Suites, récurrence et limites

On sait que : \[ u_8 = u_0 + 8r. \] Donc : \[ 7 = 3 + 8r. \] \[ 4 = 8r \quad \] soit, \[r = \frac{4}{8}. \] Ainsi, \(r = \dfrac{1}{2}\).

On sait que : \[ u_5 = u_2 + 3r. \] Donc, \[ 2 = 5 + 3r. \] soit, \[ -3 = 3r \] Ainsi, \(r = -1\).

On sait que : \[ u_9 = u_0 + 9r = 5 + 9\left(-\frac{1}{2}\right). \] Soit, \[ u_9 = 5 - \frac{9}{2} = \frac{10}{2} - \frac{9}{2}. \] Ainsi, \(u_9 = \dfrac{1}{2}\).

On a : \[ u_{20} = u_5 + 15r = 6 + 15 \times 2 = 36. \] Ainsi, \(u_{20} = 36\).

On sait que : \[ u_7 = u_2 + 5r. \] Ainsi, \[ \sqrt{2} = \sqrt{7} + 5r. \] En conséquence : \(r = \dfrac{\sqrt{2} - \sqrt{7}}{5}\).

On calcule d'abord \(u_{100}\) : \[ u_{100} = u_0 + 100r = 5 + 100 \times 3 = 5 + 300 = 305. \] La somme des termes de \(u_0\) à \(u_{100}\) est : \[ S = \frac{(100+1)(u_0 + u_{100})}{2} = \frac{101(5 + 305)}{2} = \frac{101 \times 310}{2} = 101 \times 155 = 15655. \] Ainsi, \(u_0 + u_1 + \cdots + u_{100} = 15655.\)

On connaît directement \(u_0\) et \(u_{50}\). La somme des termes de \(u_0\) à \(u_{50}\) est : \[ S = \frac{(50+1)(u_0 + u_{50})}{2} = \frac{51(3 + 60)}{2} = \frac{51 \times 63}{2}. \] On calcule : \[ 51 \times 63 = 51 \times (60 + 3) = 51 \times 60 + 51 \times 3 = 3060 + 153 = 3213. \] Donc : \[ S = \frac{3213}{2} = 1606{,}5. \] Ainsi, \(u_0 + u_1 + \cdots + u_{50} = 1606{,}5.\)

On travaille ici à partir de \(u_1\). On calcule d'abord \(u_{100}\). On sait que : \[ u_n = u_1 + (n-1)r. \] Donc : \[ u_{100} = u_1 + (100-1)r = 60 + 99 \times 5 = 60 + 495 = 555. \] La somme des termes de \(u_1\) à \(u_{100}\) contient \(100 - 1 + 1 = 100\) termes. On utilise la formule : \[ S = \frac{100(u_1 + u_{100})}{2} = \frac{100(60 + 555)}{2} = \frac{100 \times 615}{2} = 50 \times 615 = 30750. \] Ainsi, \(u_1 + u_2 + \cdots + u_{100} = 30750.\)

On connaît directement \(u_1\) et \(u_{50}\). La somme des termes de \(u_1\) à \(u_{50}\) contient \(50 - 1 + 1 = 50\) termes. On utilise : \[ S = \frac{50(u_1 + u_{50})}{2} = \frac{50(50 + 1)}{2} = \frac{50 \times 51}{2} = 25 \times 51 = 1275. \] Ainsi, \(u_1 + u_2 + \cdots + u_{50} = 1275.\)

On utilise : \[ u_2 = u_0 q^2. \] Donc : \[ 12 = 5 q^2. \] On obtient : \[ q^2 = \frac{12}{5}. \] Ainsi : \[ q = \sqrt{\frac{12}{5}}. \] Conclusion : \(q = \sqrt{\dfrac{12}{5}}\).

On utilise : \[ u_9 = u_0 q^9 = 3 \times 2^9. \] On calcule : \[ 2^9 = 512. \] Donc : \[ u_9 = 3 \times 512 = 1536. \] Conclusion : \(u_9 = 1536\).

On utilise : \[ u_8 = u_2 \, q^{8-2} = 8 \times \left(\frac{1}{2}\right)^6. \] On calcule : \[ \left(\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{1}{64}. \] Donc : \[ u_8 = 8 \times \frac{1}{64} = \frac{8}{64} = \frac{1}{8}. \] Conclusion : \(u_8 = \dfrac{1}{8}\).

