Une suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ si, pour tout $n$, $u_{n+1}=u_n+r$ (on ajoute une valeur constante à chaque étape). Terme général : $u_n=u_0+nr$. Ce modèle convient à une grandeur qui évolue d'une valeur constante à chaque période (ex. : un chiffre d'affaires qui augmente chaque année de la même somme).
2. Suites géométriques et évolutions en pourcentage
Une suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ si, pour tout $n$, $u_{n+1}=q\times u_n$. Terme général : $u_n=u_0\times q^n$. Ce modèle convient à une grandeur qui évolue d'un même pourcentage à chaque période.
Si une grandeur évolue de $t\%$ (avec $t$ négatif en cas de baisse), le coefficient multiplicateur associé est $q=1+\dfrac{t}{100}$. Une hausse de 5% correspond à $q=1{,}05$ ; une baisse de 8% correspond à $q=0{,}92$.
Pour des évolutions successives de coefficients multiplicateurs $q_1,q_2,\ldots,q_n$, le coefficient multiplicateur global est $Q=q_1\times q_2\times\cdots\times q_n$.
Le taux moyen annuel équivalent $t_m$ sur $n$ périodes vérifie $(1+t_m)^n=Q$, soit $t_m=Q^{1/n}-1$.
4. Sens de variation
Une suite géométrique de premier terme $u_0>0$ est croissante si $q>1$, décroissante si $0
5. Limite d'une suite géométrique et recherche de seuil
Si $01$, ils deviennent aussi grands que l'on veut. On utilise souvent un tableau de valeurs ou un algorithme pour déterminer à partir de quel rang une suite dépasse (ou passe en dessous d'un) seuil donné.
Exercices Corrigés
Une entreprise a un chiffre d'affaires de 200 000€ en 2024. On suppose qu'il augmente chaque année de 15 000€. Modéliser par une suite arithmétique et calculer le CA prévu en 2029.
Un loyer de 650€ augmente chaque année de 2%. Donner le coefficient multiplicateur associé, modéliser par une suite géométrique et calculer le loyer au bout de 4 ans.
Le prix d'un produit augmente de 10% une première année puis diminue de 5% l'année suivante. Calculer le coefficient multiplicateur global sur ces deux années puis le taux d'évolution global correspondant.
$Q=1{,}10\times0{,}95=1{,}045$. Taux global $=(Q-1)\times100=4{,}5\%$.
(suite) En déduire le taux moyen annuel équivalent sur ces deux années.
$t_m$ vérifie $(1+t_m)^2=1{,}045$, donc $t_m=\sqrt{1{,}045}-1\approx1{,}0222-1\approx0{,}0222$, soit environ 2,22% par an.
Une population de bactéries double toutes les heures ($u_0=100$). Écrire l'expression de $u_n$, étudier son sens de variation puis calculer $u_5$.
$q=2$, $u_n=100\times2^n$. Comme $q>1$, la suite est croissante. $u_5=100\times32=3200$.
(suite) À l'aide d'un tableau de valeurs, déterminer à partir de quelle heure $n$ la population dépasse 10 000.
$u_6=100\times64=6400$ ; $u_7=100\times128=12\,800>10\,000$. La population dépasse donc 10 000 à partir de la 7e heure.
Une machine perd 12% de sa valeur chaque année. Elle vaut 8000€ à l'achat. Modéliser sa valeur par une suite géométrique et déterminer sa valeur au bout de 5 ans.
Sur trois années, les taux d'évolution successifs du chiffre d'affaires d'une entreprise sont +8%, +3% et -4%. Calculer le coefficient multiplicateur global et le taux d'évolution global sur les trois ans.
$Q=1{,}08\times1{,}03\times0{,}96 \approx 1{,}0679$. Taux d'évolution global $\approx6{,}79\%$.
Un capital de 10 000€ est placé à intérêts composés. Après 6 ans, il vaut 12 653€. Déterminer le taux d'évolution annuel moyen de ce placement.
$Q=\dfrac{12\,653}{10\,000}=1{,}2653$. $t_m=Q^{1/6}-1\approx1{,}04-1=0{,}04$, soit un taux moyen d'environ 4% par an.
