Modélisation quadratique

1. $f(x)=2x^2-1$ est une fonction du second degré avec $a=2 > 0$ et son sommet atteint en $x = 0$ ($f(0) = -1$). La fonction est donc strictement décroissante sur $(-\infty, 0]$ et strictement croissante sur $[0, +\infty)$.

2.a) $0{,}6 < 0{,}7$ et sur $[0,+\infty[$, $f$ est strictement croissante (elle conserve l'ordre), donc : $$f(0{,}6) < f(0{,}7).$$

2.b) $-4 < -2$ et sur $]-\infty,0]$, $f$ est strictement décroissante (elle inverse l'ordre), donc : $$f(-4) > f(-2).$$

a) $x^2 = 100$
L'équation est de la forme $x^2 = a$ avec $a = 100 > 0$. Elle admet deux solutions : $x = \sqrt{100} = 10$ ou $x = -\sqrt{100} = -10$.
$$S = \{-10\,; 10\}$$

b) $x^2 = 15$
L'équation est de la forme $x^2 = a$ avec $a = 15 > 0$. Elle admet deux solutions : $x = \sqrt{15}$ ou $x = -\sqrt{15}$.
$$S = \{-\sqrt{15}\,; \sqrt{15}\}$$

c) $-2x^2 + 19 = 7$
On isole $x^2$ :
$-2x^2 = 7 - 19$
$-2x^2 = -12$
$x^2 = \dfrac{-12}{-2} = 6$
Comme $6 > 0$, l'équation admet deux solutions.
$$S = \{-\sqrt{6}\,; \sqrt{6}\}$$

d) $x^2 - 5 = 0$
On isole $x^2$ : $x^2 = 5$. Comme $5 > 0$, l'équation admet deux solutions.
$$S = \{-\sqrt{5}\,; \sqrt{5}\}$$

e) $2x^2 = x^2$
On se ramène à une équation nulle :
$2x^2 - x^2 = 0$
$x^2 = 0 \iff x = 0$
$$S = \{0\}$$

f) $x^3 - 4x = 0$
On factorise par $x$ :
$x(x^2 - 4) = 0$
D'après la règle du produit nul : $x = 0$ ou $x^2 - 4 = 0 \iff x^2 = 4 \iff x = 2 \text{ ou } x = -2$.
$$S = \{-2\,; 0\,; 2\}$$

g) $(x^2 - 4)(4 - 3x) = 0$
D'après la règle du produit nul :
$x^2 - 4 = 0 \iff x^2 = 4 \iff x = -2 \text{ ou } x = 2$
ou
$4 - 3x = 0 \iff -3x = -4 \iff x = \dfrac{4}{3}$
$$S = \left\{-2\,; \dfrac{4}{3}\,; 2\right\}$$

h) $(2x + 1)(4x^2 - 4) = 0$
D'après la règle du produit nul :
$2x + 1 = 0 \iff 2x = -1 \iff x = -\dfrac{1}{2}$
ou
$4x^2 - 4 = 0 \iff 4x^2 = 4 \iff x^2 = 1 \iff x = -1 \text{ ou } x = 1$
$$S = \left\{-1\,; -\dfrac{1}{2}\,; 1\right\}$$

1. Pour vérifier que $1$ est une racine de $f$, on calcule $f(1)$ :
$f(1) = -2 \times 1^2 + 5 \times 1 - 3 = -2 + 5 - 3 = 0$.
Comme $f(1) = 0$, $1$ est bien une racine de $f$ (on la note $x_1 = 1$).

2. On sait que pour un polynôme $ax^2 + bx + c$, le produit des racines $x_1$ et $x_2$ vaut $P = \dfrac{c}{a}$.
Ici, $a = -2$, $b = 5$, et $c = -3$.
$x_1 \times x_2 = \dfrac{-3}{-2} = \dfrac{3}{2}$.
Comme $x_1 = 1$, on a $1 \times x_2 = \dfrac{3}{2}$, soit $x_2 = \dfrac{3}{2}$ (ou $1{,}5$).

