Une série statistique à deux variables associe à chaque individu deux valeurs $x_i$ et $y_i$. Le nuage de points représente les points $(x_i;y_i)$. Le point moyen $G(\bar x;\bar y)$ a pour coordonnées les moyennes des deux séries : $\bar x=\dfrac1n\sum x_i$ et $\bar y=\dfrac1n\sum y_i$.
2. Ajustement affine
Lorsque le nuage de points a une forme allongée, on peut l'ajuster par une droite d'équation $y=ax+b$, appelée droite d'ajustement. La méthode des moindres carrés (obtenue à la calculatrice ou au tableur) donne la droite qui minimise la somme des carrés des écarts entre les points et la droite. Cette droite passe toujours par le point moyen $G$.
3. Coefficient de corrélation linéaire
Le coefficient de corrélation linéaire $r$ (donné par la calculatrice) est compris entre $-1$ et $1$. Plus $|r|$ est proche de 1, plus l'ajustement affine est pertinent (points proches d'une droite) ; plus $|r|$ est proche de 0, moins la relation entre $x$ et $y$ est linéaire.
4. Prévisions et limites de l'extrapolation
Une fois la droite d'ajustement obtenue, on peut l'utiliser pour estimer une valeur de $y$ à partir d'une valeur de $x$, par interpolation (à l'intérieur de la plage des données observées) ou par extrapolation (en dehors de cette plage). L'extrapolation doit être utilisée avec prudence : rien ne garantit que la tendance observée se poursuive au-delà des données connues.
Exercices Corrigés
On donne le nuage de points suivant (année codée $x$, chiffre d'affaires en milliers d'euros $y$) : $(1;120)$, $(2;135)$, $(3;150)$, $(4;160)$, $(5;180)$. Calculer les coordonnées du point moyen $G$.
$\bar x = \dfrac{1+2+3+4+5}{5} = 3$. $\bar y = \dfrac{120+135+150+160+180}{5} = \dfrac{745}{5} = 149$. $G(3;149)$.
(suite) On admet que la droite d'ajustement obtenue par la méthode des moindres carrés a pour équation $y=15x+104$. Vérifier qu'elle passe par le point moyen $G$.
$15\times3+104 = 45+104 = 149 = \bar y$. La droite passe bien par $G(3;149)$.
(suite) Estimer, à l'aide de la droite d'ajustement, le chiffre d'affaires pour l'année codée $x=7$. Commenter la fiabilité de cette estimation.
$y=15\times7+104 = 105+104 = 209$, soit environ 209 milliers d'euros. Comme $x=7$ est en dehors de l'intervalle des données observées (1 à 5), il s'agit d'une extrapolation : le résultat est une estimation, à interpréter avec prudence.
Une entreprise a relevé le nombre d'heures de publicité $x$ et le nombre de ventes $y$ sur 5 semaines : $(2;30)$, $(4;50)$, $(6;65)$, $(8;90)$, $(10;110)$. Calculer le point moyen $G$.
$\bar x = \dfrac{2+4+6+8+10}{5}=6$. $\bar y = \dfrac{30+50+65+90+110}{5} = \dfrac{345}{5}=69$. $G(6;69)$.
(suite) On donne la droite d'ajustement $y=10x+9$. Estimer le nombre de ventes pour 5 heures de publicité.
Comme $x=5$ est compris entre 2 et 10, il s'agit d'une interpolation. $y=10\times5+9=59$ ventes environ.
Le coefficient de corrélation linéaire calculé pour la série précédente est $r\approx0{,}998$. Interpréter cette valeur.
Comme $|r|$ est très proche de 1, le nuage de points est très bien aligné : l'ajustement affine est pertinent, la relation entre le nombre d'heures de publicité et le nombre de ventes est fortement linéaire.
Pour une autre série statistique, on obtient un coefficient de corrélation $r\approx0{,}12$. Que peut-on en conclure sur la pertinence d'un ajustement affine ?
$|r|$ est proche de 0 : le nuage de points n'est pas aligné, un ajustement affine n'est pas pertinent pour décrire la relation entre les deux variables.
On donne la série $(0;50)$, $(1;42)$, $(2;35)$, $(3;28)$, $(4;20)$ représentant l'évolution des ventes d'un produit (en centaines) au fil des mois. La droite d'ajustement est $y=-7{,}4x+50{,}2$. Calculer $\bar x$ et $\bar y$, puis vérifier (approximativement) que la droite passe par le point moyen.
(suite) Interpréter le signe du coefficient directeur $a=-7{,}4$ de la droite d'ajustement.
Le coefficient directeur est négatif : cela traduit une tendance décroissante des ventes au fil des mois (les ventes diminuent en moyenne de 7,4 centaines d'unités par mois selon ce modèle).
Expliquer pourquoi utiliser la droite d'ajustement précédente pour prévoir les ventes du mois $x=20$ serait risqué.
Le mois $x=20$ est très éloigné de la plage des données observées (mois 0 à 4) : il s'agit d'une extrapolation lointaine, pour laquelle rien ne garantit que la tendance linéaire observée se poursuive (le modèle prédirait même des ventes négatives à partir d'un certain mois, ce qui n'a pas de sens). Une telle prévision serait donc peu fiable.
