Inégalité de Tchebychev et loi des grands nombres

L'Espérance : \( E(X) = 10 \)

Rappel : L'espérance mathématique d'une variable aléatoire représente sa valeur moyenne théorique.

Signification : Si l'on répète l'expérience aléatoire un très grand nombre de fois dans les mêmes conditions, la moyenne arithmétique des valeurs obtenues pour \( X \) sera très proche de 10 (d'après la loi des grands nombres).

La Variance : \( V(X) = 20 \)

Rappel : La variance est la moyenne des carrés des écarts à l'espérance : \[ V(X) = E\big((X - E(X))^2\big) \]

Signification : La variance mesure la dispersion des valeurs de \( X \) autour de son espérance (la moyenne). Plus la variance est grande, plus les valeurs prises par \( X \) sont étalées autour de 10.

Remarque (Écart-type) :
Pour interpréter la dispersion dans la même unité que \( X \), on calcule l'écart-type \( \sigma(X) \) : \[ \sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{20} \approx 4{,}47 \] En moyenne, les valeurs de \( X \) s'écartent d'environ 4,47 unités autour de sa valeur moyenne 10.

Rappel de cours (Inégalité de Bienaymé-Tchebychev) :
Soit \( X \) une variable aléatoire admettant une espérance \( \mu = E(X) \) et une variance \( V(X) \).
Pour tout réel \( \delta > 0 \), on a : \[ P(|X - \mu| \ge \delta) \le \frac{V(X)}{\delta^2} \]

Identification des paramètres :

• Espérance : \( \mu = E(X) = 10 \)
• Variance : \( V(X) = 20 \)
• Écart maximal toléré : \( \delta = 5 \).

Application de la formule :

On remplace les valeurs dans l'inégalité :

\[ P(|X - 10| \ge 5) \le \frac{20}{5^2} \]

Calcul :

\[ P(|X - 10| \ge 5) \le \frac{20}{25} = \frac{4}{5} = 0{,}8. \]

Rappels de cours :

• Lienarité de l'espérance : Pour toutes variables \( X, Y \) et tout réel \( a \), \( E(aX + Y) = a E(X) + E(Y) \).
• Propriétés de la variance : Pour tout réel \( a \), \( V(aX) = a^2 V(X) \). Si les variables \( X_i \) sont indépendantes, \( V\left(\displaystyle\sum X_i\right) = \sum V(X_i) \).

Calcul de l'espérance \( E(M_n) \) :

Par linéarité de l'espérance :

\[ E(M_n) = E\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i) \]

Comme les variables sont identiquement distribuées, \( E(X_i) = \mu \) pour tout \( i \) :

\[ E(M_n) = \frac{1}{n} \times (n \times \mu) = \mu. \]

Calcul de la variance \( V(M_n) \) :

En utilisant les propriétés de la variance :

\[ V(M_n) = V\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \right) = \frac{1}{n^2} V\left( \sum_{i=1}^n X_i \right) \]

Comme les variables \( X_i \) sont indépendantes, la variance de la somme est égale à la somme des variances :

\[ V(M_n) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n V(X_i) \]

Comme les variables sont identiquement distribuées, \( V(X_i) = \sigma^2 \) pour tout \( i \) :

\[ V(M_n) = \frac{1}{n^2} \times (n \times \sigma^2) = \frac{\sigma^2}{n}. \]

Rappel (Bienaymé-Tchebychev appliqué à la moyenne) :
Pour la moyenne empirique \( M_n \) de \( n \) variables i.i.d. d'espérance \( \mu \) et de variance \( \sigma^2 \) : \[ P(|M_n - \mu| \ge \varepsilon) \le \frac{V(M_n)}{\varepsilon^2} = \frac{\sigma^2}{n \varepsilon^2} \]

Modélisation :

Chaque lancer suit une loi de Bernoulli de paramètre \( p = 0{,}5 \).

• Espérance : \( \mu = p = 0{,}5 \)
• Variance : \( \sigma^2 = p(1-p) = 0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}25 \)
• Écart maximal toléré : \( \varepsilon = 0{,}05 \)

Application de la formule :

\[ P(|M_n - 0{,}5| \ge 0{,}05) \le \frac{0{,}25}{n \times (0{,}05)^2} \]

Calcul du dénominateur partiel : \( (0{,}05)^2 = 0{,}0025 \).

\[ \frac{0{,}25}{n \times 0{,}0025} = \frac{100}{n} \]

Résolution de l'inéquation :

On cherche \( n \) tel que le majorant soit inférieur ou égal à \( 0{,}1 \) :

\[ \frac{100}{n} \le 0{,}1 \iff n \ge \frac{100}{0{,}1} \iff n \ge 1\,000. \]

Rappels de cours :
Pour une variable aléatoire \( X \sim \mathcal{B}(n\,; p) \) :

• Espérance : \( E(X) = n \times p \)
• Variance : \( V(X) = n \times p \times (1 - p) \)

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev :
\[ P(|X - E(X)| \ge \delta) \le \frac{V(X)}{\delta^2} \quad (\text{pour tout } \delta > 0) \]

Calcul de l'espérance \( E(X) \) :

\[ E(X) = 100 \times 0{,}3 = 30. \]

Calcul de la variance \( V(X) \) :

\[ V(X) = 100 \times 0{,}3 \times (1 - 0{,}3) = 30 \times 0{,}7 = 21. \]

Majoration de \( P(|X - 30| \ge 10) \) :

On remarque que \( E(X) = 30 \). En posant \( \delta = 10 \), on applique l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev :

\[ P(|X - 30| \ge 10) \le \frac{V(X)}{10^2} \] \[ P(|X - 30| \ge 10) \le \frac{21}{100} = 0{,}21. \]

Rappel de cours (Inégalité de Bienaymé-Tchebychev) :
Pour toute variable aléatoire \( X \) de variance \( V(X) = \sigma^2 \) et pour tout réel \( \delta > 0 \) : \[ P(|X - E(X)| \ge \delta) \le \frac{V(X)}{\delta^2} = \frac{\sigma^2}{\delta^2} \]

Choix du paramètre \( \delta \) :

On applique l'inégalité en posant \( \delta = 2\sigma \).

