Fonctions continues et limites

On met en évidence \(x\) au numérateur et au dénominateur : \[ \frac{3-x}{4+x} = \frac{x\left(\frac{3}{x}-1\right)}{x\left(\frac{4}{x}+1\right)} = \frac{\frac{3}{x}-1}{\frac{4}{x}+1}. \] Lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), on a : \[ \frac{3}{x} \to 0 \quad \text{et} \quad \frac{4}{x} \to 0. \] Donc : \[ \frac{3}{x}-1 \to -1 \quad \text{et} \quad \frac{4}{x}+1 \to 1. \] La limite est : \[ \frac{-1}{1} = -1. \]

Conclusion : \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{3-x}{4+x} = -1.\)

On met en évidence \(x^2\) au numérateur et au dénominateur : \[ \frac{x^2-3x+2}{2x^2+1} = \frac{x^2\left(1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}\right)}{x^2\left(2+\frac{1}{x^2}\right)} = \frac{1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}{2+\frac{1}{x^2}}. \] Lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), on a : \[ \frac{3}{x} \to 0, \quad \frac{2}{x^2} \to 0, \quad \frac{1}{x^2} \to 0. \] Donc : \[ 1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2} \to 1, \quad 2+\frac{1}{x^2} \to 2. \] La limite est : \[ \frac{1}{2}. \]

Conclusion : \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{x^2-3x+2}{2x^2+1} = \frac{1}{2}.\)

On met en évidence \(x^2\) au numérateur et au dénominateur : \[ \frac{x^2+5x-7}{x^2+3x-1} = \frac{x^2\left(1+\frac{5}{x}-\frac{7}{x^2}\right)}{x^2\left(1+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}\right)} = \frac{1+\frac{5}{x}-\frac{7}{x^2}}{1+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}}. \] Lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), on a : \[ \frac{5}{x} \to 0, \quad \frac{7}{x^2} \to 0, \quad \frac{3}{x} \to 0, \quad \frac{1}{x^2} \to 0. \] Donc : \[ 1+\frac{5}{x}-\frac{7}{x^2} \to 1, \quad 1+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2} \to 1. \] La limite est : \[ 1. \]

Conclusion : \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{x^2+5x-7}{x^2+3x-1} = 1.\)

On met en évidence \(x^2\) au numérateur et \(x\) au dénominateur : \[ \frac{4x^2+7x-9}{x-1} = \frac{x^2\left(4+\frac{7}{x}-\frac{9}{x^2}\right)}{x\left(1-\frac{1}{x}\right)} = x \cdot \frac{4+\frac{7}{x}-\frac{9}{x^2}}{1-\frac{1}{x}}. \] Lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), on a : \[ \frac{7}{x} \to 0, \quad \frac{9}{x^2} \to 0, \quad \frac{1}{x} \to 0. \] Donc : \[ 4+\frac{7}{x}-\frac{9}{x^2} \to 4, \quad 1-\frac{1}{x} \to 1. \] Le quotient entre parenthèses tend vers 4, et le facteur \(x\) tend vers \(+\infty\). Le produit tend vers \(+\infty\).

Conclusion : \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{4x^2+7x-9}{x-1} = +\infty.\)

On multiplie par le conjugué : \[ \sqrt{x+2}-\sqrt{x-1} = \frac{(x+2)-(x-1)}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x-1}} = \frac{3}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x-1}}. \] Lorsque \(x\to +\infty\), on a : \[ \sqrt{x+2}+\sqrt{x-1} \sim 2\sqrt{x} \to +\infty. \] Donc : \[ \frac{3}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x-1}} \to 0. \] Conclusion : la limite vaut 0.

On multiplie par le conjugué : \[ \sqrt{x^2+3x+1}-\sqrt{2x^2+x+1} = \frac{(x^2+3x+1)-(2x^2+x+1)}{\sqrt{x^2+3x+1}+\sqrt{2x^2+x+1}}. \] On simplifie le numérateur : \[ (x^2+3x+1)-(2x^2+x+1) = -x^2 + 2x. \] Donc : \[ \frac{-x^2+2x}{\sqrt{x^2+3x+1}+\sqrt{2x^2+x+1}}. \] On met \(x^2\) en facteur : \[ = \frac{x^2(-1+\frac{2}{x})}{x\left(\sqrt{1+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}\right)} = x\cdot \frac{-1+\frac{2}{x}}{\sqrt{1+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}}. \] Lorsque \(x\to +\infty\) : \[ -1+\frac{2}{x} \to -1, \qquad \sqrt{1+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}} \to 1, \qquad \sqrt{2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}} \to \sqrt{2}. \] Donc le dénominateur tend vers \(1+\sqrt{2}\). Le facteur \(x\) tend vers \(+\infty\). Le produit tend vers \(-\infty\).

Conclusion : la limite vaut \(-\infty\).

On multiplie par le conjugué : \[ \sqrt{3-x}-\sqrt{x^2-3} = \frac{(3-x)-(x^2-3)}{\sqrt{3-x}+\sqrt{x^2-3}} = \frac{-x^2 - x + 6}{\sqrt{3-x}+\sqrt{x^2-3}}. \] On met en évidence \(x^2\) au numérateur : \[ -x^2 - x + 6 = x^2\left(-1 - \frac{1}{x} + \frac{6}{x^2}\right). \] Au dénominateur : \[ \sqrt{x^2-3} = |x|\sqrt{1-\frac{3}{x^2}}. \] Comme \(x\to -\infty\), on a \(|x|=-x\). Donc : \[ \sqrt{x^2-3} = -x\sqrt{1-\frac{3}{x^2}}. \] Le dénominateur est équivalent à : \[ \sqrt{3-x} + (-x) \sim -x. \] Donc : \[ \frac{x^2(-1 - \frac{1}{x} + \frac{6}{x^2})}{-x} = -x\left(-1 - \frac{1}{x} + \frac{6}{x^2}\right). \] Lorsque \(x\to -\infty\) : \[ -x \to +\infty, \qquad -1 - \frac{1}{x} + \frac{6}{x^2} \to -1. \] Le produit tend vers \(-\infty\).

Conclusion : la limite vaut \(-\infty\).

On multiplie par le conjugué : \[ \sqrt{5-x}-\sqrt{10-x} = \frac{(5-x)-(10-x)}{\sqrt{5-x}+\sqrt{10-x}} = \frac{-5}{\sqrt{5-x}+\sqrt{10-x}}. \] Lorsque \(x\to -\infty\), on a : \[ \sqrt{5-x} \sim \sqrt{-x}, \qquad \sqrt{10-x} \sim \sqrt{-x}. \] Donc : \[ \sqrt{5-x}+\sqrt{10-x} \sim 2\sqrt{-x} \to +\infty. \] Donc : \[ \frac{-5}{\sqrt{5-x}+\sqrt{10-x}} \to 0. \]

Conclusion : la limite vaut 0.

On met en évidence \(x^2\) : \[ \frac{2x^2-5x+3}{3x^2+4x-1} = \frac{x^2\left(2-\frac{5}{x}+\frac{3}{x^2}\right)} {x^2\left(3+\frac{4}{x}-\frac{1}{x^2}\right)} = \frac{2-\frac{5}{x}+\frac{3}{x^2}}{3+\frac{4}{x}-\frac{1}{x^2}}. \] Lorsque \(x\to +\infty\), tous les termes en \(\frac{1}{x}\) et \(\frac{1}{x^2}\) tendent vers 0 : \[ \frac{2}{3}. \]

Conclusion : la limite vaut \(\displaystyle \frac{2}{3}\).