Autre méthode (somme des racines) :
$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \implies 1 + x_2 = -\dfrac{5}{-2} = \dfrac{5}{2} \implies x_2 = \dfrac{5}{2} - 1 = \dfrac{3}{2}$.

3. La forme factorisée d'un polynôme du second degré est $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$.
Avec $a = -2$, $x_1 = 1$ et $x_2 = \dfrac{3}{2}$ :
$$f(x) = -2(x - 1)\left(x - \dfrac{3}{2}\right)$$ (ou sous une autre forme développée du coefficient : $f(x) = (x - 1)(3 - 2x)$).

1. Pour vérifier que $3$ est une racine de $g$, on calcule $g(3)$ :
$g(3) = 3^2 + 2 \times 3 - 15 = 9 + 6 - 15 = 0$.
Comme $g(3) = 0$, $3$ est bien une racine de $g$ (on pose $x_1 = 3$).

2. On sait que pour un polynôme de la forme $ax^2 + bx + c$, le produit des racines $x_1$ et $x_2$ vaut $P = \dfrac{c}{a}$.
Ici, $a = 1$, $b = 2$, et $c = -15$.
$x_1 \times x_2 = \dfrac{-15}{1} = -15$.
Comme $x_1 = 3$, on a $3 \times x_2 = -15$, soit $x_2 = -5$.

Autre méthode (somme des racines) :
$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \implies 3 + x_2 = -\dfrac{2}{1} = -2 \implies x_2 = -2 - 3 = -5$.

3. La forme factorisée d'un polynôme du second degré s'écrit $g(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$.
Avec $a = 1$, $x_1 = 3$ et $x_2 = -5$ :
$$g(x) = (x - 3)(x - (-5))$$ $$g(x) = (x - 3)(x + 5)$$

1. $f(x) = x^2 + x - 42$
Ici, $a = 1$, $x_1 = -7$ et $x_2 = 6$.
$f(x) = 1 \times (x - (-7))(x - 6)$
$$f(x) = (x + 7)(x - 6)$$

2. $g(x) = 4x^2 + 3x - 1$
Ici, $a = 4$, $x_1 = -1$ et $x_2 = \dfrac{1}{4}$.
$g(x) = 4(x - (-1))\left(x - \dfrac{1}{4}\right)$
$g(x) = 4(x + 1)\left(x - \dfrac{1}{4}\right)$
(En distribuant le $4$ dans le second facteur, on peut aussi écrire $g(x) = (x + 1)(4x - 1)$).

3. $h(x) = 2x^2 - x - 1$
Ici, $a = 2$, $x_1 = -\dfrac{1}{2}$ et $x_2 = 1$.
$h(x) = 2\left(x - \left(-\dfrac{1}{2}\right)\right)(x - 1)$
$h(x) = 2\left(x + \dfrac{1}{2}\right)(x - 1)$
(En distribuant le $2$ dans le premier facteur, on obtient $h(x) = (2x + 1)(x - 1)$).

1. $f(x) = x^2 + 13x + 30$ de racine $x_1 = -3$
Ici, $a = 1$, $b = 13$ et $c = 30$.
Produit des racines : $x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a} \implies -3 \times x_2 = \dfrac{30}{1} = 30 \implies x_2 = \dfrac{30}{-3} = -10$.
Factorisation avec $a = 1$ :
$f(x) = 1 \times (x - (-3))(x - (-10))$
$$f(x) = (x + 3)(x + 10)$$

2. $g(x) = 5x^2 + 9x - 2$ de racine $x_1 = -2$
Ici, $a = 5$, $b = 9$ et $c = -2$.
Produit des racines : $x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a} \implies -2 \times x_2 = \dfrac{-2}{5} \implies x_2 = \dfrac{1}{5}$.
Factorisation avec $a = 5$ :
$g(x) = 5(x - (-2))\left(x - \dfrac{1}{5}\right)$
$$g(x) = 5(x + 2)\left(x - \dfrac{1}{5}\right)$$ (ou sous la forme $g(x) = (x + 2)(5x - 1)$).

