Probabilités
Cours
1. Vocabulaire
Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat. L'ensemble de tous les résultats possibles est l'univers, noté $\Omega$. Un événement est un sous-ensemble de $\Omega$.
2. Probabilité d'un événement
En situation d'équiprobabilité (toutes les issues ont la même probabilité) :
$$P(A) = \dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$$
3. Propriétés
$$P(\Omega) = 1, \qquad P(\emptyset) = 0, \qquad 0 \leq P(A) \leq 1$$
4. Événement contraire
L'événement contraire de $A$, noté $\bar{A}$, vérifie :
$$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$$
5. Réunion et intersection
Pour deux événements $A$ et $B$ :
$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$
Si $A$ et $B$ sont incompatibles (c'est-à-dire $A \cap B = \emptyset$), alors $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.
6. Probabilité conditionnelle
Soit $A$ et $B$ deux événements tels que $P(B) \neq 0$ (ou $\text{card}(B) \neq 0$). La probabilité conditionnelle de l'événement $A$ sachant que l'événement $B$ est réalisé, notée $P_B(A)$ ou $P(A \mid B)$, est définie par :
$$P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\text{card}(A \cap B)}{\text{card}(B)}$$
On en déduit la formule des probabilités composées :
$$P(A \cap B) = P(B) \times P_B(A) = P(A) \times P_A(B)$$.
7. Arbres de probabilité
Un arbre pondéré permet de représenter des expériences aléatoires successives ou composées. Les règles fondamentales d'un arbre de probabilité sont :
- La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est toujours égale à $1$.
- La probabilité d'un chemin (intersection des événements) est égale au produit des probabilités situées sur ses branches.
- La probabilité d'un événement correspondant à plusieurs chemins (formule des probabilités totales) est égale à la somme des probabilités de ces chemins.
Exemple type : Représentation graphique d'un arbre pondéré à deux niveaux (avec deux événements $A$ et $B$) :
8. Liens utiles
Exercices Corrigés
Dans une entreprise, on s'intéresse à la situation des salariés face à la formation continue et au télétravail. Les résultats d'une enquête menée auprès des $250$ employés sont consignés dans le tableau ci-dessous :
| En télétravail ($T$) | Non en télétravail ($\bar{T}$) | Total | |
|---|---|---|---|
| Formés cette année ($F$) | 60 | 40 | 100 |
| Non formés cette année ($\bar{F}$) | 90 | 60 | 150 |
| Total | 150 | 100 | 250 |
On choisit un salarié au hasard parmi les $250$ employés de l'entreprise.
- Calculer la probabilité que le salarié soit en télétravail ($P(T)$).
- Calculer la probabilité que le salarié ait été formé sachant qu'il est en télétravail ($P_T(F)$).
- Calculer la probabilité que le salarié soit en télétravail sachant qu'il n'a pas été formé ($P_{\bar{F}}(T)$).
Soit $A$ et $B$ deux événements d'une même expérience aléatoire. On donne :
- $P(B) = 0{,}4$
- $P_B(A) = 0{,}75$
- $P(\bar{B}) = 0{,}6$ et $P_{\bar{B}}(A) = 0{,}5$
- Calculer la probabilité de l'intersection $P(A \cap B)$.
- Calculer la probabilité de l'intersection $P(A \cap \bar{B})$.
- En déduire la probabilité de l'événement $A$ (à l'aide de la formule des probabilités totales).
- Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré de probabilités.
- Calculer la probabilité d'obtenir deux boules rouges.
- Calculer la probabilité d'obtenir exactement une boule rouge sur les deux tirages.
Dans une population, une maladie touche $2\,\%$ des habitants. On dispose d'un test de dépistage qui présente les caractéristiques suivantes :
- Si une personne est malade, le test est positif dans $90\,\%$ des cas.
- Si une personne n'est pas malade, le test est positif dans $5\,\%$ des cas (faux positif).
On choisit une personne au hasard dans cette population. On note $M$ l'événement « la personne est malade » et $T$ l'événement « le test est positif ».
- Traduire les données de l'énoncé à l'aide des probabilités et probabilités conditionnelles.
- Construire l'arbre pondéré associé à cette situation.
- Calculer la probabilité que le test soit positif ($P(T)$).
- Sachant qu'une personne a un test positif, quelle est la probabilité qu'elle soit réellement malade ($P_T(M)$) ?