Modèle linéaire continu — fonctions affines
Cours
1. Définition
Une fonction affine est une fonction de la forme :
$$f(x) = ax + b$$
où :
- $a$ est le coefficient directeur (pente de la droite)
- $b$ est l’ordonnée à l’origine
2. Représentation graphique
La courbe représentative d’une fonction affine est une droite.
Le coefficient directeur $a$ indique :
- si $a > 0$ : la droite est croissante
- si $a < 0$ : la droite est décroissante
- si $a = 0$ : la fonction est constante
3. Taux d’accroissement
Entre deux points $x_1$ et $x_2$, le taux d’accroissement est :
$$dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$$
Pour une fonction affine, ce taux est toujours égal à $a$.
4. Résoudre un problème de seuil
On cherche la valeur de $x$ telle que $f(x)$ atteigne un seuil $S$ :
$$f(x) = S quad Longleftrightarrow quad ax + b = S$$
On résout alors :
$$x = dfrac{S - b}{a}$$
5. Applications scientifiques
Les fonctions affines modélisent des phénomènes à variation uniforme :
- température qui augmente régulièrement
- coût proportionnel à une quantité
- modèles linéaires simples en physique ou en économie
Exercices Corrigés
Donner le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine de $f(x)=3x-2$.
La fonction $f(x)= -4x + 7$ est-elle croissante ou décroissante ?
Calculer le taux d’accroissement de $f(x)=2x+1$ entre $x=3$ et $x=8$.
Résoudre $f(x)=10$ pour $f(x)=5x-5$.
Tracer la droite de $f(x)=x+2$ pour $x=0,1,2$.
Une fonction affine a un coefficient directeur négatif. Que peut-on dire de sa représentation graphique ?
Déterminer $f(10)$ pour $f(x)=0{,}5x+4$.
Résoudre $f(x)=0$ pour $f(x)=2x-6$.
Une fonction affine modélise une température qui augmente de 0,3 °C par minute. Si $T(0)=18$, calculer $T(20)$.
Déterminer l’équation de la droite passant par (2,5) et (6,13).