Un nombre complexe s'écrit $z=a+ib$, avec $a,b\in\mathbb{R}$ et $i^2=-1$. $a$ est la partie réelle, $b$ la partie imaginaire. Le conjugué de $z$ est $\bar z = a-ib$.
Le module de $z=a+ib$ est $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$. L'argument $\theta=\arg(z)$ est l'angle tel que $a=|z|\cos\theta$ et $b=|z|\sin\theta$.
3. Forme trigonométrique et forme exponentielle
Tout complexe non nul s'écrit $z=r(\cos\theta+i\sin\theta) = re^{i\theta}$, avec $r=|z|$. Pour multiplier ou diviser : $r_1e^{i\theta_1}\times r_2e^{i\theta_2} = r_1r_2\,e^{i(\theta_1+\theta_2)}$.
4. Application à l'électricité : impédance complexe
En régime sinusoïdal forcé de pulsation $\omega$, on associe à une tension ou un courant un nombre complexe. L'impédance complexe $\underline Z$ d'un dipôle relie tension et courant complexes par la loi d'Ohm généralisée $\underline U = \underline Z\,\underline I$ :
(En électricité, on note $j$ le nombre imaginaire tel que $j^2=-1$, pour ne pas le confondre avec l'intensité $i$.) Pour un circuit RLC série : $\underline Z = R + j\left(L\omega - \dfrac{1}{C\omega}\right)$.
Exercices Corrigés
On donne $z_1=3+2i$ et $z_2=1-4i$. Calculer $z_1+z_2$ et $z_1\times z_2$.
Un circuit RLC série a $R=100\ \Omega$, $L=0{,}2$ H, $C=50\ \mu F$, à la pulsation $\omega=100$ rad/s. Calculer $\underline Z = R+j(L\omega-\dfrac1{C\omega})$.
Un condensateur a pour impédance $\underline Z_C = -\dfrac{j}{C\omega}$ avec $C=100\ \mu F$ et $\omega=1000$ rad/s. Calculer $\underline Z_C$ et son module.
On donne $\underline U = 220e^{j\pi/3}$ V et $\underline Z = 50e^{j\pi/6}$ $\Omega$. Calculer $\underline I = \underline U/\underline Z$ sous forme exponentielle.
$|\underline I|=\dfrac{220}{50}=4{,}4$ A. $\arg(\underline I)=\dfrac\pi3-\dfrac\pi6=\dfrac\pi6$. $\underline I=4{,}4\,e^{j\pi/6}$ A.
Pour un circuit RLC série, la résonance ($L\omega=\dfrac1{C\omega}$) est obtenue avec $L=0{,}5$ H et $C=20\ \mu F$. Calculer la pulsation de résonance $\omega_0$.
