Variation globale — fonction dérivée
Cours
1. Variation globale
La variation globale de $f$ entre $a$ et $b$ est :
$$f(b) - f(a)$$
Elle mesure l’évolution totale de la fonction sur l’intervalle.
2. Taux de variation
Le taux de variation entre $a$ et $b$ est :
$$frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
Il représente la variation moyenne de la fonction.
3. Fonction dérivée
La fonction dérivée $f'(x)$ donne la variation instantanée de $f$.
Elle permet de déterminer :
- les intervalles de croissance,
- les intervalles de décroissance,
- les extremums locaux.
4. Croissance et décroissance
- si $f'(x) > 0$ : $f$ est croissante
- si $f'(x) < 0$ : $f$ est décroissante
- si $f'(x) = 0$ : point critique
5. Tableau de variation
On utilise le signe de $f'(x)$ pour construire le tableau de variation de $f$.
6. Applications scientifiques
La variation globale intervient dans :
- étude de phénomènes physiques,
- analyse de données,
- modélisation de croissance,
- optimisation.
Exercices Corrigés
Calculer la variation globale de $f(x)=x^2$ entre 2 et 5.
Calculer le taux de variation de $f(x)=x^2$ entre 2 et 5.
Déterminer les intervalles de croissance de $f(x)=x^3$.
Déterminer les intervalles de croissance de $f(x)=x^3-3x$.
Trouver les extremums de $f(x)=x^2-4x$.
Construire le tableau de variation de $f(x)=x^2-4x$.
Pour $f(x)=3x-1$, calculer la variation globale entre 0 et 10.
Pour $f(x)=\frac{1}{x}$, étudier le signe de $f'(x)$.
Déterminer les intervalles de croissance de $f(x)=x^4-2x^2$.
Un phénomène croît de 10 unités entre t=0 et t=5. Quelle est la variation globale ?