Primitives & Intégrale

Cours

Fiche Primitives – Terminale Spé

Les solutions de l’équation différentielle : \[ y' = f \] sont appelées primitives de $ f $.
Il existe une infinité de primitives, définies à une constante près.
Une condition initiale (ex : $ G(\pi)=0 $) permet de déterminer une primitive unique.
Exemple : Si $ g(x)=\cos x $ et $ G(\pi)=0 $, alors : \[ G(x)=\sin x. \]

Fonction usuelle	Primitive
$ 1 $	$ x + k $
$ x^n $ $ n\in\mathbb{N}^*,\ x\in\mathbb{R} $ $ -n\in\mathbb{N},\ x\neq0 $	$ \frac{x^{n+1}}{n+1}+k $
$ \frac{1}{x},\ x>0 $	$ \ln x + k $
$ \frac{1}{x^2},\ x\neq0 $	$ -\frac{1}{x}+k $
$ \frac{1}{\sqrt{x}},\ x>0 $	$ 2\sqrt{x}+k $
$ e^x $	$ e^x + k $
$ \sin x $	$ -\cos x + k $
$ \cos x $	$ \sin x + k $

Soit $ u $ dérivable sur un intervalle $ I $ et $ F $ une primitive de $ u $.

Dans un repère orthogonal, l’unité d’aire est l’aire du rectangle formé par $ \vec{\imath} $ et $ \vec{\jmath} $.
Si $ f $ est continue et positive sur $[a,b]$, l’intégrale : \[ \int_a^b f(x)\,dx \] représente l’aire du domaine situé entre l’axe des abscisses et la courbe de $ f $.

Pour $ a,b,c \in I $ et $ f $ continue :

\[ \int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx. \]

Si $ F $ est une primitive de $ f $ sur $[a,b]$, alors :

\[ \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a). \]

Si $ u $ et $ v $ sont dérivables et de dérivées continues sur $[a,b]$, alors :

\[ \int_a^b u'(x)v(x)\,dx = \big[ u(x)v(x) \big]_a^b - \int_a^b u(x)v'(x)\,dx. \]

Pour $ f $ définie sur $[a,b]$, la valeur moyenne est :

\[ \mu = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx. \]

Déterminer une primitive de $f(x) = 3x^2-2x+1$.

Déterminer une primitive de $f(x) = e^{2x}$.

Calculer $\displaystyle\int_0^2 (x^2+1)\,dx$.

Calculer $\displaystyle\int_1^e \dfrac{1}{x}\,dx$.

Interpréter géométriquement $\displaystyle\int_0^3 (x+1)\,dx$ comme une aire, et vérifier le résultat par le calcul.

Sachant $\displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx=5$ et $\displaystyle\int_2^5 f(x)\,dx=3$, donner $\displaystyle\int_0^5 f(x)\,dx$.

Calculer la valeur moyenne de $f(x)=x^2$ sur $[0;3]$.

Calculer $\displaystyle\int_0^1 xe^x\,dx$ à l'aide d'une intégration par parties.

Sachant que $f(x)=x^2+1 \geq 0$ sur $[0;2]$, justifier sans calcul que $\displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx \geq 0$.

Calculer l'aire comprise entre les courbes de $f(x)=x^2$ et $g(x)=x+2$.

Une série d'exercices avec correction immédiate, à volonté.

Fonction usuelle	Primitive
\( 1 \)	\( x + k \)
\( x^n \) \( n\in\mathbb{N}^*,\ x\in\mathbb{R} \) \( -n\in\mathbb{N},\ x\neq0 \)	\( \frac{x^{n+1}}{n+1}+k \)
\( \frac{1}{x},\ x>0 \)	\( \ln x + k \)
\( \frac{1}{x^2},\ x\neq0 \)	\( -\frac{1}{x}+k \)
\( \frac{1}{\sqrt{x}},\ x>0 \)	\( 2\sqrt{x}+k \)
\( e^x \)	\( e^x + k \)
\( \sin x \)	\( -\cos x + k \)
\( \cos x \)	\( \sin x + k \)