Produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs colonnes \[ \overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} \quad\text{et}\quad \overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} \] est donné par : \[ \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} =xx'+yy'. \]

Donc : \[ \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = 2\times4+3\times(-1). \]

Ainsi : \[ \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = 8-3 = 5. \]

Le produit scalaire est donné par : \[ \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = x\times x'+y\times y'. \]

Donc : \[ \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = 2\times3+0\times(-1). \]

Ainsi : \[ \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = 6+0 = 6. \]

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est égal à \(0\).

Calculons le produit scalaire : \[ \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = 1\times(-4)+2\times2. \]

Donc : \[ \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = -4+4 = 0. \]

Le produit scalaire étant nul, les deux vecteurs sont orthogonaux.

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est égal à \(0\).

Calculons le produit scalaire : \[ \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = 1\times(-3)+(-2)\times2. \]

Donc : \[ \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = -3-4 = -7. \]

Le produit scalaire est différent de \(0\). Les deux vecteurs ne sont donc pas orthogonaux.

On utilise la formule du produit scalaire : \[ \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = \|\overrightarrow{u}\| \times \|\overrightarrow{v}\| \times \cos(\theta). \]

On connaît : \[ \|\overrightarrow{u}\|=3,\qquad \|\overrightarrow{v}\|=5,\qquad \theta=60^\circ. \]

Donc : \[ \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = 3\times5\times\cos(60^\circ). \]

Or : \[ \cos(60^\circ)=\frac{1}{2}. \]

Ainsi : \[ \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = 3\times5\times\frac{1}{2} = \frac{15}{2}. \]

On utilise la formule du produit scalaire : \[ \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = \|\overrightarrow{u}\| \times \|\overrightarrow{v}\| \times \cos(\theta). \]

On connaît : \[ \|\overrightarrow{u}\|=2,\qquad \|\overrightarrow{v}\|=5,\qquad \theta=30^\circ. \]

Donc : \[ \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = 2\times5\times\cos(30^\circ). \]

Or : \[ \cos(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}. \]

Ainsi : \[ \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = 10\times\frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}. \]

On utilise la formule du produit scalaire : \[ \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = \|\overrightarrow{u}\| \times \|\overrightarrow{v}\| \times \cos(\theta). \]

On remplace par les valeurs données : \[ 6=3\times4\times\cos(\theta). \]

Donc : \[ 6=12\cos(\theta). \]

Ainsi : \[ \cos(\theta)=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}. \]

On en déduit : \[ \theta=\arccos\left(\frac{1}{2}\right). \]

Et, \[ \arccos\left(\frac{1}{2}\right)=60^\circ. \]

On utilise la formule du produit scalaire : \[ \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = \|\overrightarrow{u}\| \times \|\overrightarrow{v}\| \times \cos(\theta). \]

On remplace par les valeurs données : \[ 1=3\times4\times\cos(\theta). \]

Donc : \[ 1=12\cos(\theta). \]

Ainsi : \[ \cos(\theta)=\frac{1}{12}. \]

On obtient alors : \[ \theta=\arccos\left(\frac{1}{12}\right). \]

À la calculatrice : \[ \theta\approx85,2^\circ. \]

On sait que : \[ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB} = \|\overrightarrow{AB}\|^2 = AB^2. \]

Avec : \[ \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 3\\ 4 \end{pmatrix}, \] on calcule le produit scalaire du vecteur avec lui-même : \[ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB} = 3\times3+4\times4. \]

Donc : \[ AB^2=9+16=25. \]

On sait que : \[ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB} = \|\overrightarrow{AB}\|^2 = AB^2. \]

Avec : \[ \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 1\\ -2 \end{pmatrix}, \] on calcule : \[ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB} = 1\times1+(-2)\times(-2). \]

Donc : \[ AB^2=1+4=5. \]

Dans le triangle \(ABC\), on connaît : \[ AB=5,\qquad AC=7,\qquad \widehat{A}=60^\circ. \]

D'après le théorème d'Al-Kashi : \[ BC^2=AB^2+AC^2-2\times AB\times AC\times\cos(\widehat{A}). \]

On remplace par les valeurs : \[ BC^2=5^2+7^2-2\times5\times7\times\cos(60^\circ). \]

Or : \[ \cos(60^\circ)=\frac{1}{2}. \]

Donc : \[ BC^2=25+49-70\times\frac{1}{2}. \]

Ainsi : \[ BC^2=74-35=39. \]

Comme \(BC>0\) : \[ BC=\sqrt{39}. \]

À la calculatrice : \[ BC\approx6,24. \]

Dans le triangle \(ABC\), on connaît : \[ AB=5,\qquad AC=3,\qquad \widehat{A}=30^\circ. \]

D'après le théorème d'Al-Kashi : \[ BC^2=AB^2+AC^2-2\times AB\times AC\times\cos(\widehat{A}). \]

On remplace par les valeurs : \[ BC^2=5^2+3^2-2\times5\times3\times\cos(30^\circ). \]

Or : \[ \cos(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}. \]

Donc : \[ BC^2=25+9-30\times\frac{\sqrt{3}}{2}. \]

Ainsi : \[ BC^2=34-15\sqrt{3}. \]

Comme \(BC>0\) : \[ BC=\sqrt{34-15\sqrt{3}}. \]

À la calculatrice : \[ BC\approx2,52. \]

Si le triangle est rectangle en $A$, alors $(AB)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires, donc les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont orthogonaux.

