Dénombrement

On dispose des 5 lettres : \[ A,\ B,\ C,\ D,\ E. \]

On cherche à former des mots de 5 lettres, avec répétition autorisée.

Pour chacune des 5 positions, on peut choisir l'une des 5 lettres.

On utilise donc le principe multiplicatif : \[ 5\times5\times5\times5\times5=5^5. \]

Ainsi : \[ 5^5=3125. \]

On peut donc former 3125 mots de 5 lettres.

On dispose des 5 lettres : \[ A,\ B,\ C,\ D,\ E. \]

On cherche à former des mots de 5 lettres, sans répétition.

Pour la première position, on a 5 choix.

Une fois la première lettre choisie, il reste 4 choix pour la deuxième position, puis 3 choix pour la troisième, 2 choix pour la quatrième et 1 choix pour la dernière.

D'après le principe multiplicatif : \[ 5\times4\times3\times2\times1. \]

Donc : \[ 5\times4\times3\times2\times1=120. \]

On peut donc former 120 mots de 5 lettres sans répétition.

Un cadenas possède un code composé de 4 chiffres. Chaque chiffre peut être choisi parmi : \[ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. \]

Il y a donc 10 choix pour chacune des 4 positions. La répétition des chiffres étant possible, on applique le principe multiplicatif : \[ 10\times10\times10\times10=10^4. \]

Ainsi : \[ 10^4=10000. \]

Il existe donc 10 000 codes possibles.

On lance un dé à 6 faces 6 fois. À chaque lancer, il y a 6 résultats possibles : \[ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6. \]

Les résultats des différents lancers sont indépendants. Pour chacun des 6 lancers, on dispose donc de 6 choix.

D'après le principe multiplicatif : \[ 6\times6\times6\times6\times6\times6=6^6. \]

On obtient : \[ 6^6=46656. \]

Il existe donc 46 656 suites possibles de résultats.

On dispose de 12 élèves et on souhaite choisir :

• un président ;
• un secrétaire ;
• un trésorier.

Les trois fonctions sont différentes : l'ordre des choix est donc important.

Pour le président, il y a 12 choix.

Une fois le président choisi, il reste 11 élèves pour le poste de secrétaire.

Il reste ensuite 10 élèves pour le poste de trésorier.

D'après le principe multiplicatif : \[ 12\times11\times10=1320. \]

Il y a donc 1320 manières de choisir un président, un secrétaire et un trésorier parmi 12 élèves.

Soit un ensemble \(E\) contenant 7 éléments.

Pour construire un sous-ensemble de \(E\), chaque élément a deux possibilités :

• être choisi dans le sous-ensemble ;
• ne pas être choisi.

Il y a donc 2 choix pour chacun des 7 éléments. D'après le principe multiplicatif : \[ 2\times2\times2\times2\times2\times2\times2=2^7. \]

Ainsi : \[ 2^7=128. \]

Un ensemble de 7 éléments possède donc 128 sous-ensembles, y compris l'ensemble vide et l'ensemble lui-même.

On dispose d'un jeu de 32 cartes et on souhaite choisir 4 cartes.

L'ordre dans lequel les cartes sont choisies n'a pas d'importance. On utilise donc une combinaison : \[ \binom{32}{4}. \]

On applique la formule : \[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}. \]

Ainsi : \[ \binom{32}{4} = \frac{32!}{4!\,28!}. \]

On simplifie : \[ \binom{32}{4} = \frac{32\times31\times30\times29} {4\times3\times2\times1}. \]

Donc : \[ \binom{32}{4}=35960. \]

Il y a donc 35 960 manières de choisir 4 cartes parmi 32 cartes.

On dispose de 30 élèves et on souhaite choisir 2 élèves pour aller au tableau.

L'ordre dans lequel les élèves sont choisis n'a pas d'importance. On utilise donc une combinaison : \[ \binom{30}{2}. \]

On applique la formule : \[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}. \]

Ainsi : \[ \binom{30}{2} = \frac{30!}{2!\,28!}. \]

On simplifie : \[ \binom{30}{2} = \frac{30\times29}{2\times1}. \]

Donc : \[ \binom{30}{2}=435. \]

Il y a donc 435 manières de choisir 2 élèves parmi 30 pour aller au tableau.