On met en évidence \(x\) dans la racine : \[ \sqrt{x^2+1} = x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}. \] Donc : \[ \frac{\sqrt{x^2+1}}{2x+3} = \frac{x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{x\left(2+\frac{3}{x}\right)} = \frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{2+\frac{3}{x}}. \] Lorsque \(x\to +\infty\) : \[ \sqrt{1+\frac{1}{x^2}} \to 1, \qquad 2+\frac{3}{x} \to 2. \] Donc la limite vaut : \[ \frac{1}{2}. \]

Conclusion : la limite vaut \(\displaystyle \frac{1}{2}\).

On utilise le conjugué : \[ \sqrt{x^2+3}-\sqrt{x^2+1} = \frac{(x^2+3)-(x^2+1)}{\sqrt{x^2+3}+\sqrt{x^2+1}} = \frac{2}{\sqrt{x^2+3}+\sqrt{x^2+1}}. \] On met en évidence \(x\) : \[ \sqrt{x^2+3} = x\sqrt{1+\frac{3}{x^2}}, \qquad \sqrt{x^2+1} = x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}. \] Donc : \[ \frac{2}{x\left(\sqrt{1+\frac{3}{x^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}\right)}. \] Lorsque \(x\to +\infty\), les racines tendent vers 1 : \[ \frac{2}{x(1+1)} = \frac{1}{x} \to 0. \]

Conclusion : la limite vaut 0.

On utilise le conjugué : \[ \sqrt{x^2+3}-\sqrt{x+1} = \frac{(x^2+3)-(x+1)}{\sqrt{x^2+3}+\sqrt{x+1}} = \frac{x^2-x+2}{\sqrt{x^2+3}+\sqrt{x+1}}. \] On met en évidence \(x^2\) au numérateur : \[ x^2-x+2 = x^2\left(1-\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}\right). \] Et \(x\) au dénominateur : \[ \sqrt{x^2+3} = x\sqrt{1+\frac{3}{x^2}}, \qquad \sqrt{x+1} = \sqrt{x}\sqrt{1+\frac{1}{x}}. \] Le terme dominant du dénominateur est \(x\). Donc : \[ \frac{x^2(1-\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2})}{x(\sqrt{1+\frac{3}{x^2}}+\frac{\sqrt{x}}{x}\sqrt{1+\frac{1}{x}})} = x \cdot \frac{1-\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}}{\sqrt{1+\frac{3}{x^2}}+\frac{1}{\sqrt{x}}\sqrt{1+\frac{1}{x}}}. \] Lorsque \(x\to +\infty\) : \[ 1-\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2} \to 1, \qquad \sqrt{1+\frac{3}{x^2}} \to 1, \qquad \frac{1}{\sqrt{x}}\sqrt{1+\frac{1}{x}} \to 0. \] Donc : \[ x\cdot \frac{1}{1+0} = x \to +\infty. \]

Conclusion : la limite vaut \(+\infty\).

On écrit : \[ \frac{x}{e^x} = x\cdot e^{-x}. \] Par croissance comparée, \(e^x\) croît plus vite que toute puissance de \(x\), donc : \[ x e^{-x} \to 0. \] Conclusion : la limite vaut 0.

On décompose : \[ \frac{e^x}{7+2x} = \frac{e^x}{x} \times \frac{x}{7+2x}. \] Par croissance comparée : \[ \frac{e^x}{x} \to +\infty. \] Et : \[ \frac{x}{7+2x} = \frac{x}{2x\left(1+\frac{7}{2x}\right)} = \frac{1}{2\left(1+\frac{7}{2x}\right)} \to \frac{1}{2}. \] Donc : \[ \frac{e^x}{7+2x} \to +\infty. \] Conclusion : la limite vaut \(+\infty\).

On décompose comme tu le souhaites : \[ \frac{e^{5x}}{3x-2} = \frac{e^{5x}}{5x} \times \frac{5x}{3x-2}. \] Par croissance comparée : \[ \frac{e^{5x}}{5x} \to +\infty. \] Et : \[ \frac{5x}{3x-2} = \frac{5x}{3x\left(1-\frac{2}{3x}\right)} = \frac{5}{3\left(1-\frac{2}{3x}\right)} \to \frac{5}{3}. \] Donc : \[ \frac{e^{5x}}{3x-2} \to +\infty. \] Conclusion : la limite vaut \(+\infty\).

