Fonctions continues et limites

Rappel de cours (Théorème de la bijection / Corollaire du TVI) :
Si une fonction $f$ est :

1. Continue sur un intervalle $[a\,;\,b]$,
2. Strictement monotone (strictement croissante ou strictement décroissante) sur $[a\,;\,b]$,

alors, pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[a\,;\,b]$.

Vérifions les trois conditions du corollaire du TVI sur l'intervalle $[0\,;\,1]$ :

Continuité :

La fonction $f$ est une fonction polynomiale, donc elle est continue sur $\mathbb{R}$, et en particulier sur $[0\,;\,1]$.

Stricte monotonie :

La fonction $f$ est strictement décroissante sur $[0\,;\,1]$.

Images aux bornes :

• $f(0) = 0^3 - 3(0) + 1 = 1$
• $f(1) = 1^3 - 3(1) + 1 = -1$

Le réel $0$ est compris entre $f(1) = -1$ et $f(0) = 1$ ($f(1) < 0 < f(0)$).

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (ou théorème de la bijection), l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[0\,;\,1]$.

Principe de la dichotomie :
À chaque étape sur un intervalle $[a\,;\,b]$ :

1. On calcule le milieu $m = \dfrac{a + b}{2}$.
2. On calcule l'image $f(m)$.
3. Comme $f$ est strictement décroissante, si $f(m) > 0$, alors $\alpha \in [m\,;\,b]$. Si $f(m) < 0$, alors $\alpha \in [a\,;\,m]$.
4. On répète l'opération jusqu'à ce que la largeur de l'intervalle $(b - a)$ soit inférieure ou égale à $0{,}25$.

On part de l'intervalle initial $[a_0\,;\,b_0] = [0\,;\,1]$ d'amplitude $1$.

Étape	Intervalle $[a\,;\,b]$	Milieu $m$	$f(m) = m^3 - 3m + 1$	Signe de $f(m)$	Nouveal intervalle	Amplitude
Étape 1	$[0\,;\,1]$	$0{,}5$	$(0{,}5)^3 - 3(0{,}5) + 1 = -0{,}375$	$f(0{,}5) < 0$	$[0\,;\,0{,}5]$	$0{,}5$
Étape 2	$[0\,;\,0{,}5]$	$0{,}25$	$(0{,}25)^3 - 3(0{,}25) + 1 \approx 0{,}266$	$f(0{,}25) > 0$	$[0{,}25\,;\,0{,}5]$	$0{,}25$

À l'issue de l'étape 2, l'intervalle $[0{,}25\,;\,0{,}5]$ a une amplitude de $0{,}5 - 0{,}25 = 0{,}25$. La précision souhaitée est atteinte.

Un encadrement de $\alpha$ à $0{,}25$ près est : $$0{,}25 < \alpha < 0{,}5.$$

Rappel de cours :

• Pour lever la forme indéterminée "$\frac{\infty}{\infty}$" d'une fonction rationnelle en $\pm\infty$, on met en facteur le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur.
• Si $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ (avec $L \in \mathbb{R}$), alors la droite d'équation $y = L$ est une asymptote horizontale à la courbe $\mathcal{C}_f$ au voisinage de $+\infty$.

Calcul de la limite en $+\infty$ :

En $+\infty$, le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers $+\infty$, ce qui donne une forme indéterminée "$\frac{\infty}{\infty}$".

Mettons $x^2$ en facteur au numérateur et au dénominateur pour $x > 0$ :

$$f(x) = \dfrac{x^2 \left(3 + \dfrac{2}{x}\right)}{x^2 \left(1 - \dfrac{5}{x^2}\right)} = \dfrac{3 + \dfrac{2}{x}}{1 - \dfrac{5}{x^2}}$$

Déterminons les limites des différents termes lorsque $x \to +\infty$ :

• $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2}{x} = 0$, donc $\lim_{x \to +\infty} \left(3 + \dfrac{2}{x}\right) = 3$
• $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{5}{x^2} = 0$, donc $\lim_{x \to +\infty} \left(1 - \dfrac{5}{x^2}\right) = 1$

Par quotient des limites :

$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \dfrac{3}{1} = 3$$

Interprétation géométrique :

Géométriquement, la courbe $\mathcal{C}_f$ admet la droite d'équation $y = 3$ comme asymptote horizontale en $+\infty$.

Rappel de cours :
Si une fonction $f$ est continue en un point $a$, alors la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $a$ est simplement égale à l'image $f(a)$ : $$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$$ Pour une composée de fonctions continues $g \circ h$, si $\lim_{x \to a} h(x) = L$ et que la fonction $g$ est continue en $L$, alors $\lim_{x \to a} g(h(x)) = g(L)$.

Étude du terme sous la racine :

La fonction $x \mapsto x^2 + 4$ est une fonction polynomiale, donc continue sur $\mathbb{R}$. En particulier, quand $x$ tend vers $0$ :

$$\lim_{x \to 0} (x^2 + 4) = 0^2 + 4 = 4$$

Passage à la racine carrée :

La fonction racine carrée $y \mapsto \sqrt{y}$ est continue sur $[0\,;\,+\infty[$, et en particulier en $y = 4$.