Par définition, leur produit scalaire est donc nul.

Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\). Donc : \[ \widehat{ABC}=90^\circ. \]

Les vecteurs \(\overrightarrow{BA}\) et \(\overrightarrow{BC}\) ont pour angle le même angle que \(\widehat{ABC}\). Ainsi : \[ \widehat{(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})}=90^\circ. \]

On utilise la formule du produit scalaire : \[ \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC} = \|\overrightarrow{BA}\| \times \|\overrightarrow{BC}\| \times \cos(90^\circ). \]

Or : \[ \cos(90^\circ)=0. \]

Donc : \[ \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC} = \|\overrightarrow{BA}\| \times \|\overrightarrow{BC}\| \times0 = 0. \]

Les vecteurs \(\overrightarrow{BA}\) et \(\overrightarrow{BC}\) sont donc orthogonaux.

On connaît les trois côtés du triangle : \[ a=6,\qquad b=8,\qquad c=10. \] L'angle \(\widehat{A}\) est opposé au côté \(a\).

D'après le théorème d'Al-Kashi : \[ a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\widehat{A}). \]

On remplace par les valeurs : \[ 6^2=8^2+10^2-2\times8\times10\times\cos(\widehat{A}). \]

Donc : \[ 36=64+100-160\cos(\widehat{A}). \]

Ainsi : \[ 160\cos(\widehat{A})=128. \]

Donc : \[ \cos(\widehat{A})=\frac{128}{160} =\frac45. \]

On en déduit : \[ \widehat{A} = \arccos\left(\frac45\right). \]

À la calculatrice : \[ \widehat{A}\approx36,87^\circ. \]

On connaît les trois côtés du triangle : \[ a=6,\qquad b=8,\qquad c=12. \] L'angle \(\widehat{A}\) est opposé au côté \(a\).

D'après le théorème d'Al-Kashi : \[ a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\widehat{A}). \]

On remplace par les valeurs : \[ 6^2=8^2+12^2-2\times8\times12\times\cos(\widehat{A}). \]

Donc : \[ 36=64+144-192\cos(\widehat{A}). \]

Ainsi : \[ 192\cos(\widehat{A})=172. \]

Donc : \[ \cos(\widehat{A})=\frac{172}{192} =\frac{43}{48}. \]

On en déduit : \[ \widehat{A} = \arccos\left(\frac{43}{48}\right). \]

À la calculatrice : \[ \widehat{A}\approx26,4^\circ. \]

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

On calcule : \[ \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = 2\times3+m\times(-6). \]

Pour que les vecteurs soient orthogonaux, on doit avoir : \[ 2\times3-6m=0. \]

Donc : \[ 6-6m=0. \]

Ainsi : \[ 6m=6 \] et donc : \[ m=1. \]

Pour \(m=1\), on a : \[ \overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} 2\\ 1 \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} 3\\ -6 \end{pmatrix}, \] et : \[ \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=6-6=0. \] Les deux vecteurs sont donc bien orthogonaux.

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

On calcule : \[ \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = 2\times(-3)+m\times2. \]

Pour que les vecteurs soient orthogonaux : \[ -6+2m=0. \]

Donc : \[ 2m=6 \] et ainsi : \[ m=3. \]

Vérification : \[ \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = 2\times(-3)+3\times2 = -6+6 = 0. \] Les deux vecteurs sont donc bien orthogonaux.

Puisque \(\overrightarrow{v}\) est le projeté orthogonal de \(\overrightarrow{w}\) sur la direction de \(\overrightarrow{u}\), le vecteur \(\overrightarrow{v}\) est colinéaire à \(\overrightarrow{u}\).

La projection a une longueur de \(2{,}5\) et est dans le même sens que \(\overrightarrow{u}\). Ainsi : \[ \overrightarrow{v} = \frac{2{,}5}{4}\overrightarrow{u}. \]

On utilise alors : \[ \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = \|\overrightarrow{u}\| \times \|\overrightarrow{v}\| \times \cos(0^\circ). \]

Or : \[ \|\overrightarrow{u}\|=4,\qquad \|\overrightarrow{v}\|=2{,}5,\qquad \cos(0^\circ)=1. \]

Donc : \[ \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = 4\times2{,}5\times1 = 10. \]

Puisque \(\overrightarrow{v}\) est le projeté orthogonal de \(\overrightarrow{w}\) sur la direction de \(\overrightarrow{u}\), les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires.

La projection est dans le même sens que \(\overrightarrow{u}\), donc l'angle entre les deux vecteurs est \(0^\circ\).

On utilise la formule du produit scalaire : \[ \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = \|\overrightarrow{u}\| \times \|\overrightarrow{v}\| \times \cos(0^\circ). \]

On connaît : \[ \|\overrightarrow{u}\|=2, \qquad \|\overrightarrow{v}\|=0{,}5, \qquad \cos(0^\circ)=1. \]

Donc : \[ \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = 2\times0{,}5\times1 = 1. \]