Probabilités et lois de probabilité

La somme des probabilités doit valoir 1 : \[ 0{,}02 + 0{,}12 + a + 0{,}31 + 0{,}27 = 1. \] On additionne les valeurs connues : \[ 0{,}02 + 0{,}12 = 0{,}14, \qquad 0{,}14 + 0{,}31 = 0{,}45, \qquad 0{,}45 + 0{,}27 = 0{,}72. \] Donc : \[ 0{,}72 + a = 1 \quad\Rightarrow\quad a = 1 - 0{,}72 = 0{,}28. \] Conclusion : \(a = 0{,}28\).

a) Probabilité que \(X \ge 2\)
\[ P(X\ge 2) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4). \] Avec \(a = 0{,}28\) : \[ P(X\ge 2) = 0{,}28 + 0{,}31 + 0{,}27 = 0{,}86. \] b) Probabilité que \(X > 0\)
\[ P(X>0) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4). \] \[ P(X>0) = 0{,}12 + 0{,}28 + 0{,}31 + 0{,}27 = 0{,}98. \] Conclusion :
\[ P(X\ge 2) = 0{,}86, \qquad P(X>0) = 0{,}98. \]

On calcule : \[ P(X \ge 500) = P(X=500) + P(X=510) + P(X=520). \] \[ P(X \ge 500) = 0{,}41 + 0{,}12 + 0{,}10 = 0{,}63. \] Conclusion : la probabilité qu’un pain pèse au moins 500 g est \[ \boxed{0{,}63}. \]

Un pain est commercialisé s’il pèse au moins \(490~g\). Donc : \[ P(X \ge 490) = P(X=490) + P(X=500) + P(X=510) + P(X=520). \] \[ P(X \ge 490) = 0{,}29 + 0{,}41 + 0{,}12 + 0{,}10 = 0{,}92. \] Conclusion : la probabilité qu’un pain soit commercialisé est \[ \boxed{0{,}92}. \]

a) Par définition de la probabilité conditionnelle, on a :

\[ P(D \cap \overline{R}) = P(D)\times P_D(\overline{R}). \] Donc : \[ P(D \cap \overline{R}) = 0{,}06 \times 0{,}02 = 0{,}0012. \]

b) Il y a erreur de contrôle si :

• le lecteur est défectueux et n’est pas rejeté : \(D \cap \overline{R}\),
• le lecteur n’est pas défectueux et est rejeté : \(\overline{D} \cap R\).

On calcule : \[ P(\overline{D} \cap R) = P(\overline{D})\times P_{\overline{D}}(R) = 0{,}94 \times 0{,}05 = 0{,}047. \] Donc : \[ P(\text{erreur}) = P(D \cap \overline{R}) + P(\overline{D} \cap R) = 0{,}0012 + 0{,}047 = 0{,}0482. \]

On utilise la formule des probabilités totales : \[ P(\overline{R}) = P(D \cap \overline{R}) + P(\overline{D} \cap \overline{R}). \] On a : \[ P(D \cap \overline{R}) = P(D)\times P_D(\overline{R}) = 0{,}06 \times 0{,}02 = 0{,}0012, \] \[ P(\overline{D} \cap \overline{R}) = P(\overline{D})\times P_{\overline{D}}(\overline{R}) = 0{,}94 \times 0{,}95 = 0{,}893. \] Donc : \[ P(\overline{R}) = 0{,}0012 + 0{,}893 = 0{,}8942. \] D'où le résultat.

On cherche \(P_{\overline{A}}(V)\) en supposant que l’agence TOCAR dit la vérité, c’est-à-dire que \[ P(V)=0{,}8. \] On utilise la formule des probabilités totales : \[ P(V)=P(A\cap V)+P(\overline{A}\cap V) = P(A)\,P_A(V)+P(\overline{A})\,P_{\overline{A}}(V). \] Donc : \[ 0{,}8 = 0{,}8\times 0{,}7 + 0{,}2\times P_{\overline{A}}(V). \] \[ 0{,}8 = 0{,}56 + 0{,}2\,P_{\overline{A}}(V). \] \[ 0{,}24 = 0{,}2\,P_{\overline{A}}(V)\quad\Rightarrow\quad P_{\overline{A}}(V)=\frac{0{,}24}{0{,}2}=1{,}2. \]

En conséquence, si l’agence disait la vérité, on devrait avoir \[ \boxed{P_{\overline{A}}(V)=1{,}2}, \] ce qui est impossible car une probabilité ne peut pas dépasser 1. L’affirmation de l’agence est donc incompatible avec les données avancées.

