Géométrie dans l'espace (partie 1) : Vecteurs, droites et plans

Cours

1. Vecteurs de l'espace

Dans l'espace muni d'un repère $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, tout vecteur $\vec{u}$ a trois coordonnées $(x;y;z)$. Les opérations (somme, produit par un réel) se font coordonnée par coordonnée, comme dans le plan.

Pour $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$ :

$$\overrightarrow{AB}(x_B-x_A \ ; \ y_B-y_A \ ; \ z_B-z_A), \qquad \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$$

2. Vecteurs coplanaires

Trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ sont coplanaires si l'un peut s'écrire comme combinaison linéaire des deux autres, c'est-à-dire s'il existe $a,b \in \mathbb{R}$ tels que $\vec{w} = a\vec{u}+b\vec{v}$.

3. Représentation paramétrique d'une droite

Une droite $(d)$ passant par $A(x_A;y_A;z_A)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(a;b;c)$ a pour représentation paramétrique :

$$\begin{cases} x = x_A + ta \\ y = y_A + tb \\ z = z_A + tc \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}$$

4. Représentation paramétrique d'un plan

Un plan passant par $A(x_A;y_A;z_A)$ et dirigé par deux vecteurs non colinéaires $\vec{u}(a;b;c)$ et $\vec{v}(a';b';c')$ a pour représentation paramétrique :

$$\begin{cases} x = x_A + ta+sa' \\ y = y_A + tb+sb' \\ z = z_A + tc+sc' \end{cases} \quad t,s \in \mathbb{R}$$

5. Positions relatives

Deux droites de l'espace peuvent être parallèles (vecteurs directeurs colinéaires), sécantes (un seul point commun) ou non coplanaires (aucun point commun et non parallèles — situation propre à l'espace, impossible dans le plan).

Exercices Corrigés

Donner les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ avec $A(1;2;3)$ et $B(4;0;5)$.

Calculer la norme du vecteur $\vec{u}(2;-1;2)$.

Les vecteurs $\vec{u}(1;0;1)$, $\vec{v}(0;1;1)$ et $\vec{w}(1;1;2)$ sont-ils coplanaires ?

Donner une représentation paramétrique de la droite $(d)$ passant par $A(1;0;2)$ de vecteur directeur $\vec{u}(2;-1;3)$.

Le point $M(5;-2;8)$ appartient-il à la droite de représentation paramétrique $\begin{cases}x=1+2t\\y=-t\\z=2+3t\end{cases}$ ?

Donner une représentation paramétrique du plan passant par $A(0;0;1)$ dirigé par $\vec{u}(1;0;2)$ et $\vec{v}(0;1;-1)$.

Les droites de vecteurs directeurs $\vec{u}(2;4;-2)$ et $\vec{v}(1;2;-1)$ sont-elles parallèles ?

Les droites $(d_1)$ de vecteur directeur $(1;0;0)$ passant par $(0;0;0)$ et $(d_2)$ de vecteur directeur $(0;1;0)$ passant par $(0;0;1)$ sont-elles sécantes, parallèles ou non coplanaires ?

Le vecteur $\vec{w}(3;1;4)$ est-il combinaison linéaire de $\vec{u}(1;0;1)$ et $\vec{v}(1;1;1)$ ?

Montrer que les points $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $C(0;1;0)$ et $D(1;1;0)$ sont coplanaires.

QCM notés

QCM noté — Vecteurs, droites et plans de l'espace 10 questions · ⏱ 20 min

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