Croissance exponentielle — Suites géométriques

Pour une suite géométrique de premier terme \(u_0\) et de raison \(q\), on a :

On calcule :

Donc : \(\boxed{u_4 = 48}\)

Pour une suite géométrique, on a : \[ u_n = u_0\,q^n. \]

On utilise l’information \(u_3 = 40\) :

On isole \(q^3\) :

On résout :

Donc : \(\boxed{q = 2}\)

Pour une suite géométrique de raison \(q\), le sens de variation dépend de la valeur de \(q\) :

• si \(q > 1\) → suite croissante ;
• si \(0 < q < 1\) → suite décroissante ;
• si \(q = 1\) → suite constante ;
• si \(q < 0\) → suite alternée.

Ici, la raison est :

Comme :

la suite est :

Pour une suite géométrique de premier terme \(u_0\) et de raison \(q\), on a : \[ u_{n+1} = q\,u_n. \]

Si la raison vaut :

alors :

Chaque terme est égal au précédent : la suite ne change jamais.

Une suite géométrique s’écrit sous la forme : \[ u_n = u_0\,q^n. \] Ici : \[ u_n = 4 \times 3^n, \] ce qui correspond exactement à la forme \(u_0\,q^n\).

Donc la suite est bien géométrique.

Une suite géométrique s’écrit sous la forme : \[ a_n = a_0\,q^n. \]

Ici : \[ a_n = 4^n = 1 \times 4^n. \] On reconnaît exactement la forme \(a_0\,q^n\).

Donc la suite est bien géométrique.

Ainsi,

Une population qui double chaque année suit une suite géométrique de raison : \[ q = 2. \]

L’expression générale est : \[ P_n = P_0 \, q^n. \]

On remplace :

Comme : \[ 2^5 = 32, \] on obtient alors :

Perdre 20% signifie qu’il reste : \[ 100\% - 20\% = 80\%. \]

En écriture décimale : \[ 80\% = 0{,}8. \]

Donc la population radioactive est multipliée chaque année par :

Pour une suite géométrique : \[ u_n = u_0\,q^n. \]

On remplace :

Comme : \[ (-2)^3 = -8, \] on obtient :

Une décroissance de 10% signifie qu’il reste : \[ 100\% - 10\% = 90\% = 0{,}9. \]

La suite est donc géométrique de raison : \[ q = 0{,}9. \]

L’expression générale est : \[ u_n = u_0\,q^n. \]

On calcule :

Comme : \[ 0{,}9^4 = 0{,}6561, \] on obtient :

a) 4 ; 8 ; 12 ; 24

On calcule les quotients successifs : \[ \frac{8}{4} = 2,\quad \frac{12}{8} = 1,5;\quad \frac{24}{12} = 2. \] Les quotients ne sont pas constants. Donc ce n'est pas une croissance exponentielle.

b) 2 ; 4 ; 6 ; 8

On calcule : \[ \frac{4}{2} = 2,\quad \frac{6}{4} = 1{,}5,\quad \frac{8}{6} \approx 1{,}33. \] Les quotients ne sont pas constants. Donc ce n'est pas une croissance exponentielle.

c) –10 ; 5 ; 2,5 ; –1,25

On calcule : \[ \frac{5}{-10} = -\frac{1}{2},\quad \frac{2{,}5}{5} = \frac{1}{2},\quad \frac{-1{,}25}{2{,}5} = -\frac{1}{2}. \] Les quotients alternent. Il s'agit d'une croissance exponentielle discrète alternée.

d) 2 ; -\(\frac{2}{3}\) ; \(\frac{2}{9}\) ; -\(\frac{2}{27}\)

On calcule : \[ \frac{-\frac{2}{3}}{2} = -\frac{1}{3},\quad \frac{\frac{2}{9}}{-\frac{2}{3}} = -\frac{1}{3},\quad \frac{-\frac{2}{27}}{\frac{2}{9}} = -\frac{1}{3}. \] Les quotients sont constants. Donc c'est une suite géométrique.

Une suite géométrique vérifie une relation de la forme : \[ b_{n+1} = q\,b_n. \]

Ici, on a : \[ b_{n+1} = \frac{b_n}{2} = \frac{1}{2}\,b_n. \] On reconnaît exactement la forme \(q\,b_n\).

Donc la suite est bien géométrique.

Ainsi,

Une suite géométrique s’écrit sous la forme : \[ c_n = c_0\,q^n. \]

Ici : \[ c_n = \frac{1}{2^n} = 1 \times \left(\frac{1}{2}\right)^n. \] On reconnaît exactement la forme \(c_0\,q^n\).

Donc la suite est bien géométrique.

Ainsi,

Une suite géométrique vérifie une relation de la forme : \[ c_{n+1} = q\,c_n. \]

Ici : \[ c_{n+1} = \frac{c_n}{2} = \frac{1}{2}\,c_n. \] On reconnaît exactement la forme \(q\,c_n\).

Donc la suite est bien géométrique de raison :

Par ailleurs, une suite géométrique s'écrit également sous la forme : \[ c_n = c_0\,q^n. \]

On remplace :

En conséquence,

Une suite arithmétique vérifie une relation de la forme : \[ w_{n+1} = w_n + r. \]

Ici : \[ w_{n+1} = w_n - 1 = w_n + (-1). \] On reconnaît exactement la forme \(w_n + r\).

Donc la suite est bien arithmétique de raison :

Par ailleurs, une suite arithmétique s'écrit également sous la forme : \[ w_n = w_0 + n\,r. \]

On remplace :

En conséquence,

1. Augmentation de 50 % par période

Une augmentation de 50 % signifie que la quantité est multipliée par : \[ 1{,}5. \] C’est une croissance exponentielle.

2. La quantité double à chaque période

Doubler revient à multiplier par : \[ 2. \] C’est une croissance exponentielle.

3. Diminution de 30 % par période

Perdre 30 % signifie multiplier par : \[ 0{,}7. \] C’est une décroissance exponentielle.

4. Augmentation de 100 à chaque période

Ajouter une quantité fixe correspond à une suite arithmétique : \[ u_{n+1} = u_n + 100. \] Ce n’est pas une croissance exponentielle.

1. Salaire d’Angela : +1 % par an

Une augmentation en pourcentage correspond à une multiplication par un facteur constant : \[ q = 1{,}01. \] C'est une croissance exponentielle.

2. Jean lit 10 % des pages restantes

Il lit chaque jour une proportion des pages encore non lues. La quantité restante est donc multipliée par : \[ 0{,}9. \] C'est une décroissance exponentielle.

3. Rosa verse 50 € chaque mois

Elle ajoute une quantité fixe à chaque période : \[ u_{n+1} = u_n + 50. \] C'est une croissance linéaire.

4. Lentilles d’eau : la population double chaque semaine

Doubler revient à multiplier par : \[ 2. \] C'est une croissance exponentielle.

5. Taux de chômage : +1 point par an

Ajouter une quantité fixe correspond à une évolution linéaire : \[ u_{n+1} = u_n + 1. \] C'est une croissance linéaire.