Vecteurs du plan

Rappel de cours

Dans un repère du plan, si l'on connait les coordonnées de deux points $A(x_A; y_A)$ et $B(x_B; y_B)$, alors les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont données par la formule :

$$ \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} $$

Application numérique

En remplaçant par les coordonnées des points $A(1;2)$ et $B(4;6)$ :

$$ \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 - 1 \\ 6 - 2 \end{pmatrix} $$

Calculs

$$ \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}. $$

Rappel de cours

Dans un repère orthonormal du plan, si un vecteur $\overrightarrow{u}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, sa norme (notée $\|\overrightarrow{u}\|$) est la longueur du vecteur, calculée par la formule :

$$ \|\overrightarrow{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}. $$

Application numérique

Pour le vecteur $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ :

$$ \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{3^2 + 4^2}. $$

Calculs

$$ \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{9 + 16} $$ $$ \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{25} $$ $$ \|\overrightarrow{AB}\| = 5. $$

Rappel de cours

Un quadrilatère $ABDC$ est un parallélogramme si et seulement si ses côtés opposés forment des vecteurs égaux, c'est-à-dire si :

$$ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \quad (\text{ou } \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}) $$

Calcul des coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$

À partir des points $A(0;0)$ et $B(2;3)$ :

$$ \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - 0 \\ 3 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} $$

Calcul des coordonnées du vecteur $\overrightarrow{CD}$

À partir des points $C(5;1)$ et $D(3;-2)$ :

$$ \overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} x_D - x_C \\ y_D - y_C \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - 5 \\ -2 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \end{pmatrix} $$

Remarque : Pour tester l'ordre des sommets $ABDC$, on calcule plutôt le vecteur $\overrightarrow{AC}$ et le vecteur $\overrightarrow{BD}$, ou alors le vecteur $\overrightarrow{DC}$ :

$$ \overrightarrow{DC}\begin{pmatrix} x_C - x_D \\ y_C - y_D \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 - 3 \\ 1 - (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} $$

On constate donc que $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$, ce qui signifie que le quadrilatère $ABDC$ (attention à l'ordre des sommets : de $A$ vers $B$ puis de $D$ vers $C$) est un parallélogramme.

Puisque $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$, les vecteurs sont égaux et donc $ABDC$ est bien un parallélogramme.

Représentation graphique

Rappel de la relation de Chasles

Pour tous points $A$, $B$ et $C$ du plan, la relation de Chasles s'écrit :

$$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}. $$

Application successive à la somme

On applique la relation de Chasles étape par étape en regroupant les termes :

$$ \left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\right) + \overrightarrow{CD}. $$

En remplaçant la première partie par $\overrightarrow{AC}$ :

$$ \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD}. $$

On applique une nouvelle fois la relation de Chasles avec le point $C$ :

$$ \overrightarrow{AD}. $$

Représentation graphique

Rappel de cours

Dans un repère du plan, si l'on additionne deux vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix}$, les coordonnées du vecteur somme $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$ s'obtiennent en additionnant leurs coordonnées respectives :

$$ (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})\begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \end{pmatrix} $$

Application numérique

En remplaçant par les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ :

$$ (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})\begin{pmatrix} 2 + 3 \\ -1 + 4 \end{pmatrix} $$ soit, $$ (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}. $$

Rappel de cours

Dans un repère du plan, pour multiplier un vecteur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ par un nombre réel $k$, on multiplie chacune de ses coordonnées par $k$ :

$$ (k\overrightarrow{u})\begin{pmatrix} k \times x \\ k \times y \end{pmatrix}. $$

Application numérique

En remplaçant par les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{u}$ et $k = 3$ :

$$ (3\overrightarrow{u})\begin{pmatrix} 3 \times 2 \\ 3 \times (-1) \end{pmatrix} $$ soit, $$ (3\overrightarrow{u})\begin{pmatrix} 6 \\ -3 \end{pmatrix}. $$

Rappel de cours (Critère de colinéarité)

Deux vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul, c'est-à-dire :

$$ \det(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = x \times y' - y \times x' = 0 $$

Autrement dit, l'un est un multiple de l'autre ($\overrightarrow{u} = k\overrightarrow{v}$).

Application numérique avec le déterminant

Calculons le déterminant des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ :

$$ \det(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = 4 \times 3 - 6 \times 2. $$ Soit, $$ \det(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = 12 - 12 = 0. $$

On remarque également directement que $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{v}$ car :

$$ \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix} = 2 \times \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}. $$

Rappel de cours (Condition de colinéarité)

Deux vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul :

$$ \det(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = x \times y' - y \times x' = 0 $$

Mise en équation

À partir des coordonnées de $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2 \\ m \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}$, on calcule le déterminant :

$$ \det(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = 2 \times 6 - m \times 4 = 12 - 4m $$

Pour que les vecteurs soient colinéaires, il faut que ce déterminant soit égal à $0$ :

$$ 12 - 4m = 0. $$

Résolution de l'équation

$$ 4m = 12 $$ $$ m = \frac{12}{4} = 3. $$ En conséquence, pour que les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ soient colinéaires, la valeur de $m$ doit être égale à $3$ (le vecteur $\overrightarrow{u}$ est alors égal à $\frac{1}{2}\overrightarrow{v}$).

Traduction vectorielle

Le quadrilatère $ABDC$ est un parallélogramme si et seulement si ses côtés opposés forment des vecteurs égaux, c'est-à-dire :

$$ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} $$

Calcul des coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$

À partir des points $A(1;1)$ et $B(4;2)$ :

$$ \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - 1 \\ 2 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} $$

Expression des coordonnées du vecteur $\overrightarrow{DC}$

Soit $D(x_D; y_D)$ le point recherché. Connaissant $C(2;5)$ :

$$ \overrightarrow{DC}\begin{pmatrix} x_C - x_D \\ y_C - y_D \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - x_D \\ 5 - y_D \end{pmatrix} $$

Résolution du système d'équations

Puisque $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$, on égale leurs coordonnées respectives :

• Pour l'abscisse : $$ 2 - x_D = 3 \implies x_D = 2 - 3 = -1 $$
• Pour l'ordonnée : $$ 5 - y_D = 1 \implies y_D = 5 - 1 = 4. $$

Le point $D$ a pour coordonnées $(-1; 4)$.

Rappel de cours

Trois points $A, B$ et $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires (c'est-à-dire s'il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC}$).

Calcul des coordonnées des vecteurs

• Pour $\overrightarrow{AB}$ avec $A(1;1)$ et $B(3;5)$ : $$ \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 - 1 \\ 5 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} $$
• Pour $\overrightarrow{AC}$ avec $A(1;1)$ et $C(4;7)$ : $$ \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 4 - 1 \\ 7 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}. $$

Vérification de la colinéarité

On calcule le déterminant de ces deux vecteurs :

$$ \det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 2 \times 6 - 4 \times 3 = 12 - 12 = 0 $$

Le déterminant est nul, donc les vecteurs sont colinéaires. On peut aussi observer directement que :

$$ \overrightarrow{AC} = 1{,}5 \times \overrightarrow{AB} \quad (\text{ou } \overrightarrow{AB} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}). $$ Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ étant colinéaires, les points $A, B$ et $C$ sont alignés.