Une variable aléatoire $X$ continue est définie par une densité $f$, positive, d'intégrale égale à 1 sur son domaine. $P(a\le X\le b)=\int_a^b f(x)dx$.
2. Loi uniforme
Densité constante sur $[a;b]$ : $f(x)=\dfrac1{b-a}$. $E(X)=\dfrac{a+b}2$.
3. Loi normale
La loi normale $\mathcal N(\mu,\sigma^2)$ modélise de nombreuses grandeurs mesurées (dimensions de pièces usinées, tensions, erreurs de mesure...). Sa densité en cloche est symétrique autour de $\mu$ (espérance), d'écart-type $\sigma$. Règle des 68-95-99,7 : environ 68% des valeurs dans $[\mu-\sigma;\mu+\sigma]$, 95% dans $[\mu-2\sigma;\mu+2\sigma]$, 99,7% dans $[\mu-3\sigma;\mu+3\sigma]$.
4. Application au contrôle qualité
En production industrielle, une caractéristique (longueur, masse, tension de sortie...) suit souvent une loi normale. On utilise cette loi pour déterminer la proportion de pièces conformes à une tolérance donnée, ou pour fixer des limites de contrôle.
Exercices Corrigés
Un axe métallique doit mesurer 50 mm. Sa longueur $X$ suit la loi $\mathcal N(50;\,0{,}2^2)$. Donner un intervalle centré en 50 contenant environ 95% des longueurs produites.
$[50-2\times0{,}2\,;\,50+2\times0{,}2] = [49{,}6\,;\,50{,}4]$ mm.
(suite) Donner un intervalle contenant environ 99,7% des longueurs.
$[50-3\times0{,}2\,;\,50+3\times0{,}2] = [49{,}4\,;\,50{,}6]$ mm.
La tension de sortie d'une alimentation suit $\mathcal N(12;\,0{,}1^2)$ (en volts). Donner un intervalle contenant environ 68% des tensions mesurées.
$[12-0{,}1\,;\,12+0{,}1] = [11{,}9\,;\,12{,}1]$ V.
Une résistance suit une loi uniforme sur $[980;1020]$ (en ohms). Calculer $P(990\le X\le1010)$.
Des pièces ont une longueur suivant $\mathcal N(100;\,1^2)$ (mm). Une pièce est acceptée si sa longueur est dans $[97;103]$. Quelle proportion (approximative) de pièces est acceptée ?
$[97;103]=[100-3;100+3]=[\mu-3\sigma;\mu+3\sigma]$. Environ 99,7% des pièces sont donc acceptées.
(suite) Quelle proportion (approximative) de pièces est rejetée ?
$100\%-99{,}7\% = 0{,}3\%$.
Le temps de réponse d'un capteur $X$ suit la loi uniforme sur $[0;20]$ (secondes). Calculer la probabilité que ce temps dépasse 15 secondes.
Un procédé industriel produit des pièces dont la masse suit $\mathcal N(250;\,5^2)$ (grammes). Donner un intervalle contenant environ 95% des masses, et interpréter.
$[250-10\,;\,250+10] = [240\,;\,260]$ g. Environ 95% des pièces produites ont une masse comprise entre 240 et 260 grammes.
Expliquer pourquoi la loi normale est très utilisée en contrôle qualité industriel plutôt que la loi uniforme pour modéliser une grandeur mesurée autour d'une valeur cible.
Dans un procédé de fabrication bien réglé, les valeurs mesurées se répartissent naturellement de façon symétrique autour d'une valeur cible, avec une concentration plus forte près de cette valeur et de moins en moins de mesures en s'en éloignant : c'est exactement le comportement d'une loi normale. La loi uniforme, où toutes les valeurs d'un intervalle sont également probables, ne rend pas compte de cette concentration autour de la cible.