On peut écrire : \[ (x+5)e^{2x} = (x+5)\times e^{2x}. \] Par croissance comparée, \(e^{2x}\) croît plus vite que toute puissance de \(x\). Donc le produit tend vers \(+\infty\). Conclusion : la limite vaut \(+\infty\).

On met en évidence \(x\) : \[ \sqrt{x^2+1} = x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}. \] Donc : \[ \sqrt{x^2+1}\,e^{-x} = x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}\,e^{-x} = \left(x e^{-x}\right)\times \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}. \] Par croissance comparée : \[ x e^{-x} \to 0, \qquad \sqrt{1+\frac{1}{x^2}} \to 1. \] Donc : \[ \sqrt{x^2+1}\,e^{-x} \to 0. \] Conclusion : la limite vaut 0.

On pose \(t=\sqrt{x}\), alors \(t\to+\infty\) quand \(x\to+\infty\). L’expression devient : \[ (3-t)e^{-t} = 3e^{-t} - t e^{-t}. \] Par croissance comparée : \[ 3e^{-t} \to 0, \qquad t e^{-t} \to 0. \] Donc : \[ (3-\sqrt{x})e^{-\sqrt{x}} \to 0. \] Conclusion : la limite vaut 0.

Au voisinage de \(2\) : \[ 3x-5 \xrightarrow[x\to 2]{} 1 > 0, \qquad x-2 \xrightarrow[x\to 2^-]{} 0^-. \] Donc le quotient est positif sur un dénominateur négatif très petit : \[ \dfrac{3x-5}{x-2} \to -\infty. \] Conclusion : \(\displaystyle \lim_{\substack{x \rightarrow 2 \\ x<2}} \dfrac{3x-5}{x-2} = -\infty.\)

Au voisinage de \(3\) : \[ x-9 \xrightarrow[x\to 3]{} -6 < 0, \qquad x-3 \xrightarrow[x\to 3^+]{} 0^+. \] Quotient négatif sur un dénominateur positif très petit : \[ \dfrac{x-9}{x-3} \to -\infty. \] Conclusion : \(\displaystyle \lim_{\substack{x \rightarrow 3 \\ x>3}} \dfrac{x-9}{x-3} = -\infty.\)

On factorise le dénominateur : \[ 2x^2-9x-5 = (2x+1)(x-5). \] Au voisinage de \(5\) : \[ x^2+x+1 \xrightarrow[x\to 5]{} 31 > 0, \quad 2x+1 \xrightarrow[x\to 5]{} 11 > 0, \quad x-5 \xrightarrow[x\to 5^-]{} 0^-. \] Donc le dénominateur est négatif et tend vers 0 : \[ \dfrac{x^2+x+1}{2x^2-9x-5} \to -\infty. \] Conclusion : \(\displaystyle \lim_{\substack{x \rightarrow 5 \\ x<5}} \dfrac{x^2+x+1}{2x^2-9x-5} = -\infty.\)

On factorise : \[ 3x^2-5x+2 = (3x-2)(x-1), \qquad x^2+8x-9 = (x-1)(x+9). \] Pour \(x\neq 1\) : \[ \dfrac{3x^2-5x+2}{x^2+8x-9} = \dfrac{3x-2}{x+9}. \] Donc : \[ \lim_{\substack{x \rightarrow 1 \\ x>1}} \dfrac{3x^2-5x+2}{x^2+8x-9} = \dfrac{3\cdot 1 - 2}{1 + 9} = \dfrac{1}{10}. \] Conclusion : \(\displaystyle \lim_{\substack{x \rightarrow 1 \\ x>1}} \dfrac{3x^2-5x+2}{x^2+8x-9} = \dfrac{1}{10}.\)

