changeant de signe, alors $f$ admet un extremum local en $x_0$.
• Si $f'$ passe du signe $+$ au signe $-$, il s'agit d'un maximum local égal à $f(x_0)$.
• Si $f'$ passe du signe $-$ au signe $+$, il s'agit d'un minimum local égal à $f(x_0)$.

Recherche des points critiques (annulation de la dérivée) :

La fonction $f$ est polynomiale donc dérivable sur $\mathbb{R}$. Sa dérivée est :

$$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1)$$

Résolution de l'équation $f'(x) = 0$ :

$$3(x^2 - 1) = 0 \iff x^2 = 1 \iff x = -1 \quad \text{ou} \quad x = 1$$

Les deux points critiques sont $x = -1$ et $x = 1$.

Analyse du changement de signe de $f'(x)$ :

Le trinôme $f'(x) = 3x^2 - 3$ est positif à l'extérieur de ses racines et négatif entre ses racines :

• En $x = -1$ : $f'(x)$ s'annule en passant du signe $+$ (pour $x < -1$) au signe $-$ (pour $-1 < x < 1$). La fonction passe de croissante à décroissante, donc $f$ admet un maximum local en $x = -1$.
• En $x = 1$ : $f'(x)$ s'annule en passant du signe $-$ (pour $-1 < x < 1$) au signe $+$ (pour $x > 1$). La fonction passe de décroissante à croissante, donc $f$ admet un minimum local en $x = 1$.

Calcul des valeurs des extremums :

• Maximum local : $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$
• Minimum local : $f(1) = 1^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2$.

Tableau de variations avec extremums

Formule de dérivation :
Pour une fonction de la forme $\dfrac{1}{u}$, la dérivée est donnée par : $$\left(\frac{1}{u}\right)' = -\frac{u'}{u^2}.$$

On pose $u(x) = x^2 + 1$, qui est strictement positive et dérivable sur $\mathbb{R}$.

La dérivée de $u$ est $u'(x) = 2x$.

En appliquant la formule, on obtient directement :

$$f'(x) = -\frac{2x}{(x^2+1)^2}.$$

Rappel de cours :
L'équation réduite de la tangente à la courbe d'une fonction $f$ dérivable au point d'abscisse $a$ est donnée par la formule : $$y = f'(a)(x - a) + f(a).$$

Calcul de l'image $f(2)$ :

$$f(2) = 2^2 = 4.$$

Calcul du nombre dérivé $f'(2)$ :

La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et sa fonction dérivée est $f'(x) = 2x$.

Le coefficient directeur de la tangente est donc :

$$f'(2) = 2 \times 2 = 4$$

Application de la formule :

En remplaçant $a = 2$, $f(2) = 4$ et $f'(2) = 4$ dans la formule :

$$y = 4(x - 2) + 4$$ $$y = 4x - 8 + 4$$ $$y = 4x - 4$$

$g(x)=x^3-3x-1$ est strictement croissante sur $[1;2]$.

$g(1)=-3<0$, $g(2)=1>0$.

Corollaire du TVI : solution unique.

Définition de la fonction :

Posons $g(x) = x^3 - 3x$ définie sur l'intervalle $[1\,;\,2]$.

Continuite :

La fonction $g$ est une fonction polynomiale, elle est donc continue sur $[1\,;\,2]$.

Étude des variations sur $[1\,;\,2]$ :

La fonction dérivée de $g$ est :

$$g'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1)$$

Pour tout $x \in ]1\,;\,2]$, $x > 1$ donc $x^2 > 1$, ce qui implique $3(x^2 - 1) > 0$.

Ainsi, $g'(x) > 0$ sur $]1\,;\,2]$ (et s'annule seulement en $x = 1$). La fonction $g$ est donc strictly croissante sur $[1\,;\,2]$.

Image des bornes et encadrement de la valeur $1$ :

• $g(1) = 1^3 - 3(1) = -2$
• $g(2) = 2^3 - 3(2) = 8 - 6 = 2$

On constate que $1$ est strictement compris entre $g(1)$ et $g(2)$ :

$$g(1) < 1 < g(2) \quad \iff \quad -2 < 1 < 2$$

La fonction $g$ étant continue et strictement croissante sur $[1\,;\,2]$, elle réalise une bijection de $[1\,;\,2]$ sur $[-2\,;\,2]$. Comme $1 \in [-2\,;\,2]$, l'équation $g(x) = 1$ possède une unique solution $\alpha$ dans $[1\,;\,2]$.

