Modèle linéaire continu — fonctions affines
Cours
1. Définition d’une fonction affine
Une fonction affine est une fonction de la forme : \[ f(x) = ax + b \] où :
- $a$ est le coefficient directeur (pente de la droite)
- $b$ est l’ordonnée à l’origine
- $f(x) = 3x - 2$ : $a = 3$, $b = -2$
- $g(x) = -5x + 7$ : $a = -5$, $b = 7$
- $h(x) = 4x$ : fonction linéaire (cas particulier), $b = 0$
2. Représentation graphique
La courbe représentative d’une fonction affine est une droite.
Le coefficient directeur $a$ indique :
- si $a > 0$ : la droite est croissante
- si $a < 0$ : la droite est décroissante
- si $a = 0$ : la fonction est constante
- $f(x) = 2x + 1$ → droite croissante
- $g(x) = -3x + 4$ → droite décroissante
- $k(x) = 5$ → droite horizontale
3. Taux d’accroissement
Entre deux points $x_1$ et $x_2$, le taux d’accroissement est : \[ \dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \] Pour une fonction affine, ce taux est toujours égal à $a$.
4. Résoudre un problème de seuil
On cherche la valeur de $x$ telle que $f(x)$ atteigne un seuil $S$ : \[ f(x) = S \quad \Longleftrightarrow \quad ax + b = S \] On résout alors : \[ x = \dfrac{S - b}{a} \]
Pour $f(x) = 3x + 2$, trouver $x$ tel que $f(x) = 20$ : \[ 3x + 2 = 20 \Longleftrightarrow 3x = 18 \Longleftrightarrow x = 6. \]
5. Applications scientifiques
Les fonctions affines modélisent des phénomènes à variation uniforme :
- température qui augmente régulièrement
- coût proportionnel à une quantité
- modèles linéaires simples en physique ou en économie
- Température : $T(t) = 2t + T_0$
- Coût d’un taxi : $C(x) = 1{,}2x + 4$
- Distance à vitesse constante : $d(t) = 5t$
Exercices Corrigés
Exercice : Coefficient directeur et ordonnée à l’origine
Donner le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine de la fonction affine : \[ f(x) = 3x - 2. \]
Exercice — Sens de variation d’une fonction affine
La fonction considérée est : \[ f(x) = -4x + 7. \] La question est : La fonction est-elle croissante ou décroissante ?
Exercice — Taux d’accroissement d’une fonction affine
On considère la fonction : \[ f(x) = 2x + 1. \] Calculer le taux d’accroissement de \(f\) entre \(x = 3\) et \(x = 8\).
Exercice — Résoudre une équation affine
On considère la fonction : \[ f(x) = 5x - 5. \] Résoudre l’équation : \[ f(x) = 10. \]
Exercice — Tracer la droite d’une fonction affine
On considère la fonction : \[ f(x) = x + 2. \] Tracer la droite en utilisant les valeurs de \(f(x)\) pour : \[ x = 0,\; 1,\; 2. \]
Exercice — Sens de variation d’une fonction affine
Une fonction affine possède un coefficient directeur négatif. Que peut-on dire de sa représentation graphique ?
Exercice — Calcul d’une valeur de fonction affine
On considère la fonction : \[ f(x) = 0{,}5x + 4. \] Déterminer la valeur de : \[ f(10). \]
Exercice — Résoudre une équation affine
On considère la fonction : \[ f(x) = 2x - 6. \] Résoudre l’équation : \[ f(x) = 0. \]
Exercice — Température modélisée par une fonction affine
Une fonction affine modélise une température qui augmente de 0,3 °C par minute. Sachant $ T(0) = 18. $ Calculer : $ T(20). $
Exercice — Déterminer l’équation d’une droite
On veut déterminer l’équation de la droite passant par les points : \[ A(2,5) \quad \text{et} \quad B(6,13). \]