On factorise le dénominateur : \[ x^2+2x-8 = (x-2)(x+4). \] Au voisinage de \(2\) : \[ 3x-5 \xrightarrow[x\to 2]{} 1 > 0, \quad x+4 \xrightarrow[x\to 2]{} 6 > 0, \quad x-2 \xrightarrow[x\to 2^+]{} 0^+. \] Donc le dénominateur est positif et tend vers 0 : \[ \dfrac{3x-5}{x^2+2x-8} \to +\infty. \] Conclusion : \(\displaystyle \lim_{\substack{x \rightarrow 2 \\ x>2}} \dfrac{3x-5}{x^2+2x-8} = +\infty.\)

On factorise : \[ 2x^2+3x+1 = (2x+1)(x+1), \] \[ -5x^2-x+4 = -(5x^2+x-4) = -(5x-4)(x+1). \] Pour \(x\neq -1\) : \[ \dfrac{2x^2+3x+1}{-5x^2-x+4} = \dfrac{(2x+1)(x+1)}{-(5x-4)(x+1)} = -\dfrac{2x+1}{5x-4}. \] Donc : \[ \lim_{\substack{x \rightarrow -1 \\ x<-1}} \dfrac{2x^2+3x+1}{-5x^2-x+4} = -\dfrac{2(-1)+1}{5(-1)-4} = -\dfrac{-1}{-9} = -\dfrac{1}{9}. \] Conclusion : \(\displaystyle \lim_{\substack{x \rightarrow -1 \\ x<-1}} \dfrac{2x^2+3x+1}{-5x^2-x+4} = -\dfrac{1}{9}.\)

On sait que : \[ -1 \le \sin x \le 1. \] Donc : \[ 0 \le 1-\sin x \le 2. \] En divisant par \(x^2\) (positif) : \[ 0 \le \frac{1-\sin x}{x^2} \le \frac{2}{x^2}. \] Or : \[ \frac{2}{x^2} \xrightarrow[x\to+\infty]{} 0. \] Par le théorème des gendarmes : \[ \frac{1-\sin x}{x^2} \to 0. \] Conclusion : la limite vaut \(0\).

On sait que : \[ -1 \le \cos x \le 1. \] Donc : \[ -e^x \le \cos(x)e^x \le e^x. \] Or : \[ e^x \xrightarrow[x\to -\infty]{} 0. \] Par le théorème des gendarmes : \[ \cos(x)e^x \to 0. \] Conclusion : la limite vaut \(0\).

On sait que : \[ -1 \le \sin x \le 1. \] Donc : \[ x^2 - 1 \le x^2 - \sin x \le x^2 + 1. \] Or : \[ x^2 - 1 \to +\infty \qquad\text{et}\qquad x^2 + 1 \to +\infty. \] Par comparaison : \[ x^2 - \sin x \to +\infty. \] Conclusion : la limite vaut \(+\infty\).

On sait que : \[ -1 \le \sin x \le 1. \] Donc : \[ x - 7 \le x - 7\sin x \le x + 7. \] Pour \(x\to+\infty\), ces trois expressions sont équivalentes à \(x\). On encadre : \[ \frac{4x+3}{x+7} \le \frac{4x+3}{x-7\sin x} \le \frac{4x+3}{x-7}. \] Calculons les limites des extrêmes :

• \(\displaystyle \frac{4x+3}{x+7} = \frac{4 + \frac{3}{x}}{1 + \frac{7}{x}} \to 4.\)
• \(\displaystyle \frac{4x+3}{x-7} = \frac{4 + \frac{3}{x}}{1 - \frac{7}{x}} \to 4.\)

Par le théorème des gendarmes : \[ \frac{4x+3}{x-7\sin x} \to 4. \] Conclusion : la limite vaut \(4\).

