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Variation globale — fonction dérivée

Cours

Fonction dérivée, signe et sens de variation
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1. Fonction dérivée, signe et sens de variation

Définition :
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.
La fonction qui, à tout réel $x$ de $I$, associe le nombre dérivé $f'(x)$ est appelée fonction dérivée de $f$.
On la note $f'$.
Propriété :
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.
  • Si pour tout $x$ de $I$, on a $f'(x) > 0$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
  • Si pour tout $x$ de $I$, on a $f'(x) \leqslant 0$, alors $f$ est décroissante sur $I$.
  • Si pour tout $x$ de $I$, on a $f'(x) = 0$, alors $f$ est constante sur $I$.
Exemple :
On considère la fonction $g$ définie par : $g(x) = x^2$.
$g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et sa dérivée en $x$, $g'(x)$, est égale à $2x$.

Tableau de variation :

x g'(x) g(x) −∞ 0 +∞ − 0 + +∞ 0 +∞

2. Calcul d'une fonction dérivée

Dérivées des fonctions usuelles :
Fonction $f$ Dérivée $f'$
$f(x) = k$ (constante) $f'(x) = 0$
$f(x) = x$ $f'(x) = 1$
$f(x) = x^2$ $f'(x) = 2x$
$f(x) = x^3$ $f'(x) = 3x^2$
Opérations sur les dérivées :
Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$.
Fonction Dérivée
$k \cdot u$ ($k$ constante) $k \cdot u'$
$u + v$ $u' + v'$

3. Applications aux fonctions polynômes de degré 2 et 3

Propriété :
  • Les fonctions polynômes de degré 2 définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = ax^2 + bx + c$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$ : \[ f'(x) = 2ax + b \]
  • Les fonctions polynômes de degré 3 définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$ : \[ f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \]
Extremum local :
Lorsque la fonction dérivée s'annule et change de signe, la fonction $f$ admet un extremum local (maximum ou minimum).

Exercice 1

Calculer, pour chacune des fonctions suivantes, sa fonction dérivée :

  1. $f(x) = x^2 + 4$
  2. $g(x) = x^3 + x$
  3. $h(x) = 4x^2 - 6x$
  4. $k(x) = 2x^3 - 5x^2 + 7x - 5$
  5. $u(x) = 2x^2 - 4x + 9$
  6. $v(x) = -2x^3 + 6x^2 - 3x + 9$
  1. $f'(x) = 2x$
  2. $g'(x) = 3x^2 + 1$
  3. $h'(x) = 8x - 6$
  4. $k'(x) = 6x^2 - 10x + 7$
  5. $u'(x) = 4x - 4$
  6. $v'(x) = -6x^2 + 12x - 3$

Exercice 2

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = x^2 + 6x - 10$.

    1. Calculer $f'(x)$.
    2. Étudier le signe de $f'(x)$.
    1. Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
    2. En déduire que $f$ admet un extremum sur $\mathbb{R}$. Préciser en quelle valeur de $x$ il est atteint.
    1. $f'(x) = 2x + 6$.
    2. $2x + 6 > 0 \iff 2x > -6 \iff x > -3$.
      Ainsi, $f'(x) < 0$ sur $]-\infty ; -3[$, $f'(-3) = 0$ et $f'(x) > 0$ sur $]-3 ; +\infty[$.
    1. $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty ; -3]$ puis strictement croissante sur $[-3 ; +\infty[$.
      $f(-3) = (-3)^2 + 6(-3) - 10 = 9 - 18 - 10 = -19$.
    2. $f$ admet un minimum global sur $\mathbb{R}$ égal à $-19$, atteint en $x = -3$.

Exercice 3

On définit la fonction $f$ sur l'intervalle $[0; 20]$ par : $f(x) = -x^3 + 30x^2 - 108x - 500$.

  1. Calculer $f'(x)$.
  2. Montrer que $f'(x) = -3(x - 2)(x - 18)$.
  3. Donner les abscisses des points de la courbe représentative de $f$ en lesquels la tangente est horizontale.
  4. Étudier le signe de cette fonction dérivée puis dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur $[0; 20]$.
    Y a-t-il un maximum sur l'intervalle $[0; 20]$ ? Si oui, donner ses coordonnées.
  1. $f'(x) = -3x^2 + 60x - 108$.
  2. Développons $-3(x - 2)(x - 18)$ :
    $-3(x^2 - 18x - 2x + 36) = -3(x^2 - 20x + 36) = -3x^2 + 60x - 108 = f'(x)$.
  3. La tangente est horizontale lorsque $f'(x) = 0$, c'est-à-dire pour $x = 2$ et $x = 18$.
  4. $f'(x)$ est un polynôme de degré 2 avec $a = -3 < 0$. Il est négatif à l'extérieur des racines $2$ et $18$, et positif entre eux.
    Sur $[0 ; 20]$ :
    • $f'(x) < 0$ sur $[0 ; 2[$ et $]18 ; 20]$ ;
    • $f'(x) > 0$ sur $]2 ; 18[$ ;
    $f$ est donc décroissante sur $[0 ; 2]$, croissante sur $[2 ; 18]$ puis décroissante sur $[18 ; 20]$.
    $f(18) = -(18)^3 + 30(18)^2 - 108(18) - 500 = 1948$.
    Le maximum local sur $[0 ; 20]$ est atteint au point de coordonnées $(18 ; 1948)$.
x f'(x) f(x) 0 2 18 20 − 0 + 0 − −500 −604 1948 1340

Exercices Corrigés

Calculer la variation globale de $f(x)=x^2$ entre 2 et 5.
Calculer le taux de variation de $f(x)=x^2$ entre 2 et 5.
Déterminer les intervalles de croissance de $f(x)=x^3$.
Déterminer les intervalles de croissance de $f(x)=x^3-3x$.
Trouver les extremums de $f(x)=x^2-4x$.
Construire le tableau de variation de $f(x)=x^2-4x$.
Pour $f(x)=3x-1$, calculer la variation globale entre 0 et 10.
Pour $f(x)=\frac{1}{x}$, étudier le signe de $f'(x)$.
Déterminer les intervalles de croissance de $f(x)=x^4-2x^2$.
Un phénomène croît de 10 unités entre t=0 et t=5. Quelle est la variation globale ?

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