Probabilités conditionnelles
Cours
1. Probabilité conditionnelle
Pour deux événements $A$ et $B$ avec $P(A)\neq0$, la probabilité de $B$ sachant $A$ est :
$$P_A(B) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$$
d'où $P(A\cap B) = P(A)\times P_A(B)$.
2. Arbre pondéré
La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches ; la probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui y mènent.
3. Formule des probabilités totales
Si $A$ et $\overline A$ forment une partition de l'univers : $P(B)=P(A)\times P_A(B)+P(\overline A)\times P_{\overline A}(B)$.
4. Indépendance
$A$ et $B$ sont indépendants si $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$.
5. Application aux enquêtes et au contrôle qualité
Ces outils sont très utilisés en gestion : sondages clientèle, contrôle qualité en production, étude du comportement des consommateurs (croisement de deux critères dans un tableau).
Exercices Corrigés
Une entreprise commercialise deux gammes de produits : 60% de la clientèle achète la gamme A, 40% la gamme B. Parmi les acheteurs de la gamme A, 25% souscrivent une extension de garantie ; parmi ceux de la gamme B, 40%. Calculer $P(\text{gamme A et garantie})$.
(suite) Calculer $P(\text{garantie})$.
(suite) Sachant qu'un client a souscrit la garantie, quelle est la probabilité qu'il ait acheté la gamme A ?
Un contrôle qualité montre que 3% des pièces produites sont défectueuses. Parmi les défectueuses, 80% sont détectées par un test automatique ; parmi les non défectueuses, 5% sont (à tort) signalées défectueuses. Calculer la probabilité qu'une pièce prise au hasard soit signalée défectueuse.
(suite) Sachant qu'une pièce est signalée défectueuse, calculer la probabilité qu'elle soit réellement défectueuse.
Dans une enquête, 55% des personnes interrogées sont des femmes. 30% des femmes et 45% des hommes déclarent privilégier les achats en ligne. Les événements « être une femme » et « privilégier les achats en ligne » sont-ils indépendants ?
Une entreprise de vente en ligne constate que 12% des commandes font l'objet d'un retour produit. Sur 3 commandes indépendantes, quelle est la probabilité qu'aucune ne soit retournée ?
(suite) Quelle est la probabilité qu'au moins une des 3 commandes soit retournée ?
Un tableau croisé donne, sur 500 clients d'une enseigne : 200 clients fidèles dont 150 satisfaits ; 300 clients non fidèles dont 120 satisfaits. Calculer la probabilité qu'un client soit satisfait sachant qu'il est fidèle, puis sachant qu'il n'est pas fidèle.
(suite) En déduire la probabilité qu'un client pris au hasard parmi les 500 soit satisfait, et comparer les taux de satisfaction selon la fidélité.