Vecteurs du plan
Cours
1. Définition d'un vecteur
Un vecteur $\overrightarrow{AB}$ est caractérisé par trois éléments : sa direction (celle de la droite $(AB)$), son sens (de $A$ vers $B$) et sa longueur (notée $\|\overrightarrow{AB}\|$, égale à la distance $AB$).
2. Égalité de vecteurs
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ si et seulement si $ABDC$ est un parallélogramme (éventuellement aplati), ce qui équivaut à dire que les vecteurs ont mêmes coordonnées.
3. Relation de Chasles
Pour tous points $A$, $B$, $C$ :
$$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$$
4. Colinéarité et multiplication par un réel
Le vecteur $k\vec{u}$ (avec $k \in \mathbb{R}$) a la même direction que $\vec{u}$, un sens identique si $k>0$ (opposé si $k<0$), et une longueur multipliée par $|k|$.
Deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'il existe $k \in \mathbb{R}$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$.
5. Coordonnées d'un vecteur
Si $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$, alors $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $(x_B-x_A ; y_B-y_A)$, et sa norme est :
$$\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$$
6. Critère de colinéarité par les coordonnées
$\overrightarrow{u}(x;y)$ et $\overrightarrow{v}(x';y')$ sont colinéaires si et seulement si :
$$xy' - x'y = 0$$
Ce critère permet notamment de démontrer que trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés (en vérifiant que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires).