Phénomènes aléatoires — probabilités conditionnelles
Cours
1. Tableaux croisés
Un tableau croisé présente les effectifs correspondant aux combinaisons de deux événements.
Exemple :
| A | B | |
|---|---|---|
| Homme | 12 | 8 |
| Femme | 15 | 5 |
2. Arbres pondérés
Un arbre pondéré permet de représenter les probabilités successives :
La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités rencontrées.
La probabilité d’un événement est la somme des chemins qui mènent à cet événement.
3. Probabilité conditionnelle
La probabilité de B sachant A est :
$$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$$
Elle mesure la probabilité que B se réalise sachant que A est déjà réalisé.
4. Indépendance
Deux événements A et B sont indépendants si :
$$P(A \cap B) = P(A)P(B)$$
5. Applications scientifiques
Les probabilités conditionnelles interviennent dans :
- analyse de données,
- diagnostic médical,
- fiabilité des systèmes,
- phénomènes aléatoires en physique.
Exercices Corrigés
Dans une classe : 12 élèves aiment les maths, 8 aiment la physique, 5 aiment les deux. Calculer $P(M \cap P)$.
Dans la même classe, calculer $P(P|M)$.
Un arbre pondéré donne : $P(A)=0{,}4$, $P(B|A)=0{,}3$. Calculer $P(A \cap B)$.
Deux événements vérifient $P(A)=0{,}5$, $P(B)=0{,}2$ et $P(A \cap B)=0{,}1$. Sont-ils indépendants ?
Compléter un arbre pondéré avec $P(A)=0{,}6$, $P(B|A)=0{,}4$, $P(B|\bar{A})=0{,}1$.
Calculer $P(B)$ avec les données précédentes.
Un test médical : $P(M)=0{,}1$, $P(Pos|M)=0{,}9$, $P(Pos|\bar{M})=0{,}05$. Calculer $P(Pos)$.
Calculer $P(M|Pos)$ avec les données précédentes.
Un événement a une probabilité de 0,3. Quelle est la probabilité de son complément ?
Un arbre pondéré montre une probabilité totale de 1,2. Que conclure ?