Primitives & Intégrale

Rappel de cours :
Pour tout entier naturel \( n \in \mathbb{N} \), une primitive de \( x \mapsto x^n \) est la fonction \( x \mapsto \dfrac{x^{n+1}}{n+1} \).
Une primitive d'une constante \( a \) est \( x \mapsto a x \).

Détermination terme à terme

On intègre chaque terme de la fonction \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \) :

• Une primitive de \( 3x^2 \) est \( 3 \times \dfrac{x^3}{3} = x^3 \)
• Une primitive de \( -2x \) est \( -2 \times \dfrac{x^2}{2} = -x^2 \)
• Une primitive de \( 1 \) est \( x \).

Expression de la primitive

En sommant les primitives de chaque terme, on obtient une primitive particulière \( F \) :

\[ F(x) = x^3 - x^2 + x. \]

Rappel de cours :
Pour tout réel \( a \neq 0 \), une primitive de la fonction \( x \mapsto e^{ax} \) sur \( \mathbb{R} \) est la fonction \( x \mapsto \dfrac{1}{a} e^{ax} \).
Plus généralement, une fonction de la forme \( u'(x) e^{u(x)} \) a pour primitive \( e^{u(x)} \).

Identification de la formule

La fonction est de la forme \( f(x) = e^{ax} \) avec \( a = 2 \).

Détermination de la primitive

En appliquant la formule de primitive de la fonction exponentielle composée :

\[ F(x) = \frac{1}{2} e^{2x}. \]

Vérification par dérivation :

\[ F'(x) = \frac{1}{2} \times \left(2 e^{2x}\right) = e^{2x} = f(x) \] Une primitive de \( f \) sur \( \mathbb{R} \) est la fonction \( F(x) = \frac{1}{2} e^{2x} \).
(L'ensemble de toutes les primitives est de la forme \( F(x) = \frac{1}{2} e^{2x} + C \) avec \( C \in \mathbb{R} \)).

Rappel de cours :
Si \( F \) est une primitive d'une fonction continue \( f \) sur un intervalle \( [a, b] \), alors : \[ \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x = \Big[ F(x) \Big]_a^b = F(b) - F(a). \]

Recherche d'une primitive

Soit la fonction \( f(x) = x^2 + 1 \). Une primitive \( F \) de \( f \) sur \( \mathbb{R} \) est :

\[ F(x) = \frac{x^3}{3} + x. \]

Calcul de l'intégrale

On applique la formule du théorème fondamental de l'analyse :

\[ \begin{align*} I &= \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_0^2 \\ &= F(2) - F(0) \\ &= \left( \frac{2^3}{3} + 2 \right) - \left( \frac{0^3}{3} + 0 \right) \\ &= \left( \frac{8}{3} + 2 \right) - 0 \\ &= \frac{8}{3} + \frac{6}{3} \\ &= \frac{14}{3}. \end{align*} \]

Rappel de cours :
Si \( F \) est une primitive d'une fonction continue \( f \) sur un intervalle \( [a, b] \), alors : \[ \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x = \Big[ F(x) \Big]_a^b = F(b) - F(a) \]

Recherche d'une primitive

Soit la fonction \( f(x) = x^2 + 1 \). Une primitive \( F \) de \( f \) sur \( \mathbb{R} \) est :

\[ F(x) = \frac{x^3}{3} + x. \]

Calcul de l'intégrale

On applique la formule du théorème fondamental de l'analyse :

\[ \begin{align*} I &= \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_0^2 \\ &= F(2) - F(0) \\ &= \left( \frac{2^3}{3} + 2 \right) - \left( \frac{0^3}{3} + 0 \right) \\ &= \left( \frac{8}{3} + 2 \right) - 0 \\ &= \frac{8}{3} + \frac{6}{3} \\ &= \frac{14}{3}. \end{align*} \]

Rappel de cours :
Soit \( f \) une fonction continue et positive sur un intervalle \( [a, b] \). L'intégrale \( \displaystyle\int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x \) représente l'aire (en unités d'aire) du domaine délimité par :

• la courbe représentative \( \mathcal{C}_f \),
• l'axe des abscisses,
• les droites verticales d'équations \( x = a \) et \( x = b \).

Interprétation géométrique et calcul d'aire

La fonction \( f(x) = x + 1 \) est stricteement positive et continue sur \( [0, 3] \).

Le domaine considéré sous la droite \( y = x + 1 \) entre \( x = 0 \) et \( x = 3 \) est un trapèze rectangle dont les sommets sont \( (0,0) \), \( (3,0) \), \( (3,4) \) et \( (0,1) \).

Ses dimensions sont :

• Petite base (\( b \)) : \( f(0) = 0 + 1 = 1 \)
• Grande base (\( B \)) : \( f(3) = 3 + 1 = 4 \)
• Hauteur (\( h \)) : \( 3 - 0 = 3 \)

En appliquant la formule de l'aire d'un trapèze \( \mathcal{A} = \dfrac{(b + B) \times h}{2} \) :

\[ \mathcal{A} = \frac{(1 + 4) \times 3}{2} = \frac{5 \times 3}{2} = \frac{15}{2} = 7{,}5 \text{ u.a.} \]

Vérification par le calcul de l'intégrale

Une primitive de \( f(x) = x + 1 \) sur \( \mathbb{R} \) est la fonction \( F(x) = \dfrac{x^2}{2} + x \).

