Fonction exponentielle

La fonction exponentielle est strictement croissante donc injective : $e^x=5 \iff x = \ln(5)$.

$x \approx 1{,}609$.

Par injectivité de la fonction exponentielle : $2x-1=3 \Rightarrow x=2$.

$e^3 \times e^{-5} = e^{3-5} = e^{-2}$.

On pose $u(x)=3x+1$, $u'(x)=3$. $f'(x) = 3e^{3x+1}$.

Produit $u=x^2$ ($u'=2x$) et $v=e^x$ ($v'=e^x$) : $f' = u'v+uv' = 2xe^x+x^2e^x = (2x+x^2)e^x$.

$f'(x) = e^x-1$. $f'(x)=0 \iff e^x=1 \iff x=0$.

$f'(x)<0$ pour $x<0$ et $f'(x)>0$ pour $x>0$ : $f$ est décroissante sur $]-\infty;0]$ puis croissante sur $[0;+\infty[$, avec un minimum $f(0)=1$.

$e^x>3 \iff x > \ln(3)$ (par stricte croissance de l'exponentielle).

D'après la croissance comparée, $\dfrac{e^x}{x} \to +\infty$, donc $\dfrac{e^x}{x^2} = \dfrac{1}{x}\times\dfrac{e^x}{x} \to +\infty$ également (produit de deux termes qui tendent vers $+\infty$, sauf le premier qui tend vers 0 mais moins vite : on admet le résultat $\lim \frac{e^x}{x^2}=+\infty$ par croissance comparée généralisée).

D'après la croissance comparée, $\lim_{x \to -\infty} x e^x = 0$, et de même $\lim_{x \to -\infty} x^2 e^x = 0$.

On résout $1000e^{0{,}05t} = 2000$, soit $e^{0{,}05t}=2$, donc $0{,}05t = \ln(2)$, d'où $t = \dfrac{\ln 2}{0{,}05} \approx 13{,}86$ années.