Croissance exponentielle — suites géométriques

Cours

1. Définition

Une suite géométrique est une suite $(u_n)$ dans laquelle chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par une constante $q$ appelée raison :

$$u_{n+1} = q cdot u_n$$

2. Forme explicite

On peut exprimer directement le terme de rang $n$ :

$$u_n = u_0 cdot q^n$$

Cette expression permet de calculer rapidement un terme éloigné.

3. Représentation graphique

Les points $(n, u_n)$ ne sont pas alignés : la croissance est exponentielle si $q>1$, et la décroissance est exponentielle si $0

4. Sens de variation

Si $q > 1$, la suite est croissante.
Si $0 < q < 1$, la suite est décroissante.
Si $q = 1$, la suite est constante.
Si $q < 0$, la suite est alternée (change de signe).

5. Applications scientifiques

Les suites géométriques modélisent :

croissance ou décroissance exponentielle,
phénomènes de reproduction,
radioactivité,
intérêts composés,
processus multiplicatifs.

Exercices Corrigés

On considère la suite géométrique définie par $u_0 = 3$ et $q = 2$. Calculer $u_4$.

Une suite géométrique vérifie $u_0 = 5$ et $u_3 = 40$. Déterminer la raison $q$.

Déterminer si la suite définie par $u_0 = 10$ et $q = 0{,}5$ est croissante ou décroissante.

Une suite géométrique a pour raison $q = 1$. Que peut-on dire de la suite ?

On a $u_n = 4 cdot 3^n$. Vérifier qu’il s’agit d’une suite géométrique et donner $u_0$ et $q$.

Tracer les trois premiers points de la suite $u_n = 2 cdot 2^n$.

Une population double chaque année. Si $P_0 = 500$, calculer $P_5$.

Une substance radioactive perd 20% par an. Quelle est la raison $q$ ?

On a $u_0 = 100$ et $q = -2$. Calculer $u_3$.

Une suite géométrique décroît de 10% par an. Si $u_0 = 200$, calculer $u_4$.

QCM notés

QCM noté — Suites géométriques 10 questions · ⏱ 20 min