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Fonctions continues et limites

Cours

Fiche Continuité – Terminale Spé

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Continuité

Soit une fonction $ f $ définie sur un intervalle $ I $ et $ a \in I $.

On dit que $ f $ est continue en $ a $ si : \[ \lim_{x\to a} f(x) = f(a) \]
On dit que $ f $ est continue sur $ I $ si elle est continue en tout point de $ I $.

Discontinuité

On appelle point de discontinuité tout point en lequel une fonction n'est pas continue.

Exemple : La fonction inverse est discontinue en 0, car ses limites en 0 sont infinies.
En effet, la courbe représentative de la fonction inverse n'est pas continue sur $ \mathbb{R} $. En revanche, elle l'est sur $ ]-\infty ; 0[ $ et sur $ ]0 ; +\infty[ $.

Fonctions continues de référence

Les fonctions polynômes sont continues sur $ \mathbb{R} $.
Les fonctions rationnelles sont continues sur tout intervalle inclus dans leur ensemble de définition.
La fonction racine carrée est continue sur $ [0 ; +\infty[ $.
La fonction exponentielle est continue sur $ \mathbb{R} $.
Les fonctions $ \cos $ et $ \sin $ sont continues sur $ \mathbb{R} $.

Continuité et tableau de variations

Dans un tableau de variations, un point de discontinuité est représenté par une double barre verticale.

Par exemple, pour la fonction inverse :

Une fonction bien définie n'est pas forcément continue

Une fonction peut être définie sur un intervalle $ I $ sans nécessairement être continue sur $ I $. Exemple : La fonction partie entière $ f(x)=\lfloor x \rfloor $ est définie en tout point de $ \mathbb{R} $, mais elle n'est pas continue sur $ \mathbb{R} $.

Propriétés

Les fonctions obtenues par somme, produit ou quotient de fonctions continues sont continues sur les intervalles où elles sont définies.
Si $ f = v \circ u $, avec $ u $ continue sur $ I $ et $ v $ continue sur $ u(I) $, alors $ f $ est continue sur $ I $.

Théorème des valeurs intermédiaires

Soit $ f $ une fonction définie et continue sur un intervalle $ I $, et soient $ a $ et $ b $ deux réels de $ I $. Pour tout réel $ k $ compris entre $ f(a) $ et $ f(b) $, l'équation $ f(x)=k $ admet au moins une solution comprise entre $ a $ et $ b $.

Exemple : La fonction $f$ est continue sur $[0;6]$.
De plus, $f(0)<1 L'équation $f(x)=1$ admet deux solutions.

Corollaire du T.V.I. (Théorème de bijection)

Soit $ f $ une fonction définie sur un intervalle $ I $, et soient \( a

Exemple : La fonction $f$ est continue sur $[0;2]$.
$f$ est croissante sur $[0,2]$.
$f(0)<1 L'équation $f(x)=0$ admet une solution unique.

Théorème du point fixe

Soit une suite $ (u_n) $ définie par $ u_{n+1} = f(u_n) $ et convergente vers $ \ell $. Si $ f $ est continue en $ \ell $, alors la limite $ \ell $ est solution de l’équation $ f(x)=x $.

Exemple : \[ u_0 = 0.8,\quad u_{n+1} = u_n^2,\quad f(x)=x^2. \] La limite est $ 0 $, solution de $ f(x)=x $.

Exercices Corrigés

La fonction $f$ est définie par $f(x)=x+1$ si $x<2$ et $f(x)=2x-1$ si $x \geq 2$. Étudier la continuité de $f$ en $x=2$.

$\lim_{x \to 2^-} f(x) = 2+1=3$. $f(2) = 2\times2-1=3$.
Les limites à gauche et à droite ainsi que la valeur en $2$ coïncident : $f$ est continue en $x=2$.

Soit $f(x)=x^3-3x+1$ sur $[0;2]$. Justifier que l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution sur $[0;2]$.

$f$ est continue sur $[0;2]$ (fonction polynôme). $f(0)=1>0$ et $f(1)=1-3+1=-1<0$.
Sur $[0;1]$, $f$ change de signe : d'après le TVI, l'équation admet au moins une solution.

Justifier que cette solution est unique sur $[0;1]$, sachant que $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.

$f$ est continue et strictement décroissante sur $[0;1]$.
Comme $0$ est entre $f(0)=1$ et $f(1)=-1$, le corollaire du TVI garantit une solution unique.

Par dichotomie, encadrer à $0{,}25$ près la solution de $f(x)=0$ sur $[0;1]$.

$f(0{,}5)=-0{,}375<0$ donc la solution est dans $[0;0{,}5]$.
$f(0{,}25)=0{,}266>0$ donc la solution est dans $[0{,}25;0{,}5]$.

Calculer $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^2+2x}{x^2-5}$.

On factorise par $x^2$ : $\dfrac{3+\frac{2}{x}}{1-\frac{5}{x^2}} \to 3$.

Calculer $\lim_{x \to 0} \sqrt{x^2+4}$.

$x^2+4 \to 4$ et la racine est continue : la limite vaut $2$.

Étudier le comportement de $f(x)=\dfrac{1}{x-3}$ au voisinage de $x=3$.

Quand $x \to 3^+$, $f(x) \to +\infty$ ; quand $x \to 3^-$, $f(x) \to -\infty$.
Asymptote verticale : $x=3$.

La température d'une pièce vaut $T(0)=15$°C et $T(2)=22$°C. Justifier qu'elle est passée par $18$°C.

$T$ est continue sur $[0;2]$ et $18$ est entre $15$ et $22$.
TVI : il existe $t$ tel que $T(t)=18$.

La fonction $f$ est définie par $f(x)=ax+1$ si $x \leq 1$ et $f(x)=x^2+2$ si $x>1$. Déterminer $a$ pour que $f$ soit continue en $x=1$.

Continuité : $a+1 = 3$ donc $a=2$.

Montrer que l'équation $x^3=10$ admet une unique solution réelle, et l'encadrer entre deux entiers consécutifs.

La fonction cube est continue et strictement croissante.
Comme $2^3=8<10<27=3^3$, la solution est unique dans $]2;3[$.

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