On utilise : \[ u_{10} = 2 \times \left(\frac{1}{3}\right)^{10}. \] On garde l’expression exacte : \[ u_{10} = \frac{2}{3^{10}}. \] Comme : \[ 3^{10} = 59049, \] on obtient : \[ u_{10} = \frac{2}{59049}. \] Conclusion : \(u_{10} = \dfrac{2}{59049}\).

On utilise : \[ u_7 = u_5 \, q^{7-5} = 2 \times (\sqrt{2})^2. \] On calcule : \[ (\sqrt{2})^2 = 2. \] Donc : \[ u_7 = 2 \times 2 = 4. \] Conclusion : \(u_7 = 4\).

On utilise : \[ S = \frac{1 - 2^{101}}{1 - 2}. \] Le dénominateur vaut : \[ 1 - 2 = -1. \] Donc : \[ S = \frac{1 - 2^{101}}{-1} = 2^{101} - 1. \] Conclusion : \[ u_0 + u_1 + \cdots + u_{100} = 2^{101} - 1. \]

On utilise : \[ S = \frac{3\left(1 - \left(\frac12\right)^{51}\right)}{1 - \frac12}. \] Le dénominateur vaut : \[ 1 - \frac12 = \frac12. \] Donc : \[ S = 3 \times 2 \left(1 - \left(\frac12\right)^{51}\right) = 6\left(1 - \frac{1}{2^{51}}\right). \] Conclusion : \[ u_0 + u_1 + \cdots + u_{50} = 6\left(1 - \frac{1}{2^{51}}\right). \]

On travaille à partir de \(u_1\). On utilise : \[ u_n = u_1 q^{\,n-1}. \] La somme de \(u_1\) à \(u_{100}\) contient 100 termes : \[ S = u_1 \frac{1 - q^{100}}{1 - q}. \] Donc : \[ S = 60 \times \frac{1 - \left(\frac13\right)^{100}}{1 - \frac13}. \] Le dénominateur vaut : \[ 1 - \frac13 = \frac23. \] Donc : \[ S = 60 \times \frac{3}{2} \left(1 - \frac{1}{3^{100}}\right) = 90\left(1 - \frac{1}{3^{100}}\right). \] Conclusion : \[ u_1 + u_2 + \cdots + u_{100} = 90\left(1 - \frac{1}{3^{100}}\right). \]

La somme contient 50 termes : \[ S = u_1 \frac{1 - q^{50}}{1 - q}. \] Donc : \[ S = 50 \times \frac{1 - 10^{50}}{1 - 10}. \] Le dénominateur vaut : \[ 1 - 10 = -9. \] Donc : \[ S = 50 \times \frac{1 - 10^{50}}{-9} = \frac{50}{9}(10^{50} - 1). \] Conclusion : \[ u_1 + u_2 + \cdots + u_{50} = \frac{50}{9}(10^{50} - 1). \]

On étudie la différence : \[ u_{n+1} - u_n. \] On calcule : \[ u_{n+1} = \frac{2(n+1) + 1}{(n+1) + 2} = \frac{2n + 3}{n + 3}. \] Donc : \[ u_{n+1} - u_n = \frac{2n+3}{n+3} - \frac{2n+1}{n+2}. \] On met au même dénominateur : \[ u_{n+1} - u_n = \frac{(2n+3)(n+2) - (2n+1)(n+3)}{(n+3)(n+2)}. \] On développe : \[ (2n+3)(n+2) = 2n^2 + 7n + 6, \] \[ (2n+1)(n+3) = 2n^2 + 7n + 3. \] Donc : \[ u_{n+1} - u_n = \frac{(2n^2 + 7n + 6) - (2n^2 + 7n + 3)}{(n+3)(n+2)} = \frac{3}{(n+3)(n+2)}. \] Le dénominateur est strictement positif pour tout \(n \in \mathbb{N}\). Donc : \[ u_{n+1} - u_n > 0. \] Conclusion : la suite \((u_n)\) est strictement croissante.

On veut montrer que : \[ u_n \le 2. \] On étudie : \[ u_n \le 2 \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{2n+1}{n+2} \le 2. \] Le dénominateur est positif, on peut multiplier : \[ 2n + 1 \le 2(n+2). \] On développe : \[ 2n + 1 \le 2n + 4. \] Cette inégalité est vraie pour tout \(n\). Conclusion : la suite \((u_n)\) est majorée par 2.

On étudie : \[ u_n = \frac{2n+1}{n+2}. \] Le numérateur \(2n+1\) est positif pour tout \(n \in \mathbb{N}\). Le dénominateur \(n+2\) est également positif. Donc : \[ u_n > 0. \] Conclusion : la suite \((u_n)\) est minorée par 0.

