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Équations différentielles

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Fiche Équations différentielles – Terminale Spé
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Différentielle

Une différentielle est, dans le vocabulaire scientifique, une dérivée. Une équation où l’inconnue est une fonction dérivée au moins une fois est appelée équation différentielle.

Solutions d’équation de type \( y' = ay \)

  • Résoudre \( y' = ay \) signifie trouver toutes les fonctions dont la dérivée vaut \( ay \).
  • L’équation : \[ y' = ay \] admet pour solutions : \[ y(x)=Ce^{ax},\quad C\in\mathbb{R}. \]
  • Il existe une infinité de solutions, définies à une constante près.

Exemples : \( y'=-y \) et \( y'=\frac12 y \)

  • \( y' + y = 0 \iff y'=-y \). Solutions : \[ y(x)=Ce^{-x}. \]
  • \( y'=\frac12 y \). Solutions : \[ y(x)=Ce^{\frac12 x}. \]

Solutions d’équation de type \( y'=ay+b \)

Pour \( a,b\in\mathbb{R} \), l’équation : \[ y'=ay+b \] admet pour solutions : \[ y(x)=Ce^{ax}-\frac{b}{a}. \]

Exemple : \( y'=3y+7 \)

Solutions : \[ y(x)=Ce^{3x}-\frac73. \]

Vérification :

\[ y'(x)=3Ce^{3x} \] \[ y'(x)-3y(x)=7 \]

Donc \( y'=3y+7 \).

Équation homogène associée

À l’équation : \[ y'=ay+f \] on associe l’équation homogène : \[ y'=ay. \]

Résolution de \( y'=ay+f \)

On note (E) : \( y'=ay+f \) et (E\(_0\)) : \( y'=ay \).

  • On résout (E\(_0\)) : \[ y_0(x)=Ce^{ax}. \]
  • On trouve une solution particulière \( u \) : \[ u'(x)-au(x)=f(x). \]
  • On additionne : \[ y(x)=y_0(x)+u(x). \]

Exemple : \( y'=-2y+x^2 \)

  • Équation homogène : \[ y_0(x)=Ce^{-2x}. \]
  • Solution particulière proposée : \[ y_1(x)=\frac12 x^2-\frac12 x+\frac14. \]
  • Solutions de (E) : \[ y(x)=\frac12 x^2-\frac12 x+\frac14+Ce^{-2x}. \]

Exercices Corrigés

Résoudre l'équation différentielle $y'=3y$.
Résoudre $y'=-2y$ avec la condition initiale $y(0)=5$.
Résoudre l'équation différentielle $y'=2y+6$.
Résoudre $y'=-y+4$ avec $y(0)=1$.
Vérifier que $y(x)=2e^{5x}$ est solution de $y'=5y$.
Résoudre $T'(t)=-0{,}1(T(t)-20)$ avec $T(0)=80$.
Une population suit $N'=0{,}1N$, $N(0)=1000$. Calculer $N(t)$ puis $N(10)$.
Une substance radioactive suit $N'=-\lambda N$ avec demi-vie 10 ans. Déterminer $\lambda$.
Résoudre $y'=5y-10$ avec $y(0)=4$.
La charge $q$ d'un condensateur vérifie $q'=-\frac{1}{RC}q$. Donner la forme générale des solutions.

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QCM noté — Équations différentielles 10 questions · ⏱ 20 min

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