Divisibilité dans Z, division euclidienne
Cours
1. Multiples et diviseurs
Soient $a, b \in \mathbb{Z}$. On dit que $a$ divise $b$ (ou que $b$ est un multiple de $a$), noté $a \mid b$, s'il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $b = ka$.
2. Propriétés de la divisibilité
- Si $a \mid b$ et $b \mid c$, alors $a \mid c$ (transitivité)
- Si $a \mid b$ et $a \mid c$, alors $a$ divise toute combinaison $bx + cy$ avec $x, y \in \mathbb{Z}$
- $0$ est un multiple de tout entier ; tout entier divise $0$
3. Division euclidienne
Théorème : pour tout $a \in \mathbb{Z}$ et tout $b \in \mathbb{N}^*$, il existe un unique couple $(q, r) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N}$ tel que :
$$a = bq + r \quad \text{avec} \quad 0 \leq r < b$$
$q$ est le quotient et $r$ le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$.
Exemple
Division de $157$ par $12$ : $157 = 12 \times 13 + 1$, donc $q=13$ et $r=1$.
4. Critères de divisibilité usuels
- Par $2$ : le dernier chiffre est pair
- Par $3$ : la somme des chiffres est divisible par $3$
- Par $5$ : le dernier chiffre est $0$ ou $5$
- Par $9$ : la somme des chiffres est divisible par $9$
5. Liens utiles
Exercices Corrigés
Montrer que $7$ divise $91$.
Déterminer les diviseurs positifs de $36$.
Effectuer la division euclidienne de $157$ par $12$.
Montrer que si $a \mid b$ et $a \mid c$, alors $a \mid (2b-3c)$.
Déterminer le reste de la division euclidienne de $-17$ par $5$.
Montrer que le produit de deux entiers consécutifs $n(n+1)$ est toujours divisible par $2$.
Déterminer les entiers $n$ tels que $n+1$ divise $n+7$.
Vérifier que $6 \mid n(n+1)(n+2)$ pour $n=4$, puis énoncer la propriété générale.
En utilisant le critère de divisibilité par $9$, déterminer si $738$ est divisible par $9$.
Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de $2024$ par $7$.