On considère 8 éléments distincts. Une permutation consiste à ranger les 8 éléments dans un ordre donné.

Pour le premier emplacement, il y a 8 choix.

Une fois le premier élément choisi, il reste 7 choix pour le deuxième, puis 6 pour le troisième, et ainsi de suite.

D'après le principe multiplicatif : \[ 8\times7\times6\times5\times4\times3\times2\times1. \]

On reconnaît la factorielle : \[ 8!=40320. \]

Ainsi, il existe 40 320 permutations de 8 éléments.

C(12,5) = 792.

On considère 8 éléments distincts disposés sur un cercle.

Dans une permutation circulaire, les arrangements qui se déduisent les uns des autres par rotation sont considérés comme identiques.

On peut fixer un élément à une position pour supprimer les rotations. Il reste alors à placer les 7 autres éléments.

Le nombre de permutations circulaires est donc : \[ (8-1)!=7!. \]

Ainsi : \[ 7!=7\times6\times5\times4\times3\times2\times1 =5040. \]

Il existe donc 5 040 permutations circulaires de 8 éléments.

On dispose des 6 lettres distinctes : \[ A,\ B,\ C,\ D,\ E,\ F. \]

On cherche à former un mot de 6 lettres sans répétition, qui doit commencer par une consonne.

Parmi les 6 lettres, \(A\) et \(E\) sont des voyelles. Les consonnes sont donc : \[ B,\ C,\ D,\ F. \]

Pour la première position, nous avons donc 4 choix.

Une fois la première lettre choisie, il reste 5 lettres à placer, sans répétition : \[ 5\times4\times3\times2\times1=5!. \]

D'après le principe multiplicatif : \[ 4\times5! = 4\times120 = 480. \]

Il est donc possible de former 480 mots répondant aux conditions.

On dispose de 5 prix identiques à distribuer à 12 élèves.

Comme les prix sont identiques, seul le nombre de prix reçu par chaque élève compte. Un même élève peut recevoir plusieurs prix.

On peut représenter la distribution par 5 prix et 11 séparateurs : \[ \underbrace{*\,*\,*\,*\,*}_{5\text{ prix}} \quad \underbrace{|\,|\,|\,\cdots\,|}_{11\text{ séparateurs}}. \]

Il y a donc : \[ 5+11=16 \] positions au total, parmi lesquelles on choisit les 5 positions occupées par les prix.

Le nombre de distributions est donc : \[ \binom{16}{5}. \]

On calcule : \[ \binom{16}{5} = \frac{16!}{5!\,11!} = \frac{16\times15\times14\times13\times12} {5\times4\times3\times2\times1}. \]

Ainsi : \[ \binom{16}{5}=4368. \]

Il y a donc 4 368 distributions possibles.

On dispose de 5 prix distincts à distribuer à 12 élèves.

Les prix sont distincts : par exemple, recevoir le prix 1 et le prix 2 n'est pas la même chose que recevoir le prix 2 et le prix 1.

Pour le premier prix, il y a 12 choix.

Pour le deuxième prix, il y a encore 12 choix, car un même élève peut recevoir plusieurs prix.

Il en est de même pour chacun des 5 prix.

D'après le principe multiplicatif : \[ 12\times12\times12\times12\times12=12^5. \]

On obtient : \[ 12^5=248832. \]

Il y a donc 248 832 distributions possibles.

On dispose de 10 élèves et de 6 sièges numérotés. On souhaite placer 6 élèves différents sur les 6 sièges, sans qu'un élève puisse occuper deux sièges.

Pour le premier siège, il y a 10 choix.

Une fois le premier élève placé, il reste 9 choix pour le deuxième siège.

Puis il reste successivement 8, 7, 6 et 5 choix pour les sièges suivants.

D'après le principe multiplicatif : \[ 10\times9\times8\times7\times6\times5. \]

Calculons : \[ 10\times9\times8\times7\times6\times5 = 151200. \]

Il y a donc 151 200 façons de placer 6 élèves différents sur 6 sièges numérotés parmi 10 élèves.

On dispose de 6 élèves et de 4 groupes. Chaque élève doit être affecté à un groupe et aucun groupe ne doit être vide.