Rappel de cours (Dérivée d'un quotient) :
Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ avec $v(x) \neq 0$, alors le quotient $\dfrac{u}{v}$ est dérivable et : $$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.$$

Calcul de la fonction dérivée :

La fonction $f$ est une fonction rationnelle (homographique), dérivable sur tout son ensemble de définition $\mathbb{R}\setminus\{2\}$.

On pose :

• $u(x) = x + 1 \implies u'(x) = 1$
• $v(x) = x - 2 \implies v'(x) = 1$

En appliquant la formule du quotient :

$$f'(x) = \dfrac{1 \cdot (x - 2) - (x + 1) \cdot 1}{(x - 2)^2} = \dfrac{x - 2 - x - 1}{(x - 2)^2} = \dfrac{-3}{(x - 2)^2}$$

Étude du signe de $f'(x)$ :

• Le numérateur est constant et strictement négatif : $-3 < 0$.
• Le dénominateur $(x - 2)^2$ est un carré, donc strictement positif pour tout $x \in \mathbb{R}\setminus\{2\}$.

Par conséquent, pour tout $x \in \mathbb{R}\setminus\{2\}$ :

$$f'(x) < 0$$

Limites aux bornes du domaine :

• En $\pm\infty$ : $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{x}{x} = 1$.
• En $2^-$ ($x < 2$) : $\lim_{x \to 2^-} (x+1) = 3$ et $\lim_{x \to 2^-} (x-2) = 0^- \implies \lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty$.
• En $2^+$ ($x > 2$) : $\lim_{x \to 2^+} (x+1) = 3$ et $\lim_{x \to 2^+} (x-2) = 0^+ \implies \lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$.

Tableau de variations en SVG :

Méthode d'optimisation :

1. Exprimer les dimensions du rectangle en fonction d'une seule variable $x$.
2. Établir la fonction $A(x)$ représentant l'aire de l'enclos.
3. Calculer la dérivée $A'(x)$ et étudier son signe pour trouver le maximum.

Modélisation du problème :

Soient $x$ et $y$ la largeur et la longueur du rectangle (en mètres). Le périmètre vaut $40\text{ m}$ :

$$2x + 2y = 40 \iff x + y = 20 \iff y = 20 - x$$

Les dimensions devant être positives, la variable $x$ appartient à l'intervalle $[0\,;\,20]$.

Expression de l'aire :

L'aire $A(x)$ du rectangle en fonction de $x$ est donnée par :

$$A(x) = x \times y = x(20 - x) = 20x - x^2$$

Recherche du maximum par dérivation :

La fonction $A$ est polynomiale donc dérivable sur $[0\,;\,20]$. Sa dérivée est :

$$A'(x) = 20 - 2x$$

Étudions le signe de la dérivée :

$$A'(x) = 0 \iff 20 - 2x = 0 \iff x = 10$$

• Pour $x \in [0\,;\,10[$, $A'(x) > 0$ : la fonction $A$ est strictement croissante.
• Pour $x \in ]10\,;\,20]$, $A'(x) < 0$ : la fonction $A$ est strictement décroissante.

Tableau de variations en SVG :

Calcul des dimensions optimales :

L'aire maximale est atteinte pour $x = 10\text{ m}$. La deuxième dimension vaut alors :

$$y = 20 - 10 = 10\text{ m}$$

L'aire maximale correspondante est $A(10) = 10 \times 10 = 100\text{ m}^2$.

Rappel de cours :

• Si $f''(x) \geqslant 0$ sur un intervalle $I$, alors $f$ est convexe sur $I$.
• Si $f''(x) \leqslant 0$ sur un intervalle $I$, alors $f$ est concave sur $I$.