On sait que \(0 \leqslant P_{\overline{A}}(V) \leqslant 1\). On utilise à nouveau la formule des probabilités totales : \[ P(V)=P(A)\,P_A(V)+P(\overline{A})\,P_{\overline{A}}(V) = 0{,}8\times 0{,}7 + 0{,}2\times P_{\overline{A}}(V). \] Donc : \[ P(V)=0{,}56 + 0{,}2\,P_{\overline{A}}(V). \]

Par ailleurs :

• Si \(P_{\overline{A}}(V)=0\), alors \(P(V)=0{,}56\).
• Si \(P_{\overline{A}}(V)=1\), alors \(P(V)=0{,}56+0{,}2=0{,}76\).

Ainsi : \[ 0{,}56 \leqslant P(V) \leqslant 0{,}76. \] Le pourcentage de vidéos vues plus de \(200000\) fois par client est donc compris entre \[ \boxed{56\% \text{ et } 76\%}, \] et ne peut en aucun cas atteindre les \(80\%\) annoncés par l’agence TOCAR.

On utilise la formule des probabilités totales : \[ P(C_2)=P(C_1\cap C_2)+P(\overline{C_1}\cap C_2). \] Or, \[ P(C_1\cap C_2)=P(C_1)\,P_{C_1}(C_2)=0{,}7\times 0{,}7=0{,}49, \] \[ P(\overline{C_1}\cap C_2)=P(\overline{C_1})\,P_{\overline{C_1}}(C_2)=0{,}3\times 0{,}5=0{,}15. \] Donc : \[ P(C_2)=0{,}49+0{,}15=0{,}64. \] Ainsi, la probabilité que la deuxième montre fonctionne est \[ \boxed{p_2 = 0{,}64}. \]

Pour tout \(n \ge 1\), on a selon la formule des probabilités totales : \[ p_{n+1}=P(C_{n+1})=P(C_n\cap C_{n+1})+P(\overline{C_n}\cap C_{n+1}). \] Donc : \[ p_{n+1}=P(C_n)\,P_{C_n}(C_{n+1})+P(\overline{C_n})\,P_{\overline{C_n}}(C_{n+1}). \] Avec les données : \[ p_{n+1}=p_n\times 0{,}7 + (1-p_n)\times 0{,}5 =0{,}7p_n+0{,}5-0{,}5p_n =0{,}2p_n+0{,}5. \] Ainsi, \[ \boxed{p_{n+1}=0{,}2p_n+0{,}5}. \]

a) Montrer que \((u_n)\) est géométrique

On a : \[ u_{n+1}=p_{n+1}-0{,}625. \] Or, \[ p_{n+1}=0{,}2p_n+0{,}5. \] Donc, \[ u_{n+1}=0{,}2p_n+0{,}5-0{,}625 =0{,}2p_n-0{,}125 =0{,}2(p_n-0{,}625) =0{,}2u_n. \] Ainsi, pour tout \(n\ge 1\), \[ u_{n+1}=0{,}2u_n. \] La suite \((u_n)\) est alors géométrique de raison \[ \boxed{q=0{,}2}. \] Et de premier terme : \[ u_1=p_1-0{,}625=0{,}7-0{,}625=0{,}075. \] Soit, \[ \boxed{u_1=0{,}075}. \]

b) Expression de \(p_n\) en fonction de \(n\)

Pour une suite géométrique : \[ u_n=u_1\,q^{\,n-1}=0{,}075\times 0{,}2^{\,n-1}. \] Or, \(p_n=u_n+0{,}625\), donc : \[ \boxed{p_n=0{,}625+0{,}075\times 0{,}2^{\,n-1}}. \]

c) Limite de \(p_n\) quand \(n\to +\infty\) et interprétation

Comme \(0{,}2^{\,n-1}\to 0\) quand \(n\to +\infty\), on a : \[ u_n\to 0 \quad\text{et}\quad p_n\to 0{,}625. \] Donc : \[ \boxed{\lim_{n\to +\infty} p_n = 0{,}625}. \] Cela signifie qu'à long terme, la probabilité qu’une montre de Madame Laguigne fonctionne se stabilise autour de \(0{,}625\), soit \(62{,}5\%\).