On utilise le taux d’accroissement : \[ \frac{e^x-1}{x} \to 1 \qquad\text{et}\qquad \frac{e^{2x}-1}{2x} \to 1. \] On réécrit la limite sous forme d’un produit : \[ \frac{e^x-1}{e^{2x}-1} = \frac{\frac{e^x-1}{x}}{\frac{e^{2x}-1}{2x}} \times \frac{x}{2x} = \frac{\frac{e^x-1}{x}}{\frac{e^{2x}-1}{2x}} \times \frac12. \] En passant à la limite : \[ \frac{e^x-1}{e^{2x}-1} \longrightarrow \frac{1}{1} \times \frac12 = \frac12. \] Conclusion : la limite vaut \(\displaystyle \frac12\).

On pose \(u = x-1\). Lorsque \(x\to 1^-\), on a \(u\to 0^-\). La limite devient : \[ \frac{2e^{u}}{e^{u}-1}. \] On met en évidence le taux d’accroissement : \[ \frac{2e^{u}}{e^{u}-1} = 2 \times \frac{e^{u}}{e^{u}-1} = 2 \times \left( \frac{e^{u}-1}{e^{u}-1} + \frac{1}{e^{u}-1} \right) = 2 \times \left( 1 + \frac{1}{e^{u}-1} \right). \] On transforme le second terme **sans approximation** : \[ \frac{1}{e^{u}-1} = \frac{1}{u} \times \frac{u}{e^{u}-1}. \] Or : \[ \frac{u}{e^{u}-1} = \left(\frac{e^{u}-1}{u}\right)^{-1} \longrightarrow 1^{-1} = 1. \] Donc : \[ \frac{1}{e^{u}-1} \sim \frac{1}{u}. \] Or, \[ \frac{1}{u} \to -\infty. \] Ainsi, par produit de limites, on obtient : \[ 2\left(1 + \frac{1}{e^{u}-1}\right) \longrightarrow 2(1 + (-\infty)) = -\infty. \] Conclusion : la limite vaut \(-\infty\).

La limite de \(f(x)\) est finie lorsque \(x\to+\infty\). Donc le graphe de \(f\) admet une asymptote horizontale d’équation : \[ y = 3. \]

La fonction diverge vers \(-\infty\) lorsque \(x\) s’approche de \(3\). Donc le graphe de \(f\) admet une asymptote verticale d’équation : \[ x = 3. \]

La limite est infinie lorsque \(x\to-\infty\). Il n’y a donc aucune asymptote horizontale à gauche.

La fonction diverge vers \(+\infty\) lorsque \(x\) approche \(0\) par la gauche. Donc le graphe de \(f\) admet une asymptote verticale d’équation : \[ x = 0. \]

La limite est finie lorsque \(x\to-\infty\). Donc le graphe de \(f\) admet une asymptote horizontale d’équation : \[ y = 0. \]

La fonction diverge vers \(-\infty\) lorsque \(x\to 1\). Donc le graphe de \(f\) admet une asymptote verticale d’équation : \[ x = 1. \]

La limite est finie lorsque \(x\to+\infty\). Donc le graphe de \(f\) admet une asymptote horizontale d’équation : \[ y = 10^{100}. \]

La limite est finie en \(x=1\). Donc le graphe de \(f\) n’admet aucune asymptote en ce point.

Une asymptote verticale en \(x = 1\) signifie que lorsque \(x\) s’approche de \(1\), la fonction \(f\) diverge. Ainsi, les limites possibles sont : \[ \lim_{x\to 1^-} f(x) = +\infty,\quad -\infty \qquad\text{ou}\qquad \lim_{x\to 1^+} f(x) = +\infty,\quad -\infty. \]

Une asymptote horizontale d’équation \(y=-2\) signifie que : \[ \lim_{x\to+\infty} f(x) = -2 \quad\text{ou}\quad \lim_{x\to-\infty} f(x) = -2. \]

