La fonction exponentielle, notée $\exp$ ou $x\mapsto e^x$, est l'unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ égale à sa propre dérivée et telle que $\exp(0)=1$. Pour tous réels $a,b$ :
$e^{a+b}=e^a\times e^b$
$e^{-a}=\dfrac{1}{e^a}$
$(e^a)^n=e^{na}$
Pour tout réel $x$, $e^x>0$.
2. Variations et représentation
La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Sa courbe passe par $(0;1)$ et se rapproche de l'axe des abscisses quand $x\to-\infty$ ; elle croît très rapidement quand $x\to+\infty$.
3. Dérivée d'une fonction composée
Pour $f(x)=e^{u(x)}$, $f'(x)=u'(x)\times e^{u(x)}$. En particulier, pour $f(x)=e^{kx}$ ($k$ constant), $f'(x)=ke^{kx}$.
4. Modélisation de phénomènes économiques
Les fonctions $t\mapsto Ae^{kt}$ (avec $A>0$) modélisent une évolution continue : croissance si $k>0$, décroissance si $k<0$. Elles permettent de modéliser l'évolution d'un chiffre d'affaires, d'une population de clients ou d'un capital placé en continu.
5. Équations simples
Comme $\exp$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ : $e^a=e^b \iff a=b$.
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{2x+1}=e^{5}$.
Par stricte croissance de $\exp$ : $2x+1=5 \iff x=2$.
Dériver $f(x) = e^{3x-2}$ sur $\mathbb{R}$.
$f'(x) = 3e^{3x-2}$.
Dériver $g(x) = (x+1)e^x$ sur $\mathbb{R}$.
$g'(x) = e^x + (x+1)e^x = (x+2)e^x$.
Le chiffre d'affaires (en milliers d'euros) d'une entreprise est modélisé par $CA(t) = 150e^{0{,}08t}$, $t$ en années depuis 2024. Calculer $CA(0)$ puis $CA(5)$, arrondi à l'unité.
(suite) Déterminer le sens de variation de $CA$ sur $[0;+\infty[$ et interpréter.
$CA'(t) = 150\times0{,}08\,e^{0{,}08t} = 12e^{0{,}08t} > 0$ : $CA$ est croissante. Le chiffre d'affaires augmente donc continûment avec le temps.
Une substance se dégrade selon $m(t)=200e^{-0{,}05t}$ (masse en grammes, $t$ en jours). Calculer $m(0)$ et $m(20)$, arrondi au dixième.
$m(0)=200$ g. $m(20)=200e^{-1}\approx200\times0{,}3679\approx73{,}6$ g.
Étudier le signe de $f(x)=e^x-3$ sur $\mathbb{R}$ (on estimera à la calculatrice la valeur qui annule $f$).
$f(x)=0 \iff e^x=3$, soit $x\approx1{,}10$ (à la calculatrice). Pour $x<1{,}10$, $f(x)<0$ ; pour $x>1{,}10$, $f(x)>0$.
Le nombre de clients d'une entreprise est modélisé par $N(t)=1000e^{0{,}02t}$. Déterminer, par balayage à la calculatrice, au bout de combien d'années (arrondi à l'année) le nombre de clients aura doublé.
On cherche $t$ tel que $1000e^{0{,}02t}=2000$, soit $e^{0{,}02t}=2$. Par balayage : $t=34$ donne $e^{0{,}68}\approx1{,}974$ ; $t=35$ donne $e^{0{,}7}\approx2{,}014$. Le nombre de clients double donc au bout d'environ 35 ans.
Une entreprise place un capital en continu selon $C(t)=8000e^{0{,}03t}$. Calculer $C(10)$ arrondi à l'euro, puis déterminer le sens de variation de $C$.
$C(10)=8000e^{0{,}3}\approx8000\times1{,}3499\approx10\,799$€. $C'(t)=8000\times0{,}03\,e^{0{,}03t}=240e^{0{,}03t}>0$ : $C$ est croissante, le capital augmente continûment.