On utilise la formule des probabilités totales : \[ P(T)=P(F)\,P_F(T)+P(\overline{F})\,P_{\overline{F}}(T). \] On connaît : \[ P(T)=0{,}3,\quad P_F(T)=\frac14,\quad P_{\overline{F}}(T)=\frac13. \] Donc : \[ 0{,}3 = P(F)\times \frac14 + (1-P(F))\times \frac13. \] On résout : \[ 0{,}3 = \frac14 P(F) + \frac13 - \frac13 P(F) \] \[ 0{,}3 - \frac13 = P(F)\left(\frac14 - \frac13\right) \] \[ -0{,}0333 = P(F)\left(-\frac{1}{12}\right) \] \[ P(F)=\frac{0{,}0333}{1/12}=\frac{2}{5}. \] D'où le résultat.

Par définition de la probabilité conditionnelle : \[ P_T(F)=\frac{P(F\cap T)}{P(T)}. \] Par ailleurs : \[ P(F\cap T)=P(F)\,P_F(T)=\frac25\times \frac14=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}. \] Ainsi, \[ P_T(F)=\frac{1/10}{0{,}3}=\frac{1}{3}. \] En conséquence : \[ \boxed{P_T(F)=\frac{1}{3}}. \]

\(p_n\) = probabilité d’avoir **au moins un** membre adhérant au tennis en \(n\) semaines. On calcule le contraire : « aucun membre tennis en \(n\) semaines ». Probabilité qu’un membre ne soit pas tennis : \(0{,}7\). Donc : \[ P(\text{aucun tennis})=(0{,}7)^n. \] Ainsi : \[ p_n = 1 - (0{,}7)^n. \] D'où le résultat.

On cherche : \[ 1-(0{,}7)^n \ge 0{,}99. \] \[ (0{,}7)^n \le 0{,}01. \] On prend le logarithme : \[ n\ln(0{,}7) \le \ln(0{,}01). \] \[ n \ge \frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}7)}. \] Calcul : \[ \ln(0{,}01)\approx -4{,}605,\quad \ln(0{,}7)\approx -0{,}357. \] \[ n \ge \frac{-4{,}605}{-0{,}357}\approx 12{,}9. \] Donc : \[ \boxed{n=13}. \] On peut également utiliser la calculatrice pour déduire la valeur de $n$. Cela signifie qu'il faut 13 semaines pour que la probabilité d’avoir au moins un adhérent tennis dépasse 99%.

On construit l’arbre pour les trois premières semaines.

Semaine 1 : le salarié n’est pas malade, donc : \[ P(E_1)=0,\quad P(\overline{E_1})=1. \] Semaine 2 : \[ P(E_2)=P(\overline{E_1})\times 0{,}04 = 1\times 0{,}04 = 0{,}04. \] \[ P(\overline{E_2})=0{,}96. \] Semaine 3 : \[ P(E_3)=P(E_2)\times 0{,}24 + P(\overline{E_2})\times 0{,}04. \] \[ P(E_3)=0{,}04\times 0{,}24 + 0{,}96\times 0{,}04. \] \[ P(E_3)=0{,}0096 + 0{,}0384 = 0{,}048. \] D'où le résultat : \[ \boxed{p_3 = 0{,}048}. \]

On cherche : \[ P_{E_3}(E_2 )=\frac{P(E_2\cap E_3)}{P(E_3)}. \] Or, \[ P(E_2\cap E_3)=P(E_2)\times 0{,}24 = 0{,}04\times 0{,}24 = 0{,}0096. \] Donc : \[ P_{E_3}(E_2)=\frac{0{,}0096}{0{,}048}=0{,}2. \] D'où le résultat.