On calcule l'intégrale :

\[ \begin{align*} I &= \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_0^3 \\ &= F(3) - F(0) \\ &= \left( \frac{3^2}{2} + 3 \right) - \left( \frac{0^2}{2} + 0 \right) \\ &= \frac{9}{2} + 3 \\ &= \frac{9}{2} + \frac{6}{2} \\ &= \frac{15}{2} = 7{,}5. \end{align*} \]

Rappel de cours (Relation de Chasles) :
Soient \( a \), \( b \) et \( c \) trois réels d'un intervalle sur lequel la fonction \( f \) est continue. On a : \[ \int_a^c f(x)\,\mathrm{d}x = \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x + \int_b^c f(x)\,\mathrm{d}x \]

En appliquant la relation de Chasles avec \( a = 0 \), \( b = 2 \) et \( c = 5 \) :

\[ \int_0^5 f(x)\,\mathrm{d}x = \int_0^2 f(x)\,\mathrm{d}x + \int_2^5 f(x)\,\mathrm{d}x. \]

En remplaçant par les valeurs numériques données dans l'énoncé :

\[ \int_0^5 f(x)\,\mathrm{d}x = 5 + 3 = 8. \]

Rappel de cours (Valeur moyenne) :
Soit \( f \) une fonction continue sur un intervalle \( [a\,; b] \) (avec \( a < b \)). La valeur moyenne de \( f \) sur \( [a\,; b] \) est donnée par : \[ \mu = \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x. \]

Ici, \( f(x) = x^2 \), \( a = 0 \) et \( b = 3 \).

Amplitude de l'intervalle :

\[ b - a = 3 - 0 = 3. \]

Calcul de l'intégrale :

Une primitive de la fonction \( f(x) = x^2 \) est \( F(x) = \dfrac{x^3}{3} \).

\[ \int_0^3 x^2\,\mathrm{d}x = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^3 = \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{27}{3} - 0 = 9. \]

Calcul de la valeur moyenne :

\[ \mu = \frac{1}{3} \times 9 = 3. \]

Rappel de cours (Formule d'IPP) :
Soient \( u \) et \( v \) deux fonctions dérivables sur un intervalle \( [a\,; b] \) telles que leurs dérivées \( u' \) et \( v' \) soient continues. On a : \[ \int_a^b u(x)v'(x)\,\mathrm{d}x = \Big[ u(x)v(x) \Big]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)\,\mathrm{d}x. \]

Choix des fonctions \( u(x) \) et \( v'(x) \) :

On pose :

• \( u(x) = x \implies u'(x) = 1 \)
• \( v'(x) = \mathrm{e}^x \implies v(x) = \mathrm{e}^x \)

Les fonctions \( u \) et \( v \) sont dérivables et de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \( [0\,; 1] \).

Application de la formule :

\[ \int_0^1 x \mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x = \Big[ x \mathrm{e}^x \Big]_0^1 - \int_0^1 1 \cdot \mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x \]

Calculs des termes :

• Calcul du crochet : \( \Big[ x \mathrm{e}^x \Big]_0^1 = (1 \cdot \mathrm{e}^1) - (0 \cdot \mathrm{e}^0) = \mathrm{e} \)
• Calcul de la seconde intégrale : \( \displaystyle\int_0^1 \mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x = \Big[ \mathrm{e}^x \Big]_0^1 = \mathrm{e}^1 - \mathrm{e}^0 = \mathrm{e} - 1 \).

En rassemblant les résultats, on obtient :

\[ \int_0^1 x \mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x = \mathrm{e} - (\mathrm{e} - 1) = \mathrm{e} - \mathrm{e} + 1 = 1. \]

Rappel de cours (Positivité de l'intégrale) :
Soient \( a \) et \( b \) deux réels tels que \( a \le b \), et soit \( f \) une fonction continue sur \( [a\,; b] \).
Si pour tout \( x \in [a\,; b] \), \( f(x) \ge 0 \), alors : \[ \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \ge 0. \]

Justification étape par étape :

• Ordre des bornes : Les bornes sont dans l'ordre croissant, c'est-à-dire \( 0 \le 2 \).
• Signe de la fonction : Pour tout \( x \in [0\,; 2] \), la fonction \( f(x) = x^2 + 1 \) est continue et positive (\( f(x) \ge 0 \)).

Par la propriété de positivité de l'intégrale, on en déduit directement sans aucun calcul de primitive que :

\[ \int_0^2 (x^2+1)\,\mathrm{d}x \ge 0 \]

Remarque géométrique : L'intégrale représente l'aire du domaine situé sous la courbe d'une fonction positive, au-dessus de l'axe des abscisses. Une telle aire est nécessairement positive.