On étudie le sens de variation de la suite en observant le comportement de \(2^n\). La fonction \(n \mapsto 2^n\) est strictement croissante car :

- à chaque fois que l’on augmente \(n\) d’une unité, on multiplie le terme précédent par 2 ;
- multiplier par 2 augmente toujours la valeur (car \(2 > 1\)).
Ainsi, \[ 2^{n+1} = 2 \times 2^n > 2^n. \]

Diviser par 5 ne change pas le sens de variation, car 5 est un nombre strictement positif : \[ \frac{2^{n+1}}{5} > \frac{2^n}{5}. \]

Conclusion : la suite \((u_n)\) est strictement croissante.

On calcule : \[ u_{n+1} - u_n = -2n + 4. \] Cette expression est positive lorsque \(n < 2\) et négative lorsque \(n \ge 2\).

Conclusion : - la suite est croissante pour \(n = 0\) et \(n = 1\),
- la suite est décroissante pour \(n \ge 2\).

On étudie d’abord la fonction intérieure : \[ n \mapsto n^2 + 3. \] Cette fonction est strictement croissante car : - lorsque \(n\) augmente, \(n^2\) augmente ;
- ajouter 3 ne change pas le sens de variation.
Ainsi, \[ (n+1)^2 + 3 > n^2 + 3. \]

Ensuite, on applique la fonction racine carrée. La fonction : \[ x \mapsto \sqrt{x} \] est strictement croissante sur \(\mathbb{R}^+\). Cela signifie que si \(a > b\), alors : \[ \sqrt{a} > \sqrt{b}. \]

Comme \(n^2 + 3\) est croissant, et que la racine carrée conserve l’ordre, on obtient : \[ \sqrt{(n+1)^2 + 3} > \sqrt{n^2 + 3}. \]

Conclusion : la suite \((u_n)\) est strictement croissante.

On calcule : \[ u_{n+1} - u_n = -5. \] Cette différence est négative.

Conclusion : la suite \((u_n)\) est strictement décroissante.

On remplace \(n\) par 0 dans l’inégalité : \[ 3^0 \ge 1 + 2 \times 0. \] On calcule : \[ 3^0 = 1, \qquad 1 + 2 \times 0 = 1. \] On obtient : \[ 1 \ge 1. \] Cette inégalité est vraie.

Conclusion : la propriété \(\mathcal{P}_0\) est vraie.

On suppose que la propriété \(\mathcal{P}_n\) est vraie pour un entier \(n \ge 0\). Cela signifie que : \[ 3^n \ge 1 + 2n. \]

On veut montrer que : \[ 3^{n+1} \ge 1 + 2(n+1). \]

On part de l’expression de \(3^{n+1}\) : \[ 3^{n+1} = 3 \cdot 3^n. \] En utilisant l’hypothèse de récurrence : \[ 3^n \ge 1 + 2n, \] on obtient : \[ 3^{n+1} = 3 \times 3^n \ge 3(1 + 2n). \]

On développe : \[ 3(1 + 2n) = 3 + 6n. \] On compare maintenant : \[ 3 + 6n \quad \text{et} \quad 1 + 2(n+1). \] On calcule : \[ 1 + 2(n+1) = 1 + 2n + 2 = 3 + 2n. \]

On remarque que : \[ 3 + 6n \ge 3 + 2n \] car \(6n \ge 2n\) pour tout entier \(n \ge 0\).

On a donc : \[ 3^{n+1} \ge 3 + 6n \ge 3 + 2n = 1 + 2(n+1). \]

Conclusion : la propriété \(\mathcal{P}_{n+1}\) est vraie.

On a montré que :
• la propriété \(\mathcal{P}_0\) est vraie ;
• si \(\mathcal{P}_n\) est vraie, alors \(\mathcal{P}_{n+1}\) est vraie.

Conclusion : Par le principe de récurrence, la propriété \(\mathcal{P}_n\) est vraie pour tout entier \(n \ge 0\).

On vérifie la propriété au rang \(n = 0\).

On a : \[ u_0 = 5. \] On vérifie l’encadrement : \[ 2 \le 5 \le 5. \] L’inégalité est vraie.

Conclusion : la propriété est vraie au rang 0.

On suppose que pour un certain entier \(n \ge 0\), la propriété est vraie : \[ 2 \le u_n \le 5. \] On veut montrer qu’elle reste vraie au rang \(n+1\).