On utilise la formule des probabilités totales : \[ p_{n+1}=P(E_{n+1})=P(E_n)\,P_{E_n}(E_{n+1}) + P(\overline{E_n})\,P_{\overline{E_n}}(E_{n+1}). \] Par ailleurs : \[ p_{n+1}=p_n\times 0{,}24 + (1-p_n)\times 0{,}04. \] Ainsi, \[ p_{n+1}=0{,}24p_n + 0{,}04 - 0{,}04p_n =0{,}2p_n + 0{,}04. \] D'où le résultat. \[ \boxed{p_{n+1}=0{,}2p_n+0{,}04}. \]

On a, pour tout $n \leq 1$ : \[ u_{n+1}=p_{n+1}-0{,}05. \] Or, \[ p_{n+1}=0{,}2p_n+0{,}04. \] Donc : \[ u_{n+1}=0{,}2p_n+0{,}04 - 0{,}05 =0{,}2p_n - 0{,}01. \] Par aillleurs : \[ u_n = p_n - 0{,}05 \quad\mbox{soit,} \quad p_n = u_n + 0{,}05. \] Ainsi, \[ u_{n+1}=0{,}2(u_n+0{,}05) - 0{,}01 =0{,}2u_n + 0{,}01 - 0{,}01 =0{,}2u_n. \] La suite est géométrique de raison : \[ \boxed{r=0{,}2}. \] Et de premier terme : \[ u_1=p_1-0{,}05=0-0{,}05=-0{,}05. \] Dès lors, pour tout $n \leq 1$, on a : \[ u_n = u_1\,r^{\,n-1} = -0{,}05\times 0{,}2^{\,n-1}. \] Ainsi, \[ p_n = u_n + 0{,}05 = 0{,}05 - 0{,}05\times 0{,}2^{\,n-1}. \] D'où le résultat : \[ \boxed{p_n = 0{,}05\left(1 - 0{,}2^{\,n-1}\right)}. \]

Comme $-1 < 0,2 < 1$, alors \(0{,}2^{\,n-1} \to 0\) quand \(n\to +\infty\), on obtient, par somme et produit de limites : \[ p_n \to 0{,}05. \] Cela signifie qu' à long terme, la probabilité que le salarié soit malade une semaine donnée se stabilise à 5%.

On calcule le gain algébrique pour chaque issue du dé :

• 1 → perte de 1 € → \(X = -1 - 0{,}50 = -1{,}50\)
• 2 → gain de 2 € → \(X = 2 - 0{,}50 = 1{,}50\)
• 3 → perte de 3 € → \(X = -3 - 0{,}50 = -3{,}50\)
• 4 → gain de 4 € → \(X = 4 - 0{,}50 = 3{,}50\)
• 5 → perte de 5 € → \(X = -5 - 0{,}50 = -5{,}50\)
• 6 → gain de 6 € → \(X = 6 - 0{,}50 = 5{,}50\)

Chaque issue du dé a une probabilité de \(1/6\). La loi de \(X\) est donc :

Valeur de \(X\)	Probabilité
-1,50	1/6
1,50	1/6
-3,50	1/6
3,50	1/6
-5,50	1/6
5,50	1/6

Un jeu est équitable si l’espérance mathématique du gain est nulle : \[ E(X)=\sum x_i\,P(X=x_i). \] Or, \[ E(X)=\frac{1}{6}(-1{,}50 + 1{,}50 - 3{,}50 + 3{,}50 - 5{,}50 + 5{,}50)=0. \] Ainsi, \[ \boxed{\text{Le jeu est bel et bien équitable.}} \]

Chaque pièce a une probabilité de \(1/2\) de tomber sur « Pile » ou « Face ». Arbre (structure logique) :

• Pièce de 1 € : Pile (1 €) ou Face (0 €)
• Pièce de 2 € : Pile (2 €) ou Face (0 €)
• Pièce de 2 € : Pile (2 €) ou Face (0 €)

Les trois tirages sont indépendants, chaque branche a une probabilité de \[ \left(\frac12\right)^3 = \frac18. \]

On additionne les valeurs des pièces tombées sur « Pile ». Les valeurs possibles sont :

• 0 € (aucune pièce sur Pile)
• 1 €
• 2 €
• 3 €
• 4 €
• 5 €

La loi de probabilité est donnée par le tableau :

Valeur de \(X\) : \(x_i\)	Probabilité \(P(X=x_i)\)	Explication
0	1/8	FFF
1	1/8	Pile sur 1 €, Face sur les deux autres
2	2/8	Une seule des pièces de 2 € sur Pile
3	2/8	1 € + une pièce de 2 €
4	1/8	Les deux pièces de 2 € sur Pile
5	1/8	1 € + les deux pièces de 2 €

On sait que : \[ P(X\ge 3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5). \] Soit, \[ P(X\ge 3)=\frac28+\frac18+\frac18=\frac48=\frac12. \] Ainsi, \[ \boxed{P(X\ge 3)=\frac12}. \]