Nombres et calculs
Cours
1. Ensembles de nombres
On distingue plusieurs ensembles de nombres, imbriqués les uns dans les autres :
$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$$
- $\mathbb{N}$ : entiers naturels (0, 1, 2, 3...)
- $\mathbb{Z}$ : entiers relatifs (..., -2, -1, 0, 1, 2...)
- $\mathbb{D}$ : nombres décimaux (qui ont un nombre fini de chiffres après la virgule)
- $\mathbb{Q}$ : nombres rationnels (qui s'écrivent comme quotient de deux entiers, ex : $\frac{1}{3}$)
- $\mathbb{R}$ : nombres réels (tous les précédents, plus les nombres comme $\sqrt{2}$ ou $\pi$)
2. Valeur absolue et distance
La valeur absolue d'un nombre réel $a$, notée $|a|$, correspond à sa distance à 0 sur la droite des nombres :
$$|a| = a \text{ si } a \geq 0, \qquad |a| = -a \text{ si } a < 0$$
La distance entre deux réels $a$ et $b$ est $|a-b|$. Ainsi, $|x-3| = 5$ signifie que $x$ est à distance $5$ de $3$, donc $x = 8$ ou $x = -2$.
3. Intervalles de $\mathbb{R}$
Un intervalle représente un ensemble continu de nombres réels. Notations principales :
- $[a;b]$ : tous les réels entre $a$ et $b$, bornes incluses
- $]a;b[$ : bornes exclues
- $[a;+\infty[$, $]-\infty;a]$ : intervalles non bornés
L'intersection $\cap$ garde ce qui est commun aux deux intervalles ; la réunion $\cup$ rassemble tous les éléments des deux.
Exemple
$[-2;5] \cap [1;8] = [1;5]$ et $[-2;5] \cup [1;8] = [-2;8]$.
4. Puissances
Pour $a \neq 0$ et $n$ entier naturel :
$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}, \qquad a^m \times a^n = a^{m+n}, \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \qquad (a^m)^n = a^{mn}$$
L'écriture scientifique d'un nombre s'écrit $a \times 10^n$ avec $1 \leq a < 10$. Par exemple $36\,000 = 3{,}6 \times 10^4$.
5. Racines carrées
Pour $a \geq 0$, $\sqrt{a}$ est l'unique nombre positif dont le carré vaut $a$. Propriétés, pour $a, b \geq 0$ :
$$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}, \qquad \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \ (b>0), \qquad \left(\sqrt{a}\right)^2 = a$$
Exemple : simplifier une racine
$\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$.
6. Comparer des nombres sans calculatrice
Pour comparer deux nombres positifs, on peut comparer leurs carrés (la fonction carré est croissante sur $[0;+\infty[$) : si $0 \leq a < b$ alors $a^2 < b^2$, et réciproquement.
Exemple
Comparer $\sqrt{50}$ et $7$ : $\left(\sqrt{50}\right)^2 = 50$ et $7^2 = 49$. Comme $50 > 49$, on a $\sqrt{50} > 7$.
7. Ordre de grandeur
L'ordre de grandeur d'un nombre est une puissance de $10$ proche de ce nombre, utile pour vérifier rapidement la vraisemblance d'un résultat.
Exemple
$12\,300\,000 = 1{,}23 \times 10^7$ a pour ordre de grandeur $10^7$.