Sans la contrainte « aucun groupe ne doit être vide », chaque élève aurait 4 choix. Il y aurait donc : \[ 4^6 \] affectations.

On doit cependant retirer les affectations dans lesquelles au moins un groupe est vide.

Notons \(A_i\) l'ensemble des affectations dans lesquelles le groupe \(i\) est vide.

Il y a : \[ \binom{4}{1}3^6 \] affectations dans lesquelles au moins un groupe donné est vide.

Mais les affectations dans lesquelles deux groupes sont vides ont été comptées deux fois. On les ajoute donc : \[ \binom{4}{2}2^6. \]

Enfin, les affectations dans lesquelles trois groupes sont vides ont été prises en compte trop de fois. On les soustrait : \[ \binom{4}{3}1^6. \]

D'après le principe d'inclusion-exclusion : \[ 4^6-\binom{4}{1}3^6+\binom{4}{2}2^6-\binom{4}{3}1^6. \]

Calculons : \[ 4096-4\times729+6\times64-4\times1. \]

Donc : \[ 4096-2916+384-4=1560. \]

Il y a donc 1 560 affectations différentes dans lesquelles les 4 groupes sont tous utilisés.

On dispose d'un jeu de 52 cartes :

• 26 cartes rouges ;
• 26 cartes noires.

On tire 4 cartes et on souhaite obtenir exactement 2 cartes rouges et 2 cartes noires.

L'ordre des cartes tirées n'a pas d'importance. On utilise donc des combinaisons.

On choisit d'abord 2 cartes parmi les 26 cartes rouges : \[ \binom{26}{2}. \]

Puis on choisit 2 cartes parmi les 26 cartes noires : \[ \binom{26}{2}. \]

D'après le principe multiplicatif : \[ \binom{26}{2}\times\binom{26}{2}. \]

Calculons : \[ \binom{26}{2} = \frac{26\times25}{2} = 325. \]

Donc : \[ 325\times325=105625. \]

Il y a donc 105 625 tirages possibles contenant exactement 2 cartes rouges et 2 cartes noires.

On dispose des 7 lettres distinctes : \[ A,\ B,\ C,\ D,\ E,\ F,\ G. \]

Les voyelles sont \(A\) et \(E\). Il n'y a donc que 2 voyelles disponibles.

On demande un mot contenant exactement 3 voyelles. Or, avec les lettres données, il est impossible d'obtenir 3 voyelles sans répétition, puisque seules \(A\) et \(E\) sont des voyelles.

On peut donc choisir au maximum : \[ 2\text{ voyelles}. \]

Il n'est donc pas possible de former un mot de 7 lettres contenant exactement 3 voyelles avec ces lettres sans répétition.

On dispose des 7 lettres distinctes : \[ A,\ B,\ C,\ D,\ E,\ F,\ G. \]

Les voyelles sont \(A\) et \(E\), soit 2 voyelles. Les 5 autres lettres \(B,C,D,F,G\) sont des consonnes.

On cherche à former un mot de 7 lettres contenant exactement 2 voyelles. Comme les 7 lettres sont utilisées une seule fois, les deux voyelles \(A\) et \(E\) doivent nécessairement être présentes.

On choisit donc les positions des 2 voyelles parmi les 7 positions : \[ \binom{7}{2}. \]

Les 2 voyelles peuvent ensuite être placées dans ces positions de : \[ 2! \] façons.

Les 5 consonnes peuvent être placées dans les 5 positions restantes de : \[ 5! \] façons.

D'après le principe multiplicatif : \[ \binom{7}{2}\times2!\times5!. \]

Calculons : \[ \binom{7}{2}\times2!\times5! = 21\times2\times120. \]

Donc : \[ 21\times2\times120=5040. \]

Il est donc possible de former 5 040 mots contenant exactement 2 voyelles.

On dispose de 10 objets distincts et de 4 boîtes distinctes.

Chaque objet peut être placé dans l'une des 4 boîtes. Il y a donc 4 choix pour chacun des 10 objets.

Les choix étant indépendants, on applique le principe multiplicatif : \[ 4\times4\times4\times\cdots\times4=4^{10}. \]

Ainsi : \[ 4^{10}=1048576. \]

Il y a donc 1 048 576 manières de placer les 10 objets dans les 4 boîtes.