Variation instantanée — nombre dérivé
Cours
1. Taux de variation
Définition :
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a \in I$. Soit $h \neq 0$ tel que $a+h \in I$.
Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a + h$ est le rapport : \[ t(h) = \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h} \]
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a \in I$. Soit $h \neq 0$ tel que $a+h \in I$.
Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a + h$ est le rapport : \[ t(h) = \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h} \]
Exemple :
Soit $f(x) = x^2$. Le taux de variation de $f$ entre $1$ et $2$ ($a=1$, $h=1$) est : \[ t(1) = \dfrac{f(2) - f(1)}{2 - 1} = \dfrac{4 - 1}{1} = 3 \]
Soit $f(x) = x^2$. Le taux de variation de $f$ entre $1$ et $2$ ($a=1$, $h=1$) est : \[ t(1) = \dfrac{f(2) - f(1)}{2 - 1} = \dfrac{4 - 1}{1} = 3 \]
On considère deux points $A$ et $M$ d'une courbe $\mathcal{C}_f$ d'abscisses respectives $a$ et $a + h$.
La droite $(AM)$ est appelée la sécante à la courbe $\mathcal{C}_f$.
Graphiquement, le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ est le coefficient directeur de la sécante $(AM)$ :
\[ t(h) = \dfrac{y_M - y_A}{x_M - x_A} = \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h} \]
Exercice 1
Soit $f(x) = x^2$ sur $\mathbb{R}$.
- Calculer le taux de variation de $f$ entre $2$ et $3$.
- Calculer le taux de variation de $f$ entre $1$ et $4$.
- Calculer le taux de variation de $f$ entre $1$ et $1 + h$.
- $\dfrac{f(3)-f(2)}{3-2} = \dfrac{9-4}{1} = 5$
- $\dfrac{f(4)-f(1)}{4-1} = \dfrac{16-1}{3} = \dfrac{15}{3} = 5$
- $\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h} = \dfrac{(1+h)^2 - 1^2}{h} = \dfrac{1 + 2h + h^2 - 1}{h} = \dfrac{h(2+h)}{h} = 2 + h$
Exercice 2
Soit $g(x) = x^2 - 3$ sur $\mathbb{R}$.
- Calculer le taux de variation de $g$ entre $2$ et $3$.
- Calculer le taux de variation de $g$ entre $2$ et $4$.
- Calculer le taux de variation de $g$ entre $2$ et $2 + h$.
- $\dfrac{g(3)-g(2)}{3-2} = \dfrac{6 - 1}{1} = 5$
- $\dfrac{g(4)-g(2)}{4-2} = \dfrac{13 - 1}{2} = 6$
- $\dfrac{g(2+h)-g(2)}{h} = \dfrac{((2+h)^2 - 3) - 1}{h} = \dfrac{4 + 4h + h^2 - 4}{h} = 4 + h$
2. Nombre dérivé et tangente à une courbe
Définition :
On dit que $f$ est dérivable en $a$ lorsque le taux de variation $t(h)$ admet une limite réelle quand $h$ tend vers $0$.
Ce nombre est noté $f'(a)$ (nombre dérivé) : \[ \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} = f'(a) \]
On dit que $f$ est dérivable en $a$ lorsque le taux de variation $t(h)$ admet une limite réelle quand $h$ tend vers $0$.
Ce nombre est noté $f'(a)$ (nombre dérivé) : \[ \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} = f'(a) \]
Exemple :
- Pour $f(x) = 3x+1$ en $2$ : $\lim_{h \to 0} \frac{3(2+h)+1 - 7}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{3h}{h} = 3 \implies f'(2) = 3$.
- Pour $g(x) = x^2$ en $1$ : $\lim_{h \to 0} \frac{(1+h)^2 - 1}{h} = \lim_{h \to 0} (2+h) = 2 \implies g'(1) = 2$.
Exercice 3
Soit $f(x) = x^2 + 4$.
- Établir que pour tout $h \neq 0$, $\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h} = 2+h$.
- En déduire que $f$ est dérivable en $1$ et préciser $f'(1)$.
- $\dfrac{(1+h)^2 + 4 - 5}{h} = \dfrac{1 + 2h + h^2 - 1}{h} = 2 + h$.
- $\lim_{h \to 0} (2+h) = 2$. Donc $f$ est dérivable en $1$ et $f'(1) = 2$.
Tangente à une courbe :
La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A(a ; f(a))$ est la droite de coefficient directeur $f'(a)$.
Son équation réduite est : \[ y = f'(a)(x - a) + f(a) \]
La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A(a ; f(a))$ est la droite de coefficient directeur $f'(a)$.
Son équation réduite est : \[ y = f'(a)(x - a) + f(a) \]
Exercice 4 (Lecture graphique)
On donne les points $A(-2 ; 4)$ et $M(3 ; 1)$ sur une courbe $\mathcal{C}_f$, avec leurs tangentes tracées.
- Donner par lecture graphique $f(3)$, $f(-2)$ et $f(-9)$.
- Donner par lecture graphique $f'(3)$, $f'(-2)$ et $f'(-9)$.
- Donner les équations des tangentes correspondantes.
- $f(3) = 1$, $f(-2) = 4$, $f(-9) = 1$.
- $f'(3) = -1,5$, $f'(-2) = 0,25$, $f'(-9) = 0$ (tangente horizontale au sommet).
-
Tangente en $-2$ : $y = 0{,}25(x + 2) + 4 = 0{,}25x + 4{,}5$
Tangente en $3$ : $y = -1{,}5(x - 3) + 1 = -1{,}5x + 5{,}5$
Tangente en $-9$ : $y = 1$
Exercice 5 (Construction)
Soit $f$ telle que $f'(1) = -4$, $f'(3) = 0$ et $f'(4) = 2$ aux points $A(1 ; 1)$, $B(3 ; -3)$ et $C(4 ; -2)$.
Équations réduites des tangentes :
- En $A(1 ; 1)$ : $y = -4(x - 1) + 1 = -4x + 5$
- En $B(3 ; -3)$ : $y = 0(x - 3) - 3 = -3$ (horizontale)
- En $C(4 ; -2)$ : $y = 2(x - 4) - 2 = 2x - 10$
Exercices Corrigés
Calculer le taux de variation de $f(x)=x^2$ entre $x=2$ et $x=3$.
Calculer $f'(x)$ pour $f(x)=x^2$.
Déterminer $f'(3)$ pour $f(x)=x^2$.
Écrire l’équation de la tangente à $f(x)=x^2$ au point $x=2$.
Pour $f(x)=3x-1$, calculer $f'(x)$.
La tangente à $f(x)=3x-1$ est-elle horizontale ?
Pour $f(x)=frac{1}{x}$, calculer $f'(x)$.
Déterminer $f'(1)$ pour $f(x)=frac{1}{x}$.
Pour $f(x)=x^3$, calculer $f'(x)$.
Déterminer la tangente à $f(x)=x^3$ au point $x=1$.