Par composition des limites :

$$\lim_{x \to 0} \sqrt{x^2 + 4} = \sqrt{4} = 2$$

Rappel de cours :

• Pour déterminer la limite d'un quotient dont le dénominateur s'annule en un point $a$, on étudie le signe du dénominateur à gauche ($x < a$) et à droite ($x > a$).
• Si $\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty$ ou $\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty$, alors la droite d'équation $x = a$ est une asymptote verticale à la courbe $\mathcal{C}_f$.

Étude du dénominateur :

Quand $x \to 3$, le numérateur tend vers $1$ et le dénominateur $x - 3$ tend vers $0$. On distingue donc deux cas selon le signe de $x - 3$ :

• Si $x < 3$, alors $x - 3 < 0$, donc $\lim_{x \to 3^-} (x - 3) = 0^-$.
• Si $x > 3$, alors $x - 3 > 0$, donc $\lim_{x \to 3^+} (x - 3) = 0^+$.

Calcul des limites à gauche et à droite :

• Limite à gauche en $3$ ($x < 3$) : $$\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} \dfrac{1}{x - 3} = -\infty$$
• Limite à droite en $3$ ($x > 3$) : $$\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} \dfrac{1}{x - 3} = +\infty$$

Interprétation géométrique :

$\lim_{x \to 3^-} f(x) = -\infty$ et $\lim_{x \to 3^+} f(x) = +\infty$.
Géométriquement, la courbe $\mathcal{C}_f$ admet la droite d'équation $x = 3$ comme asymptote verticale.

Modélisation et continuité :

La température d'un milieu physique évolue de manière continue dans le temps (sans saut brutal de température). La fonction $t \mapsto T(t)$ est donc continue sur l'intervalle $[0\,;\,2]$.

Vérification des conditions aux bornes :

• À l'instant initial $t = 0$ : $T(0) = 15$ °C.
• À l'instant $t = 2$ : $T(2) = 22$ °C.

Encadrement de la valeur $18$ :

Le réel $18$ est compris entre $T(0)$ et $T(2)$ :

$$15 < 18 < 22 \quad \text{c'est-à-dire} \quad T(0) < 18 < T(2)$$

Application du théorème :

D'après le Théorème des Valeurs Intermédiaires, la fonction $T$ prenant ses valeurs de manière continue de $15$ °C à $22$ °C, elle passe par toutes les valeurs intermédiaires.

Calcul de l'image de $1$ et de la limite à gauche :

Pour $x \leq 1$, $f(x) = ax + 1$. On a donc :

$$f(1) = a(1) + 1 = a + 1$$ $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (ax + 1) = a + 1$$

Calcul de la limite à droite en $1$ ($x > 1$) :

Pour $x > 1$, $f(x) = x^2 + 2$.

$$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x^2 + 2) = 1^2 + 2 = 3$$

Par ailleurs, la fonction $f$ est continue en $x = 1$ si et seulement si :

$$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x)$$ $$a + 1 = 3.$$ Soit, $$a = 3 - 1 = 2.$$ Ainsi, la fonction $f$ est continue en $x = 1$ si et seulement si $a = 2$.

Définition de la fonction et étude des variations :

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3$.

• La fonction $f$ est une fonction de référence polynomiale, donc continue sur $\mathbb{R}$.
• Sa dérivée est $f'(x) = 3x^2$. Pour tout $x \neq 0$, $f'(x) > 0$. Ainsi, $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
• Ses limites aux bornes sont : $$\lim_{x \to -\infty} x^3 = -\infty \quad \text{et} \quad \lim_{x \to +\infty} x^3 = +\infty$$

Existence et unicité de la solution :

Comme $10 \in ]-\infty\,;\,+\infty[$, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x) = 10$ admet une unique solution réelle $\alpha$ sur $\mathbb{R}$.

Encadrement entre deux entiers consécutifs :

Calculons les cubes des premiers entiers naturels :

• $f(2) = 2^3 = 8$
• $f(3) = 3^3 = 27$

On observe que :

$$f(2) < 10 < f(3) \quad \iff \quad 8 < 10 < 27$$

Comme la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, on en déduit l'encadrement :

$$2 < \alpha < 3.$$

Principe de la méthode du balayage :
On parcourt l'intervalle $[0\,;\,1]$ en calculant les images des points distants d'un pas fixe ($p = 0{,}25$) : $0$, $0{,}25$, $0{,}50$, $0{,}75$, $1$.
Dès que la fonction change de signe entre deux valeurs successives $x_i$ et $x_{i+1}$, l'unique solution $\alpha$ se situe dans l'intervalle $[x_i\,;\,x_{i+1}]$.

Principe de la méthode du balayage :
On parcourt l'intervalle $[0\,;\,1]$ en calculant les images des points distants d'un pas fixe ($p = 0{,}25$) : $0$, $0{,}25$, $0{,}50$, $0{,}75$, $1$.
Dès que la fonction change de signe entre deux valeurs successives $x_i$ et $x_{i+1}$, l'unique solution $\alpha$ se situe dans l'intervalle $[x_i\,;\,x_{i+1}]$. Par la méthode du balayage au pas de $0{,}25$, l'encadrement de la solution $\alpha$ est : $$0{,}25 < \alpha < 0{,}50$$