Variation instantanée — nombre dérivé
Cours
1. Taux de variation
Le taux de variation de $f$ entre $x$ et $x+h$ est :
$$ ext{TV} = frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
Il mesure la variation moyenne de la fonction sur l’intervalle.
2. Nombre dérivé
Le nombre dérivé de $f$ en $x$ est la limite du taux de variation :
$$f'(x) = lim_{h o 0} frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
Il représente la variation instantanée de la fonction.
3. Tangente
La droite tangente au point d’abscisse $x$ a pour équation :
$$y = f(x) + f'(x)(X - x)$$
4. Interprétation
- si $f'(x) > 0$ : la fonction est croissante au voisinage de $x$
- si $f'(x) < 0$ : la fonction est décroissante
- si $f'(x) = 0$ : la tangente est horizontale
5. Applications scientifiques
Le nombre dérivé modélise :
- vitesse instantanée,
- débit instantané,
- taux de croissance instantané,
- variation locale d’un phénomène.
Exercices Corrigés
Calculer le taux de variation de $f(x)=x^2$ entre $x=2$ et $x=3$.
Calculer $f'(x)$ pour $f(x)=x^2$.
Déterminer $f'(3)$ pour $f(x)=x^2$.
Écrire l’équation de la tangente à $f(x)=x^2$ au point $x=2$.
Pour $f(x)=3x-1$, calculer $f'(x)$.
La tangente à $f(x)=3x-1$ est-elle horizontale ?
Pour $f(x)=frac{1}{x}$, calculer $f'(x)$.
Déterminer $f'(1)$ pour $f(x)=frac{1}{x}$.
Pour $f(x)=x^3$, calculer $f'(x)$.
Déterminer la tangente à $f(x)=x^3$ au point $x=1$.