Soient A et B deux événements d'un univers $\Omega$ tels que $p(A)\neq0$.
On appelle probabilité de l'événement B sachant que A :
\[
p_A(B)=\frac{p(A\cap B)}{p(A)}.
\]
Partition de l'univers
On dit que les $n$ événements $A_1,\dots,A_n$ forment une partition de $\Omega$ si :
tous les événements sont incompatibles deux à deux : $A_i\cap A_j=\varnothing$ pour $i\neq j$ ;
$A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n=\Omega$.
Formule "simple" des probabilités totales
Soient A et B deux événements tels que $p(A)\neq0$ et $p(B)\neq0$.
Alors :
$$
p(B)=p(A\cap B)+p(\overline{A}\cap B).
$$
Arbre de probabilités
Formule des probabilités totales
Soient $A_1, A_2, \dots, A_n$ $n$ événements formant une partition de l'univers, avec $p(A_k)\neq0$, $1\leqslant k\leqslant n$.
Alors, pour tout événement B,
\[
p(B)=p(A_1 \cap B)+p(A_2 \cap B)+\cdots+p(A_n \cap B).
\]
Événement contraire
Soient A et B deux événements tels que $p(A)\neq 0$ et $p(B) \neq 0$. Alors,
$$
p_{A}(\overline{B})=1-p_{A}(B).
$$
Indépendance
Soient A et B deux événements. On dit que A et B sont indépendants quand $p_{B}(A)=p(A)$.
Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si $p(A\cap B)=p(A)\times p(B)$.
Si A et B sont deux événements indépendants, alors A et $\overline{B}$ sont indépendants.
Variable aléatoire
Soit $\Omega$ un univers probabilisé et $\mathcal{E}$ une expérience aléatoire dans $\Omega$.
Une variable aléatoire $X$ est une application qui, à chaque événement élémentaire de $\Omega$, associe un nombre réel. Autrement dit,
\[
X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}.
\]
L'ensemble des valeurs prises par $X$ est noté $X(\Omega)$.
Loi de probabilité
Soit $X$ une variable aléatoire discrète.
La loi de probabilité de $X$ est la donnée de la probabilité de toutes les valeurs que peut prendre $X$.
En général, elle est donnée sous forme d'un tableau.
Espérance d'une variable aléatoire
Soit $X=\big\{x_i\big\}_{1\leqslant i\leqslant n}$ une variable aléatoire discrète.
On appelle espérance mathématique de $X$ le nombre défini par :
\[
E(X)=\sum_{i=1}^n x_i\times p(X=x_i).
\]
Variance et écart-type d'une variable aléatoire
Soit $X=\big\{x_i\big\}_{1\leqslant i\leqslant n}$ une variable aléatoire discrète.
On appelle variance mathématique de $X$ le nombre défini par :
\[
V(X)=E\big(X-E (X)\big)^2
\]
et aussi
\[
V(X)=\sum_{i=1}^n \big[ x_i -E(X) \big]^2\times p(X=x_i),
\]
ou encore
\[
V(X) = E(X^2)-\big[E(X)\big]^2.
\]
On appelle écart-type de $X$ le nombre défini par :
\[
\sigma(X)=\sqrt{V(X)}.
\]
Espérance – propriétés
On considère $X$ et $Y$ deux variables aléatoires réelles associées à une même expérience sur un univers fini.
Soient de plus $a$ et $b$ deux réels, on a :
$E(aX+b)=aE(X) + b$.
$E(X +Y)= E(X)+ E(Y)$.
$V(X +Y)=V(X)+V(Y)$ seulement si $X$ et $Y$ sont indépendantes.
