Phénomènes d’évolution — suites arithmétiques
Cours
1. Définition
Une suite arithmétique est une suite $(u_n)$ dans laquelle chaque terme s’obtient en ajoutant une constante $r$ appelée raison :
$$u_{n+1} = u_n + r$$
La suite évolue donc de manière linéaire : elle augmente ou diminue d’un même pas à chaque rang.
2. Forme explicite
On peut exprimer directement le terme de rang $n$ :
$$u_n = u_0 + n imes r$$
Cette expression permet de calculer rapidement un terme éloigné sans passer par les termes intermédiaires.
3. Sens de variation
- Si $r > 0$, la suite est croissante.
- Si $r < 0$, la suite est décroissante.
- Si $r = 0$, la suite est constante.
4. Interprétation graphique
Les points $(n, u_n)$ sont alignés : une suite arithmétique correspond à une droite dans un repère.
5. Applications scientifiques
Les suites arithmétiques modélisent des phénomènes à évolution linéaire :
- augmentation régulière d’une quantité (température, volume, distance parcourue chaque seconde),
- modèles simplifiés d’évolution dans le temps,
- phénomènes à croissance ou décroissance uniforme.
Exercices Corrigés
On considère la suite arithmétique définie par $u_0 = 5$ et $r = 3$. Calculer $u_4$.
Une suite arithmétique vérifie $u_0 = -2$ et $u_5 = 13$. Déterminer la raison $r$.
Déterminer si la suite définie par $u_0 = 10$ et $r = -1{,}5$ est croissante ou décroissante.
Une suite arithmétique a pour raison $r = 0$. Que peut-on dire de la suite ?
On a $u_n = 7 + 2n$. Vérifier qu’il s’agit d’une suite arithmétique et donner $u_0$ et $r$.
Tracer les trois premiers points de la suite $u_n = 4 + n$.
Une suite arithmétique vérifie $u_3 = 12$ et $r = 4$. Calculer $u_0$.
On a $u_0 = 20$ et $r = -2$. Calculer $u_{10}$.
Une suite arithmétique modélise une température qui augmente de $0{,}5$ °C par heure. Si $T_0 = 12$ °C, calculer $T_6$.
Une suite arithmétique décroît de $3$ unités par minute. Si $u_0 = 50$, au bout de combien de minutes atteint-elle $u_n = 20$ ?