Une asymptote horizontale d’équation \(y=4\) signifie que : \[ \lim_{x\to+\infty} f(x) = 4 \quad\text{ou}\quad \lim_{x\to-\infty} f(x) = 4. \]

Une asymptote verticale en \(x=0\) signifie que lorsque \(x\) s’approche de \(0\), la fonction diverge. Les limites possibles sont : \[ \lim_{x\to 0^-} f(x) = +\infty,\ -\infty \qquad\text{ou}\qquad \lim_{x\to 0^+} f(x) = +\infty,\ -\infty. \]

Une asymptote verticale en \(x=-3\) signifie que lorsque \(x\) s’approche de \(-3\), la fonction diverge. Les limites possibles sont : \[ \lim_{x\to -3^-} f(x) = +\infty,\ -\infty \qquad\text{ou}\qquad \lim_{x\to -3^+} f(x) = +\infty,\ -\infty. \]

Une asymptote horizontale d’équation \(y=0\) signifie que : \[ \lim_{x\to+\infty} f(x) = 0 \quad\text{ou}\quad \lim_{x\to-\infty} f(x) = 0. \]

Limites à l’infini :
On factorise par \(x^2\) : \[ g(x)=\frac{-3 + \frac{5}{x^2}}{1 - \frac{4}{x^2}}. \] Lorsque \(x\to\pm\infty\), les termes \(\frac{5}{x^2}\) et \(\frac{4}{x^2}\) tendent vers 0. Donc : \[ \lim_{x\to\pm\infty} g(x) = -3. \] Limites en \(-2\) et en \(2\) :
Le dénominateur s’annule : \[ x^2 - 4 = (x-2)(x+2). \] Le numérateur vaut : \[ -3x^2 + 5 = -3(4) + 5 = -7 \quad\text{en } x=\pm 2. \] Donc le numérateur est négatif. • Lorsque \(x\to 2^-\), \(x-2<0\) et \(x+2>0\) donc le dénominateur est négatif : \[ g(x)\to +\infty. \] • Lorsque \(x\to 2^+\), le dénominateur est positif : \[ g(x)\to -\infty. \] • Lorsque \(x\to -2^-\), le dénominateur est positif : \[ g(x)\to -\infty. \] • Lorsque \(x\to -2^+\), le dénominateur est négatif : \[ g(x)\to +\infty. \]

Asymptotes verticales :
Les limites sont infinies en \(x=2\) et en \(x=-2\). Donc \(\mathscr{C}\) admet deux asymptotes verticales : \[ x = 2 \qquad\text{et}\qquad x = -2. \] Asymptote horizontale :
La limite à l’infini vaut \(-3\). Donc \(\mathscr{C}\) admet une asymptote horizontale : \[ y = -3. \]

On étudie le signe de : \[ g(x) + 3 = \frac{-3x^2 + 5}{x^2 - 4} + 3. \] On met au même dénominateur : \[ g(x) + 3 = \frac{-3x^2 + 5 + 3(x^2 - 4)}{x^2 - 4} = \frac{-3x^2 + 5 + 3x^2 - 12}{x^2 - 4} = \frac{-7}{x^2 - 4}. \] Ainsi : \[ g(x) - (-3) = g(x) + 3 = \frac{-7}{x^2 - 4}. \] • Si \(x^2 - 4 > 0\) (c’est-à-dire \(x < -2\) ou \(x > 2\)), alors : \[ g(x) + 3 < 0 \quad\Rightarrow\quad g(x) < -3. \] • Si \(x^2 - 4 < 0\) (c’est-à-dire \(-2 < x < 2\)), alors : \[ g(x) + 3 > 0 \quad\Rightarrow\quad g(x) > -3. \] Conclusion :
La courbe \(\mathscr{C}\) est :

• au-dessus de l’asymptote horizontale \(y=-3\) sur l’intervalle \((-2,\,2)\),
• en dessous de l’asymptote horizontale \(y=-3\) pour \(x<-2\) et \(x>2\).