On utilise la relation de récurrence : \[ u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 1. \]

Majoration :
Comme \(u_n \le 5\), on obtient : \[ u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 1 \le \frac{1}{2} \times 5 + 1 = \frac{5}{2} + 1 = \frac{7}{2}. \] On remarque que : \[ \frac{7}{2} = 3{,}5 \le 5. \] Donc : \[ u_{n+1} \le 5. \]

Minoration :
Comme \(u_n \ge 2\), on obtient : \[ u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 1 \ge \frac{1}{2} \times 2 + 1 = 1 + 1 = 2. \] Donc : \[ u_{n+1} \ge 2. \]

Conclusion : si la propriété est vraie au rang \(n\), elle est vraie au rang \(n+1\).

La propriété est vraie au rang 0 et elle est héréditaire.

Conclusion : Pour tout entier \(n \ge 0\), on a : \[ 2 \le u_n \le 5. \]

On factorise par \(n^2\) : \[ n^2 - 2n = n^2\left(1 - \frac{2}{n}\right). \] Lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\), on a : \[ \frac{2}{n} \to 0, \quad \text{donc} \quad 1 - \frac{2}{n} \to 1. \] Le facteur \(n^2\) tend vers \(+\infty\). Le produit d’un terme qui tend vers \(+\infty\) et d’un terme qui tend vers 1 tend vers \(+\infty\).

Conclusion : \(\displaystyle \lim_{n\to +\infty} (n^2 - 2n) = +\infty.\)

On factorise par \(n^3\) : \[ -3n^3 + 5n^2 + 6n - 1 = n^3\left(-3 + \frac{5}{n} + \frac{6}{n^2} - \frac{1}{n^3}\right). \] Lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\), on a : \[ \frac{5}{n} \to 0, \quad \frac{6}{n^2} \to 0, \quad \frac{1}{n^3} \to 0, \] donc : \[ -3 + \frac{5}{n} + \frac{6}{n^2} - \frac{1}{n^3} \to -3. \] Le facteur \(n^3\) tend vers \(+\infty\), et le facteur entre parenthèses tend vers \(-3\). Le produit tend donc vers \(-\infty\).

Conclusion : \(\displaystyle \lim_{n\to +\infty} (-3n^3 + 5n^2 + 6n - 1) = -\infty.\)

On factorise chaque polynôme par sa puissance dominante : \[ n^2 - 7n + 2 = n^2\left(1 - \frac{7}{n} + \frac{2}{n^2}\right), \] \[ n^3 - 8n + 1 = n^3\left(1 - \frac{8}{n^2} + \frac{1}{n^3}\right). \] Le produit devient : \[ (n^2 - 7n + 2)(n^3 - 8n + 1) = n^5\left(1 - \frac{7}{n} + \frac{2}{n^2}\right) \left(1 - \frac{8}{n^2} + \frac{1}{n^3}\right). \] Lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\), on a : \[ 1 - \frac{7}{n} + \frac{2}{n^2} \to 1, \quad 1 - \frac{8}{n^2} + \frac{1}{n^3} \to 1. \] Le facteur \(n^5\) tend vers \(+\infty\). Le produit tend donc vers \(+\infty\).

Conclusion : \(\displaystyle \lim_{n\to +\infty} (n^2 - 7n + 2)(n^3 - 8n + 1) = +\infty.\)

On factorise numérateur et dénominateur par \(n^2\) :
Numérateur : \[ 6n^2 + 3n + 5 = n^2\left(6 + \frac{3}{n} + \frac{5}{n^2}\right). \] Dénominateur : \[ -2n^2 + 5n - 1 = n^2\left(-2 + \frac{5}{n} - \frac{1}{n^2}\right). \] La fraction devient : \[ \frac{6n^2 + 3n + 5}{-2n^2 + 5n - 1} = \frac{6 + \frac{3}{n} + \frac{5}{n^2}}{-2 + \frac{5}{n} - \frac{1}{n^2}}. \] Lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\), on a : \[ \frac{3}{n} \to 0, \quad \frac{5}{n^2} \to 0, \quad \frac{5}{n} \to 0, \quad \frac{1}{n^2} \to 0. \] Donc : \[ 6 + \frac{3}{n} + \frac{5}{n^2} \to 6, \quad -2 + \frac{5}{n} - \frac{1}{n^2} \to -2. \] La limite de la fraction est : \[ \frac{6}{-2} = -3. \]

Conclusion : \(\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \frac{6n^2 + 3n + 5}{-2n^2 + 5n - 1} = -3.\)