3. $h(x) = x^2 + 10x - 200$ de racine $x_1 = 10$
Ici, $a = 1$, $b = 10$ et $c = -200$.
Produit des racines : $x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a} \implies 10 \times x_2 = \dfrac{-200}{1} = -200 \implies x_2 = \dfrac{-200}{10} = -20$.
Factorisation avec $a = 1$ :
$h(x) = 1 \times (x - 10)(x - (-20))$
$$h(x) = (x - 10)(x + 20)$$

1. $f(x) = 3(x - 4)(x - 1)$
Racines : $x_1 = 4$ et $x_2 = 1$.
Sommet : $x_S = \dfrac{4 + 1}{2} = 2{,}5$, avec $f(2{,}5) = 3(2{,}5 - 4)(2{,}5 - 1) = 3(-1{,}5)(1{,}5) = -6{,}75$.
Comme $a = 3 > 0$, la fonction décroît puis croît.

2. $g(x) = -(x - 3)(x + 5)$
Racines : $x_1 = 3$ et $x_2 = -5$.
Sommet : $x_S = \dfrac{3 + (-5)}{2} = -1$, avec $g(-1) = -(-1 - 3)(-1 + 5) = -(-4)(4) = 16$.
Comme $a = -1 < 0$, la fonction croît puis décroît.

3. $h(x) = -2x(x + 1)$
Racines : $x_1 = 0$ et $x_2 = -1$.
Sommet : $x_S = \dfrac{0 + (-1)}{2} = -0{,}5$, avec $h(-0{,}5) = -2(-0{,}5)(-0{,}5 + 1) = 1(0{,}5) = 0{,}5$.
Comme $a = -2 < 0$, la fonction croît puis décroît.

4. $k(x) = (x + 3)^2$
Forme canonique : le sommet est directement en $x_S = -3$, avec $k(-3) = 0$.
Comme $a = 1 > 0$, la fonction décroît puis croît.

1. Tableau de signes de $f$ :
On cherche les valeurs qui annulent chaque facteur :
• $2x - 1 = 0 \iff 2x = 1 \iff x = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$
• $-x + 5 = 0 \iff -x = -5 \iff x = 5$

2. Solutions de $f(x) < 0$ :
D'après la dernière ligne du tableau de signes, $f(x)$ est strictement négative ($< 0$) sur les intervalles $]-\infty\,; 0{,}5[$ et $]5\,; +\infty[$.
$$S = \left]-\infty\,; \dfrac{1}{2}\right[ \cup ]5\,; +\infty[$$

1. $(-3x + 6)(2x - 8) \leqslant 0$

Racines : $-3x+6=0 \iff x=2$ et $2x-8=0 \iff x=4$.

On cherche $P(x) \leqslant 0$ : $$\boxed{S = ]-\infty ; 2] \cup [4 ; +\infty[}$$

2. $(-5x + 4)(-x + 2) \geqslant 0$

Racines : $-5x+4=0 \iff x=\tfrac{4}{5}$ et $-x+2=0 \iff x=2$.

On cherche $P(x) \geqslant 0$ : $$\boxed{S = \left]-\infty ; \tfrac{4}{5}\right] \cup [2 ; +\infty[}$$

3. $(4x + 8)(3 - 3x) > 0$

Racines : $4x+8=0 \iff x=-2$ et $3-3x=0 \iff x=1$.

On cherche $P(x) > 0$ : $$\boxed{S = ]-2 ; 1[}$$

4. $(-2x + 1)(3x - 2) \geqslant 0$

Racines : $-2x+1=0 \iff x=\tfrac{1}{2}$ et $3x-2=0 \iff x=\tfrac{2}{3}$.

On cherche $P(x) \geqslant 0$ : $$\boxed{S = \left[\tfrac{1}{2} ; \tfrac{2}{3}\right]}$$