Calcul littéral, équations et inéquations
Cours
1. Développer une expression
Développer, c'est transformer un produit en une somme, à l'aide de la distributivité :
$$k(a+b) = ka + kb, \qquad (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$$
Exemple
$(2x+3)(x-5) = 2x \times x + 2x \times (-5) + 3 \times x + 3 \times (-5) = 2x^2 - 10x + 3x - 15 = 2x^2 - 7x - 15$.
2. Identités remarquables
Trois identités à connaître par cœur :
$$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$
$$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$
$$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$$
3. Factoriser une expression
Factoriser, c'est transformer une somme en un produit. On peut chercher un facteur commun, ou reconnaître une identité remarquable.
Exemple
$9x^2 - 25 = (3x)^2 - 5^2 = (3x-5)(3x+5)$ (identité $a^2-b^2$ avec $a=3x$ et $b=5$).
4. Résoudre une équation du premier degré
Pour résoudre $ax+b=c$ (avec $a \neq 0$), on isole $x$ en effectuant les mêmes opérations des deux côtés de l'égalité.
5. Résoudre une équation produit-nul
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul :
$$A \times B = 0 \iff A = 0 \text{ ou } B = 0$$
6. Résoudre une inéquation du premier degré
On résout une inéquation comme une équation, avec une règle essentielle à retenir :
Quand on multiplie ou on divise les deux membres par un nombre négatif, le sens de l'inégalité change.
Exemple
$-3x + 2 \leq 11 \iff -3x \leq 9 \iff x \geq -3$ (on a divisé par $-3$, négatif, donc le sens a changé).