Calcul de la dérivée première $f'(x)$ :

La fonction $f$ est de la forme $u v$ avec $u(x) = x^2 - 3$ ($u'(x) = 2x$) et $v(x) = e^x$ ($v'(x) = e^x$).

$$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 2x e^x + (x^2 - 3)e^x = (x^2 + 2x - 3)e^x$$

Calcul de la dérivée seconde $f''(x)$ :

On dérive à nouveau $f'(x)$, sous la forme $g \cdot v$ avec $g(x) = x^2 + 2x - 3$ ($g'(x) = 2x + 2$) et $v(x) = e^x$ ($v'(x) = e^x$).

$$f''(x) = (2x + 2)e^x + (x^2 + 2x - 3)e^x = (x^2 + 4x - 1)e^x$$

Étude du signe de $f''(x)$ :

Comme $e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, le signe de $f''(x)$ est le même que celui du trinôme du second degré $P(x) = x^2 + 4x - 1$.

Calcul de son discriminant $\Delta$ :

$$\Delta = 4^2 - 4(1)(-1) = 16 + 4 = 20 > 0$$

Le trinôme admet deux racines réelles distinctes :

$$x_1 = \dfrac{-4 - \sqrt{20}}{2} = \dfrac{-4 - 2\sqrt{5}}{2} = -2 - \sqrt{5}$$ $$x_2 = \dfrac{-4 + \sqrt{20}}{2} = \dfrac{-4 + 2\sqrt{5}}{2} = -2 + \sqrt{5}$$

Un trinôme du second degré est du signe de $a$ ($a=1 > 0$) à l'extérieur de ses racines :

• $f''(x) > 0$ sur $]-\infty\,;\, -2 - \sqrt{5}[\ \cup\ ]-2 + \sqrt{5}\,;\, +\infty[$
• $f''(x) < 0$ sur $]-2 - \sqrt{5}\,;\, -2 + \sqrt{5}[$

En conséquence :

• $f$ est strictement convexe sur $]-\infty\,;\, -2 - \sqrt{5}]$ et sur $[-2 + \sqrt{5}\,;\, +\infty[$.
• $f$ est strictement concave sur $[-2 - \sqrt{5}\,;\, -2 + \sqrt{5}]$.

Rappel de cours :
Un point $M(a\,;\,g(a))$ est un point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_g$ si et seulement si la dérivée seconde $g''$ s'annule en $a$ en changeant de signe.

Calcul des dérivées succesives :

$g$ est une fonction polynomiale, donc deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$.

$$g'(x) = \dfrac{4}{12}x^3 - \dfrac{3}{3}x^2 - 2x + 5 = \dfrac{1}{3}x^3 - x^2 - 2x + 5$$ $$g''(x) = \dfrac{3}{3}x^2 - 2x - 2 = x^2 - 2x - 2$$

Équation $g''(x) = 0$ et signe de $g''(x)$ :

Calculons le discriminant du trinôme $x^2 - 2x - 2$ :

$$\Delta = (-2)^2 - 4(1)(-2) = 4 + 8 = 12 > 0$$

Le trinôme s'annule en deux valeurs :

$$x_1 = \dfrac{2 - \sqrt{12}}{2} = \dfrac{2 - 2\sqrt{3}}{2} = 1 - \sqrt{3}$$ $$x_2 = \dfrac{2 + \sqrt{12}}{2} = \dfrac{2 + 2\sqrt{3}}{2} = 1 + \sqrt{3}$$

Le coefficient devant $x^2$ étant $a = 1 > 0$, le trinôme change de signe en traversant chacune de ses racines :

• $g''(x) > 0$ sur $]-\infty\,;\, 1-\sqrt{3}[$, puis $g''(x) < 0$ sur $]1-\sqrt{3}\,;\, 1+\sqrt{3}[$, puis $g''(x) > 0$ sur $]1+\sqrt{3}\,;\, +\infty[$.

$g''$ s'annule donc en changeant de signe en $x = 1 - \sqrt{3}$ et en $x = 1 + \sqrt{3}$.

Calcul des ordonnées des points d'inflexion :

• En remplaçant $x_1 = 1 - \sqrt{3}$, on obtient $g(1 - \sqrt{3}) = -\dfrac{23}{12} + 3\sqrt{3}$.
• En remplaçant $x_2 = 1 + \sqrt{3}$, on obtient $g(1 + \sqrt{3}) = -\dfrac{23}{12} - 3\sqrt{3}$.