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Inégalité de Tchebychev et loi des grands nombres

Cours

Fiche Loi des grands nombres – Terminale Spé

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Linéarité de l'espérance

Pour deux variables aléatoires $ X $ et $ Y $ :

\[ E(X+Y)=E(X)+E(Y) \]

Pour tout réel $ a $ :

\[ E(aX)=aE(X) \]

Variance d'une variable aléatoire

Pour tout réel $ a $ : \[ V(aX)=a^2V(X),\qquad \sigma(aX)=|a|\sigma(X). \]
Si $ X $ et $ Y $ sont indépendantes : \[ V(X+Y)=V(X)+V(Y). \]

Interprétation

Maria hésite entre des menus à 18€, 24€, 36€. Sara hésite entre 24€ et 36€.

On note $ X $ et $ Y $ les prix choisis. Alors : \[ E(X)=26,\qquad E(Y)=30,\qquad E(X+Y)=56. \]

Si Maria va 5 fois au restaurant : \[ E(5X)=5E(X)=130. \]

Variance : \[ V(X)=56,\qquad V(5X)=25\times56=1400,\qquad \sigma(5X)\approx37.42. \]

On peut dire que Maria paiera environ 130€ avec une marge d’erreur d’environ 37.42€.

Somme et moyenne de variables indépendantes

Pour $ X_1,\dots,X_n $ indépendantes :

\[ S_n=X_1+\cdots+X_n,\qquad M_n=\frac{S_n}{n} \]

\[ E(S_n)=\sum_{k=1}^n E(X_k),\qquad V(S_n)=\sum_{k=1}^n V(X_k) \]
\[ E(M_n)=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n E(X_k),\qquad V(M_n)=\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n V(X_k) \]

Inégalité de Markov

Pour une variable aléatoire positive :

\[ P(X\ge a)\le\frac{E(X)}{a},\qquad a>0. \]

Inégalité de Bienaymé–Tchebychev

Pour une variable aléatoire d’espérance $ \mu $ et variance $ V(X) $ :

\[ P(|X-\mu|\ge\delta)\le\frac{V(X)}{\delta^2}. \]

En particulier :

\[ P(|X-\mu|\ge2\sigma)\le\frac{1}{4}. \]

Loi des grands nombres

Pour $ X_1,\dots,X_n $ indépendantes, de même loi, d’espérance $ \mu $ :

\[ \lim_{n\to+\infty} P\left( \left| \frac{X_1+\cdots+X_n}{n}-\mu \right| \ge\delta \right)=0. \]

La moyenne empirique converge vers l’espérance.

Inégalité de concentration

Pour $ X_1,\dots,X_n $ indépendantes, de même loi, d’espérance $ \mu $ et variance $ \sigma^2 $ :

\[ P\left( \left| \frac{X_1+\cdots+X_n}{n}-\mu \right| \ge\delta \right) \le \frac{\sigma^2}{n\delta^2}. \]

Exercices Corrigés

Une variable aléatoire $X$ a pour espérance $E(X)=10$ et variance $V(X)=20$. Rappeler ces deux valeurs et leur signification.

Avec $E(X)=10$ et $V(X)=20$, appliquer l'inégalité de Tchebychev pour majorer $P(|X-10|\geq5)$.

On considère $n$ variables i.i.d. d'espérance $\mu$ et variance $\sigma^2$. Donner $E(M_n)$ et $V(M_n)$.

Une pièce a $p=0{,}5$. Déterminer $n$ pour que $P(|M_n-0{,}5|\geq0{,}05) \leq 0{,}1$.

Soit $X \sim \mathcal{B}(100;0{,}3)$. Calculer $E(X)$, $V(X)$, puis majorer $P(|X-30|\geq10)$.

Soit $X$ d'écart-type $\sigma$. Majorer $P(|X-E(X)|\geq2\sigma)$.

$X$ et $Y$ indépendantes avec $E(X)=5$, $E(Y)=3$, $V(X)=2$, $V(Y)=4$. Donner $E(X+Y)$ et $V(X+Y)$.

On simule 1000 lancers d'un dé équilibré. La fréquence du 6 se rapproche de $1/6$. Quel résultat cela illustre-t-il ?

Expliquer pourquoi $V(X)=0$ signifie que $X$ ne s'écarte presque jamais de son espérance.

Soit $X$ d'espérance 50 et variance 16. Donner un intervalle centré en 50 contenant $X$ avec probabilité ≥ 0,75.

QCM notés

QCM noté — Inégalité de Tchebychev et loi des grands nombres 10 questions · ⏱ 20 min

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