Phénomènes aléatoires — probabilités conditionnelles

1. Identification des données :

• Effectif des élèves aimant les maths : \(n(M) = 12\)
• Effectif des élèves aimant la physique : \(n(Ph) = 8\)
• Effectif des élèves aimant les deux matières : \(n(M \cap Ph) = 5\)

2. Calcul de l'effectif total de la classe (\(N\)) :

Sous l'hypothèse que chaque élève de la classe aime au moins l'une des deux matières (c'est-à-dire \(N = n(M \cup Ph)\)) :

\[ N = n(M) + n(Ph) - n(M \cap Ph) \] \[ N = 12 + 8 - 5 = 15 \text{ élèves} \]

3. Calcul de la probabilité \(P(M \cap Ph)\) :

En situation d'équiprobabilité, la probabilité est donnée par le rapport du nombre de cas favorables sur le nombre de cas possibles :

\[ P(M \cap Ph) = \frac{n(M \cap Ph)}{N} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \]

1. Définition et formule :

La probabilité conditionnelle \(P_{Ph}(M)\) représente la probabilité qu'un élève aime les mathématiques sachant qu'il aime la physique.

\[ P_{Ph}(M) = \frac{P(M \cap Ph)}{P(Ph)} \]

2. Calculs :

Méthode 1 — Par restriction de la population (univers restreint) :

On se concentre uniquement sur la population des élèves qui aiment la physique (\(n(Ph) = 8\)). Parmi ces 8 élèves, 5 aiment également les mathématiques (\(n(M \cap Ph) = 5\)) :

\[ P_{Ph}(M) = \frac{n(M \cap Ph)}{n(Ph)} = \frac{5}{8} \]

Méthode 2 — Par le calcul des probabilités :

En se basant sur un univers de \(N = 15\) élèves :

• \(P(Ph) = \frac{n(Ph)}{N} = \frac{8}{15}\)
• \(P(M \cap Ph) = \frac{5}{15}\)

\[ P_{Ph}M) = \frac{\frac{5}{15}}{\frac{8}{15}} = \frac{5}{15} \times \frac{15}{8} = \frac{5}{8} \]

1. Rappel de la propriété du chemin dans un arbre :

Dans un arbre pondéré, la probabilité de l'événement représenté par un chemin correspond au produit des probabilités portées par ses branches.

\[ P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) \]

2. Application numérique :

On donne \(P(A) = 0{,}4\) et \(P_A(B) = 0{,}3\) :

\[ P(A \cap B) = 0{,}4 \times 0{,}3 = 0{,}12 \]

1. Rappel de la propriété d'indépendance :

Deux événements \(A\) et \(B\) sont dits indépendants si et seulement si :

\[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \]

2. Calcul du produit des probabilités :

\[ P(A) \times P(B) = 0{,}5 \times 0{,}2 = 0{,}10 = 0{,}1 \]

3. Comparaison et conclusion :

On constate que :

\[ P(A \cap B) = 0{,}1 \quad \text{et} \quad P(A) \times P(B) = 0{,}1 \]

Comme \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\), l'égalité est vérifiée.

1. Rappel de la règle des nœuds :

La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est égale à 1.

2. Calcul des probabilités complémentaires :

• Branche principale inférieure :
  \(P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}6 = \mathbf{0{,}4}\)
• Branche issue de \(A\) :
  \(P_A(\overline{B}) = 1 - P_A(B) = 1 - 0{,}4 = \mathbf{0{,}6}\)
• Branche issue de \(\overline{A}\) :
  \(P_{\overline{A}}(\overline{B}) = 1 - P_{\overline{A}}(B) = 1 - 0{,}1 = \mathbf{0{,}9}\)

3. Récapitulatif des probabilités des chemins :

• \(P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) = 0{,}6 \times 0{,}4 = 0{,}24\)
• \(P(A \cap \overline{B}) = P(A) \times P_A(\overline{B}) = 0{,}6 \times 0{,}6 = 0{,}36\)
• \(P(\overline{A} \cap B) = P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(B) = 0{,}4 \times 0{,}1 = 0{,}04\)
• \(P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(\overline{B}) = 0{,}4 \times 0{,}9 = 0{,}36\)

En conclusion :

Les événements \(A\) et \(\overline{A}\) forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales :

\[ P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B) \]

\[ P(B) = P(A) \times P_A(B) + P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(B) \]

2. Calcul préalable de \(P(\overline{A})\) :

\[ P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4 \]

3. Application numérique :

\[ P(B) = 0{,}6 \times 0{,}4 + 0{,}4 \times 0{,}1 \]

\[ P(B) = 0{,}24 + 0{,}04 = 0{,}28 \]

1. Formule des probabilités totales :

Les événements \(M\) et \(\overline{M}\) forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales :

\[ P(Pos) = P(M \cap Pos) + P(\overline{M} \cap Pos) \]

\[ P(Pos) = P(M) \times P_M(Pos) + P(\overline{M}) \times P_{\overline{M}}(Pos) \]

2. Calcul préalable de \(P(\overline{M})\) :

\[ P(\overline{M}) = 1 - P(M) = 1 - 0{,}1 = 0{,}9 \]

3. Application numérique :

\[ P(Pos) = 0{,}1 \times 0{,}9 + 0{,}9 \times 0{,}05 \]

\[ P(Pos) = 0{,}09 + 0{,}045 = 0{,}135 \]

1. Formule de la probabilité conditionnelle :

D'après la définition d'une probabilité conditionnelle :

\[ P_{Pos}(M) = \frac{P(M \cap Pos)}{P(Pos)} \]

2. Rappel des données et calculs précédents :

• \(P(M \cap Pos) = P(M) \times P_M(Pos) = 0{,}1 \times 0{,}9 = 0{,}09\)
• \(P(Pos) = 0{,}135\) (calculé à la question précédente)

3. Application numérique :

\[ P_{Pos}(M) = \frac{0{,}09}{0{,}135} = \frac{90}{135} = \frac{2}{3} \]

1. Rappel de la propriété :

La somme de la probabilité d'un événement et de celle de son événement contraire est toujours égale à 1 :

\[ P(\overline{A}) = 1 - P(A) \]

2. Application numérique :

On donne \(P(A) = 0{,}3\) :

\[ P(\overline{A}) = 1 - 0{,}3 = 0{,}7 \]

1. Rappel de l'axiome fondamental des probabilités :

Pour tout événement \(E\), sa probabilité appartient obligatoirement à l'intervalle \([0 ; 1]\) :

\[ 0 \le P(E) \le 1 \]

La probabilité de l'univers tout entier \(\Omega\) (probabilité totale de tous les chemins disjoints de l'arbre) doit être exactement égale à 1 :

\[ P(\Omega) = 1 \]

2. Interprétation du résultat \(1{,}2\) :

Comme \(1{,}2 > 1\), ce résultat est mathématiquement impossible. Il signale nécessairement une erreur dans la construction ou le calcul de l'arbre :

• Une des branches contient une probabilité erronée (ex: somme des branches issues d'un nœud \(\neq 1\)).
• Des effectifs ont été utilisés à la place de probabilités.
• Une erreur de calcul a été commise lors de l'addition des chemins.