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Produit scalaire

Cours

1. Définition

Pour deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ non nuls, le produit scalaire est défini par :

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\theta)$$

où $\theta$ est l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$. En coordonnées, pour $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x';y')$ :

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = xx'+yy'$$

2. Orthogonalité

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

3. Propriétés

Le produit scalaire est symétrique ($\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}$) et bilinéaire. De plus :

$$\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2$$

4. Calcul d'un angle

Pour deux vecteurs non nuls :

$$\cos(\theta) = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|}$$

Le signe du produit scalaire indique la nature de l'angle : positif pour un angle aigu, négatif pour un angle obtus, nul pour un angle droit.

5. Théorème d'Al-Kashi (loi des cosinus)

Dans un triangle $ABC$, avec $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$ :

$$a^2 = b^2+c^2-2bc\cos(\widehat{A})$$

Exercices Corrigés

Calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$ pour $\vec{u}(2;3)$ et $\vec{v}(4;-1)$.
Calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$ pour $\vec{u}(2;3)$ et $\vec{v}(4;-1)$.
Les vecteurs $\vec{u}(1;2)$ et $\vec{v}(-4;2)$ sont-ils orthogonaux ?
Les vecteurs $\vec{u}(1;2)$ et $\vec{v}(-4;2)$ sont-ils orthogonaux ?
Calculer $\vec{u}\cdot\vec{v}$ sachant $\|\vec{u}\|=3$, $\|\vec{v}\|=5$ et un angle de $60°$ entre eux.
Calculer $\vec{u}\cdot\vec{v}$ sachant $\|\vec{u}\|=3$, $\|\vec{v}\|=5$ et un angle de $60°$ entre eux.
Déterminer l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sachant $\vec{u}\cdot\vec{v}=6$, $\|\vec{u}\|=3$, $\|\vec{v}\|=4$.
Déterminer l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sachant $\vec{u}\cdot\vec{v}=6$, $\|\vec{u}\|=3$, $\|\vec{v}\|=4$.
En utilisant $\vec{u}\cdot\vec{u}=\|\vec{u}\|^2$, calculer $AB^2$ sachant $\overrightarrow{AB}(3;4)$.
En utilisant $\vec{u}\cdot\vec{u}=\|\vec{u}\|^2$, calculer $AB^2$ sachant $\overrightarrow{AB}(3;4)$.
Dans un triangle $ABC$, $AB=5$, $AC=7$ et $\widehat{A}=60°$. Calculer $BC$ à l'aide du théorème d'Al-Kashi.
Dans un triangle $ABC$, $AB=5$, $AC=7$ et $\widehat{A}=60°$. Calculer $BC$ à l'aide du théorème d'Al-Kashi.
Démontrer que dans un triangle rectangle en $A$, $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0$.
Démontrer que dans un triangle rectangle en $A$, $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0$.
Un triangle a pour côtés $a=6$, $b=8$, $c=10$. Calculer l'angle $\widehat{A}$ opposé au côté $a$ à l'aide d'Al-Kashi.
Un triangle a pour côtés $a=6$, $b=8$, $c=10$. Calculer l'angle $\widehat{A}$ opposé au côté $a$ à l'aide d'Al-Kashi.
Déterminer $m$ pour que $\vec{u}(2;m)$ et $\vec{v}(3;-6)$ soient orthogonaux.
Déterminer $m$ pour que $\vec{u}(2;m)$ et $\vec{v}(3;-6)$ soient orthogonaux.
Calculer $\vec{u}\cdot\vec{v}$ sachant que $\vec{v}$ est le projeté orthogonal de $\vec{w}$ sur la direction de $\vec{u}$, avec $\|\vec{u}\|=4$ et la projection de longueur $2{,}5$ dans le même sens que $\vec{u}$.
Calculer $\vec{u}\cdot\vec{v}$ sachant que $\vec{v}$ est le projeté orthogonal de $\vec{w}$ sur la direction de $\vec{u}$, avec $\|\vec{u}\|=4$ et la projection de longueur $2{,}5$ dans le même sens que $\vec{u}$.

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