$F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et $F'=f$. Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante.
Si $f$ est continue et positive sur $[a;b]$, l'aire du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites $x=a$, $x=b$ est, en unités d'aire :
$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$$
où $F$ est une primitive de $f$.
4. Interprétation économique
En gestion, l'intégrale d'une fonction de coût marginal (ou de recette marginale) entre deux quantités donne la variation totale du coût (ou de la recette) correspondante. La valeur moyenne d'une fonction $f$ sur $[a;b]$ est $\mu=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ : elle donne un niveau moyen représentatif sur la période étudiée.
Exercices Corrigés
Déterminer une primitive de $f(x)=4x^3-2x+1$ sur $\mathbb{R}$.
$F(x) = x^4-x^2+x+k$, $k\in\mathbb{R}$.
Déterminer une primitive de $f(x)=e^{2x}$ sur $\mathbb{R}$.
$F(x) = \dfrac12 e^{2x}+k$, $k\in\mathbb{R}$.
Calculer $\displaystyle\int_0^3 (2x+1)\,dx$.
Une primitive est $x^2+x$. $\int_0^3(2x+1)dx = (9+3)-0 = 12$.
Calculer $\displaystyle\int_0^2 e^x\,dx$, arrondi au centième.
Le coût marginal (en euros) de fabrication d'une entreprise est $Cm(x)=3x^2+10$, où $x$ est la quantité produite (en centaines d'unités). Calculer la variation de coût total entre $x=1$ et $x=4$, donnée par $\int_1^4 Cm(x)\,dx$.
Une primitive de $Cm$ est $x^3+10x$. $\int_1^4 Cm(x)dx = (64+40)-(1+10) = 104-11 = 93$€.
La recette marginale d'une entreprise est $Rm(x)=100-2x$ pour $x\in[0;40]$. Calculer la recette totale obtenue pour $x$ allant de 0 à 20 : $\int_0^{20} Rm(x)\,dx$.
Une primitive est $100x-x^2$. $\int_0^{20} Rm(x)dx = (2000-400)-0 = 1600$€.
Déterminer la valeur moyenne de $f(x)=x^2$ sur $[0;4]$.
La production journalière d'une usine (en tonnes) suit $p(t)=20+0{,}5t$ pour $t\in[0;30]$ ($t$ en jours). Calculer la production totale sur les 30 premiers jours, donnée par $\int_0^{30} p(t)\,dt$.
Une primitive est $20t+0{,}25t^2$. $\int_0^{30} p(t)dt = (600+225)-0 = 825$ tonnes.
Calculer la valeur moyenne du coût marginal $Cm(x)=2x+5$ sur $[0;10]$, et interpréter le résultat.
$\mu = \dfrac{1}{10}\int_0^{10}(2x+5)dx = \dfrac{1}{10}\left[x^2+5x\right]_0^{10} = \dfrac{1}{10}\times150 = 15$. Sur l'intervalle de production considéré, le coût marginal moyen est donc de 15€ par unité supplémentaire produite.