Application de la formule :

\[ P(|X - E(X)| \ge 2\sigma) \le \frac{\sigma^2}{(2\sigma)^2} \]

Simplification :

\[ P(|X - E(X)| \ge 2\sigma) \le \frac{\sigma^2}{4\sigma^2} = \frac{1}{4} = 0{,}25. \]

Rappels de cours :

• Linéarité de l'espérance : Pour toutes variables aléatoires \( X \) et \( Y \), \( E(X + Y) = E(X) + E(Y) \) (toujours vrai, que les variables soient indépendantes ou non).
• Variance d'une somme : Si deux variables aléatoires \( X \) et \( Y \) sont indépendantes, alors \( V(X + Y) = V(X) + V(Y) \).

Calcul de l'espérance \( E(X + Y) \) :

Par linéarité de l'espérance :

\[ E(X + Y) = E(X) + E(Y) = 5 + 3 = 8. \]

Calcul de la variance \( V(X + Y) \) :

Comme les variables \( X \) et \( Y \) sont indépendantes :

\[ V(X + Y) = V(X) + V(Y) = 2 + 4 = 6. \]

Théorème sous-jacent : La Loi des Grands Nombres
Lorsque l'on répète une expérience aléatoire un grand nombre de fois \( n \), la fréquence empirique \( M_n \) d'un événement converge en probabilité vers la probabilité théorique \( p \) de cet événement : \[ \lim_{n \to +\infty} P(|M_n - p| \ge \varepsilon) = 0 \quad (\text{pour tout } \varepsilon > 0) \]

Explication dans le cadre de l'expérience :

• Probabilité théorique : Pour un dé équilibré, la probabilité d'obtenir un 6 est \( p = \dfrac{1}{6} \).
• Modélisation : Chaque lancer est modélisé par une variable de Bernoulli \( X_i \) valant \( 1 \) si on obtient un 6 et \( 0 \) sinon, avec \( E(X_i) = p = \dfrac{1}{6} \).
• Pour un échantillon de taille suffisamment grande (\( n = 1\,000 \)), la moyenne empirique \( M_n \) (qui correspond à la fréquence d'apparition du 6) se stabilise autour de la valeur de l'espérance théorique \( \dfrac{1}{6} \).

Il existe deux approches complémentaires pour justifier cette propriété :

1. Démonstration via l'Inégalité de Bienaymé-Tchebychev :

Soit \( \mu = E(X) \). L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev stipule que pour tout réel \( \varepsilon > 0 \) :

\[ P(|X - \mu| \ge \varepsilon) \le \frac{V(X)}{\varepsilon^2} \]

Si \( V(X) = 0 \), alors pour tout écart \( \varepsilon > 0 \) :

\[ P(|X - \mu| \ge \varepsilon) \le \frac{0}{\varepsilon^2} = 0 \]

Une probabilité étant toujours supérieure ou égale à \( 0 \), on en déduit que pour tout \( \varepsilon > 0 \) :

\[ P(|X - \mu| \ge \varepsilon) = 0 \]

Autrement dit, la probabilité que la variable s'écarte strictement de son espérance d'au moins \( \varepsilon \) est nulle.

2. Interprétation par la définition de la variance :

Par définition, la variance mesure la moyenne du carré des écarts à l'espérance : \[ V(X) = E\big((X - E(X))^2\big). \]

La quantité \( (X - E(X))^2 \) est une variable aléatoire positive ou nulle.

L'espérance d'une variable positive n'est nulle que si cette variable est nulle presque sûrement. On a donc :

\[ V(X) = 0 \implies (X - E(X))^2 = 0 \quad \text{presque sûrement} \] \[ \iff X = E(X) \quad \text{presque sûrement}. \]

Rappel (Inégalité de Bienaymé-Tchebychev - forme complémentaire) :
Pour tout réel \( \delta > 0 \) : \[ P(|X - E(X)| < \delta) \ge 1 - \frac{V(X)}{\delta^2} \] Cette propriété équivaut à la probabilité que \( X \) appartienne à l'intervalle centré \( [E(X) - \delta\,;\, E(X) + \delta] \).

Identification des données :

• Espérance : \( E(X) = 50 \)
• Variance : \( V(X) = 16 \)
• Objectif : Trouver \( \delta \) tel que \( 1 - \dfrac{V(X)}{\delta^2} \ge 0{,}75 \).

Résolution de l'inéquation :

\[ 1 - \frac{16}{\delta^2} \ge 0{,}75 \iff \frac{16}{\delta^2} \le 1 - 0{,}75 \] \[ \iff \frac{16}{\delta^2} \le 0{,}25 \iff \frac{16}{\delta^2} \le \frac{1}{4} \] \[ \iff \delta^2 \ge 64 \iff \delta \ge 8 \quad (\text{car } \delta > 0). \]

Construction de l'intervalle :

En choisissant \( \delta = 8 \), l'intervalle centré en \( 50 \) est :

\[ [50 - 8\,;\, 50 + 8] = [42\,;\, 58]. \]