On factorise le numérateur par \(n^7\) et le dénominateur par \(n^2\) :
Numérateur : \[ 9n^7 - 5n^4 + n = n^7\left(9 - \frac{5}{n^3} + \frac{1}{n^6}\right). \] Dénominateur : \[ n^2 + 1 = n^2\left(1 + \frac{1}{n^2}\right). \] La fraction devient : \[ \frac{9n^7 - 5n^4 + n}{n^2 + 1} = n^5 \cdot \frac{9 - \frac{5}{n^3} + \frac{1}{n^6}}{1 + \frac{1}{n^2}}. \] Lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\), on a : \[ \frac{5}{n^3} \to 0, \quad \frac{1}{n^6} \to 0, \quad \frac{1}{n^2} \to 0. \] Donc : \[ 9 - \frac{5}{n^3} + \frac{1}{n^6} \to 9, \quad 1 + \frac{1}{n^2} \to 1. \] Le facteur \(n^5\) tend vers \(+\infty\). Le produit tend donc vers \(+\infty\).

Conclusion : \(\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \frac{9n^7 - 5n^4 + n}{n^2 + 1} = +\infty.\)

On factorise le numérateur par \(n^2\) et le dénominateur par \(n^3\) :
Numérateur : \[ 6n^2 + 4n - 2 = n^2\left(6 + \frac{4}{n} - \frac{2}{n^2}\right). \] Dénominateur : \[ 8n^3 + 7n^2 - 4n + 7 = n^3\left(8 + \frac{7}{n} - \frac{4}{n^2} + \frac{7}{n^3}\right). \] La fraction devient : \[ \frac{6n^2 + 4n - 2}{8n^3 + 7n^2 - 4n + 7} = \frac{1}{n} \cdot \frac{6 + \frac{4}{n} - \frac{2}{n^2}} {8 + \frac{7}{n} - \frac{4}{n^2} + \frac{7}{n^3}}. \] Lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\), on a : \[ \frac{4}{n} \to 0, \quad \frac{2}{n^2} \to 0, \quad \frac{7}{n} \to 0, \quad \frac{4}{n^2} \to 0, \quad \frac{7}{n^3} \to 0. \] Donc : \[ 6 + \frac{4}{n} - \frac{2}{n^2} \to 6, \quad 8 + \frac{7}{n} - \frac{4}{n^2} + \frac{7}{n^3} \to 8. \] Le quotient entre parenthèses tend vers \(\dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}\). Le facteur \(\dfrac{1}{n}\) tend vers 0. Le produit tend donc vers 0.

Conclusion : \(\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \frac{6n^2 + 4n - 2}{8n^3 + 7n^2 - 4n + 7} = 0.\)

On a pour tout \(n\ge 0\) : \[ n^4 \le (n+1)^4. \] Comme \(n^4 \to +\infty\), on obtient : \[ (n+1)^4 \to +\infty. \]

On a : \[ 6n \le 6n+5. \] Donc : \[ \sqrt{6n} \le \sqrt{6n+5}. \] Comme \(\sqrt{6n} \to +\infty\), on obtient : \[ \sqrt{6n+5} \to +\infty. \]

On a : \[ n^2 \le n^2 + 2n + 3. \] Donc : \[ \sqrt{n^2} \le \sqrt{n^2+2n+3}. \] Or : \[ \sqrt{n^2} = n \to +\infty. \] Donc : \[ \sqrt{n^2+2n+3} \to +\infty. \]

On a : \[ n^3 \le n^3 + 1. \] Donc : \[ \sqrt{n^3} \le \sqrt{n^3+1}. \] Or : \[ \sqrt{n^3} = n^{3/2} \to +\infty. \] Donc : \[ \sqrt{n^3+1} \to +\infty. \]

On a : \[ (n+5)^3 \ge n^3. \] Donc : \[ -(n+5)^3 \le -n^3. \] Comme : \[ -n^3 \to -\infty, \] on obtient : \[ -(n+5)^3 \to -\infty. \]

Pour tout \(n\ge 1\), on a : \[ n+2 \ge n. \] Donc : \[ (n+2)^n \ge n^n. \] Or : \[ n^n \to +\infty. \] Donc : \[ (n+2)^n \to +\infty. \]

On sait que : \[ -1 \le \cos(n) \le 1. \] Donc : \[ -\frac{1}{n^2} \le \frac{\cos(n)}{n^2} \le \frac{1}{n^2}. \] Or : \[ \frac{1}{n^2} \to 0. \] Par le théorème des gendarmes : \[ \frac{\cos(n)}{n^2} \to 0. \]

On sait que : \[ -1 \le \sin(n) \le 1. \] Donc : \[ -3 \le 3\sin(n) \le 3. \] On encadre : \[ n^3 - 3 \le n^3 + 3\sin(n) \le n^3 + 3. \] Comme : \[ n^3 - 3 \to +\infty \quad \text{et} \quad n^3 + 3 \to +\infty, \] la suite tend vers \(+\infty\).

