Phénomènes d’évolution — suites arithmétiques
Cours
Initiation
Compléter les suites suivantes puis déterminer si possible $u_{10}$.
- 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5
- 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10
- 3 ; 7 ; 11 ; 15 ; 19
- 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32
- 2 ; 3 ; 5 ; 9 ; 17
- 0 ; 1 ; 8 ; 27 ; 64 ; 125
- 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21
2. On ajoute 2 : $u_{10}=22$.
3. On ajoute 4 : $u_{10}=43$.
4. On double à chaque étape : $u_{10}=2048$.
5. Les écarts sont $1,2,4,8,\ldots$ : $u_{10}=2049$.
6. $u_n=n^3$, donc $u_{10}=1000$.
7. En prenant $u_0=1$, c’est Fibonacci et $u_{10}=89$.
1. Définition rigoureuse d’une suite
Une suite numérique est une application : \[ u : \mathbb{N} \to \mathbb{R},\qquad n \mapsto u_n. \] Le nombre réel \(u_n\) est appelé le terme de rang \(n\).
Une suite peut être définie :
- explicitement : une formule donne directement \(u_n\) en fonction de \(n\) ;
- par récurrence : on connaît un terme initial et une relation permettant de calculer \(u_{n+1}\) à partir de \(u_n\).
2. Définition explicite
Une suite est définie explicitement lorsque l’on dispose d’une expression du type : \[ u_n = f(n). \]
- \(u_n = 0{,}5n^2 + 1\)
- \(u_n = 1 + \frac{2}{n}\) (pour \(n \ge 1\))
- \(u_n = 3n - 7\)
- \(u_n = 2^n\)
- \(u_0 = 1\)
- \(u_1 = 1{,}5\)
- \(u_2 = 3\)
- \(u_{10} = 51\)
2. \(u_n = 1 + \frac{2}{n}\)
- \(u_1 = 3\)
- \(u_2 = 2\)
- \(u_3 = \frac{5}{3}\)
- \(u_{10} = 1{,}2\)
3. \(u_n = 3n - 7\)
- \(u_0 = -7\)
- \(u_1 = -4\)
- \(u_2 = -1\)
- \(u_{10} = 23\)
4. \(u_n = 2^n\)
- \(u_0 = 1\)
- \(u_1 = 2\)
- \(u_2 = 4\)
- \(u_{10} = 1024\)
3. Définition par récurrence
Une suite est définie par récurrence lorsque l’on connaît :
- un terme initial \(u_0\) ou \(u_1\) ;
- une relation de récurrence permettant de calculer \(u_{n+1}\) à partir de \(u_n\).
- \(u_2 = 1081{,}6\)
- \(u_3 = 1124{,}864\)
- \(u_4 = 1169{,}858\)
4. Suite arithmétique
4.1 Définition d’une suite arithmétique
Une suite \((u_n)\) (ou \(u(n))\)) est une suite arithmétique s’il existe un nombre réel \(r\) tel que :
\[
u(n + 1) = u(n) + r
\]
pour tout entier naturel \(n\), le premier terme \(u(0)\) ou \(u(1)\) étant donné.
Le nombre \(r\) est appelé la raison de la suite \(u\).
Une suite est donc arithmétique si l’on passe d’un terme au suivant en ajoutant un même nombre au précédent, ou si la différence entre deux termes successifs est constante.
En ajoutant 5 au terme précédent, on obtient : \[ u(0) = 3,\quad u(1) = 8,\quad u(2) = 13,\quad u(3) = 18,\quad u(4) = 23,\quad u(5) = 28,\ \dots \]
4.3 Terme de rang \(n\) d’une suite arithmétique
Soit \(n \in \mathbb{N}\) (ou \(\mathbb{N}^*\)) et \(r \in \mathbb{R}\). Le terme de rang \(n\) (ou terme général) d’une suite arithmétique \(u\) de raison \(r\) est donné par :
- \(u(n) = u(0) + n \times r\) si le premier terme est \(u(0)\) ;
- \(u(n) = u(1) + (n - 1) \times r\) si le premier terme est \(u(1)\).
On a : \[ u(n) = u(0) + n \times r = 120 - 5n. \] Donc : \[ u(8) = 120 - 5 \times 8 = 80. \]
4.4 Sens de variation d’une suite arithmétique
Soit \(u\) une suite arithmétique de raison \(r\). Son sens de variation est donné par le signe de \(r\) :
- si \(r > 0\), la suite arithmétique est croissante : chaque terme est supérieur au précédent ;
- si \(r < 0\), la suite arithmétique est décroissante : chaque terme est inférieur au précédent.
4.5 Représentation graphique d’une suite arithmétique
Dans un repère, on peut représenter une suite \(u\) par les points de coordonnées \((n ; u(n))\).
Si \(u\) est arithmétique, ces points sont alignés.