Pour une série $x_1,\ldots,x_n$, la moyenne est $\bar x=\dfrac1n\sum x_i$. L'écart-type $\sigma$ mesure la dispersion autour de la moyenne : $\sigma=\sqrt{\dfrac1n\sum (x_i-\bar x)^2}$. Plus $\sigma$ est grand, plus les valeurs sont dispersées.
2. Nuage de points et point moyen
Pour une série à deux variables $(x_i;y_i)$, le nuage de points représente ces points. Le point moyen $G(\bar x;\bar y)$ a pour coordonnées les moyennes des deux séries.
3. Ajustement affine
Lorsque le nuage a une forme allongée, on l'ajuste par une droite $y=ax+b$ (méthode des moindres carrés, calculatrice ou tableur), qui passe par le point moyen $G$.
4. Coefficient de corrélation
Le coefficient de corrélation linéaire $r$, compris entre $-1$ et $1$, mesure la qualité de l'ajustement affine : plus $|r|$ est proche de 1, plus les points sont alignés.
5. Applications techniques
En sciences de l'ingénieur, ces outils permettent d'étudier la relation entre deux grandeurs mesurées expérimentalement (température et résistance d'un capteur, charge et déformation d'une pièce, etc.) et de faire des prévisions par extrapolation, avec prudence.
Exercices Corrigés
Une série de mesures de tensions (en V) donne : 11,8 ; 12,0 ; 12,1 ; 11,9 ; 12,2. Calculer la moyenne $\bar x$.
$\bar x = \dfrac{11{,}8+12{,}0+12{,}1+11{,}9+12{,}2}{5} = \dfrac{60{,}0}{5} = 12{,}0$ V.
(suite) Calculer l'écart-type $\sigma$ de cette série, arrondi au centième.
On mesure la résistance $R$ (en Ω) d'un capteur pour différentes températures $T$ (en °C) : $(0;100)$, $(20;108)$, $(40;116)$, $(60;124)$, $(80;132)$. Calculer le point moyen $G$.
$\bar T = \dfrac{0+20+40+60+80}{5}=40$. $\bar R = \dfrac{100+108+116+124+132}{5}=\dfrac{580}{5}=116$. $G(40;116)$.
(suite) On donne la droite d'ajustement $R=0{,}4T+100$. Vérifier qu'elle passe par le point moyen.
$0{,}4\times40+100=16+100=116=\bar R$. La droite passe bien par $G(40;116)$.
(suite) Estimer, à l'aide de la droite d'ajustement, la résistance à $T=50°C$.
Comme $T=50$ est compris entre 0 et 80, il s'agit d'une interpolation. $R=0{,}4\times50+100=120\ \Omega$.
(suite) Estimer la résistance à $T=150°C$. Cette estimation est-elle fiable ? Justifier.
$R=0{,}4\times150+100=160\ \Omega$. Comme $T=150°C$ est très en dehors de la plage des données observées (0 à 80°C), il s'agit d'une extrapolation lointaine : le résultat est peu fiable, le comportement du capteur pouvant changer au-delà de la plage testée.
Le coefficient de corrélation calculé pour la série précédente est $r\approx0{,}999$. Interpréter.
$|r|$ très proche de 1 : les points sont quasiment alignés, l'ajustement affine est très pertinent pour décrire la relation entre température et résistance sur la plage étudiée.
On mesure l'allongement $y$ (mm) d'un ressort en fonction de la masse suspendue $x$ (g) : $(0;0)$, $(50;12)$, $(100;25)$, $(150;37)$, $(200;50)$. Calculer le point moyen $G$.
$\bar x = \dfrac{0+50+100+150+200}{5}=100$. $\bar y = \dfrac{0+12+25+37+50}{5}=\dfrac{124}{5}=24{,}8$. $G(100;24{,}8)$.
(suite) On donne la droite d'ajustement $y=0{,}25x-0{,}2$. Utiliser cette relation pour estimer l'allongement pour une masse de 120 g.
$y=0{,}25\times120-0{,}2=30-0{,}2=29{,}8$ mm.
Deux séries de mesures d'une même grandeur ont pour écarts-types respectifs $\sigma_1=0{,}05$ et $\sigma_2=0{,}30$. Laquelle est la plus dispersée, donc la moins précise ?
Plus l'écart-type est grand, plus les mesures sont dispersées. La série 2 ($\sigma_2=0{,}30$) est donc plus dispersée, et correspond à des mesures moins précises que la série 1 ($\sigma_1=0{,}05$).