On sait que : \[ -1 \le \sin(\sqrt{n}) \le 1. \] Donc : \[ -2n^4 \le 2n^4\sin(\sqrt{n}) \le 2n^4. \] On encadre : \[ -5n^4 - 2n^4 \le -5n^4 + 2n^4\sin(\sqrt{n}) \le -5n^4 + 2n^4. \] Soit : \[ -7n^4 \le u_n \le -3n^4. \] Les deux bornes tendent vers \(-\infty\). Donc : \[ u_n \to -\infty. \]

On sait que : \[ -1 \le \cos(n^5) \le 1. \] Donc : \[ -n^3 \le n^3\cos(n^5) \le n^3. \] On encadre : \[ n^4 - n^3 \le n^4 - n^3\cos(n^5) \le n^4 + n^3. \] Les deux bornes tendent vers \(+\infty\). Donc : \[ n^4 - n^3\cos(n^5) \to +\infty. \]

On sait que : \[ -1 \le (-1)^n \le 1. \] Donc : \[ -\frac{1}{n} \le \frac{(-1)^n}{n} \le \frac{1}{n}. \] Or : \[ \frac{1}{n} \to 0. \] Par gendarmes : \[ \frac{(-1)^n}{n} \to 0. \]

On sait que : \[ -1 \le \sin(n^3) \le 1, \qquad -1 \le \cos(n^2) \le 1. \] Donc : \[ -2 \le \sin(n^3)+\cos(n^2) \le 2. \] On encadre : \[ n^2 - 2n \le n^2 + (\sin(n^3)+\cos(n^2))n \le n^2 + 2n. \] Les deux bornes tendent vers \(+\infty\). Donc : \[ n^2 + (\sin(n^3)+\cos(n^2))n \to +\infty. \]

On sait que : \[ 2 \le 3+(-1)^n \le 4. \] Et : \[ 0{,}7^n \to 0. \] Donc : \[ 2\cdot 0{,}7^n \le (3+(-1)^n)\,0{,}7^n \le 4\cdot 0{,}7^n. \] Les deux bornes tendent vers 0. Par gendarmes : \[ (3+(-1)^n)\,0{,}7^n \to 0. \]

On étudie le signe de : \[ v_{n+1} - v_n. \] On calcule : \[ v_{n+1} = \frac{6(n+1)+3}{(n+1)+1} = \frac{6n + 9}{n + 2}. \] Donc : \[ v_{n+1} - v_n = \frac{6n+9}{n+2} - \frac{6n+3}{n+1}. \] On met au même dénominateur : \[ v_{n+1} - v_n = \frac{(6n+9)(n+1) - (6n+3)(n+2)}{(n+2)(n+1)}. \] On développe : \[ (6n+9)(n+1) = 6n^2 + 15n + 9, \] \[ (6n+3)(n+2) = 6n^2 + 15n + 6. \] Donc : \[ v_{n+1} - v_n = \frac{(6n^2 + 15n + 9) - (6n^2 + 15n + 6)}{(n+2)(n+1)} = \frac{3}{(n+2)(n+1)}. \] Le dénominateur est strictement positif pour tout \(n\in\mathbb{N}\). Donc : \[ v_{n+1} - v_n > 0. \] Conclusion : la suite \((v_n)\) est strictement croissante.

On étudie : \[ v_n = \frac{6n+3}{n+1}. \] On veut montrer : \[ v_n \le 6. \] Comme le dénominateur est positif, on peut multiplier : \[ 6n + 3 \le 6(n+1). \] On développe : \[ 6n + 3 \le 6n + 6. \] Cette inégalité est vraie pour tout \(n\). Donc : \[ v_n \le 6. \] Conclusion : la suite est majorée par 6.

On a montré que :
• la suite \((v_n)\) est croissante ;
• la suite \((v_n)\) est majorée par 6.

Par le théorème de convergence monotone, toute suite croissante et majorée est convergente.

Conclusion : la suite \((v_n)\) est convergente.