Les solutions de l'équation différentielle $y'=ay$ ($a$ constante réelle), sur $\mathbb{R}$, sont les fonctions $y(x)=Ce^{ax}$, où $C$ est une constante réelle déterminée par une condition initiale.
2. Équation $y'=ay+b$
Pour $a\neq0$, les solutions de $y'=ay+b$ sont $y(x) = Ce^{ax} - \dfrac{b}{a}$, $C\in\mathbb{R}$. La fonction constante $y_p=-\dfrac{b}{a}$ est une solution particulière (elle vérifie $y_p'=0=ay_p+b$), à laquelle on ajoute la solution générale de $y'=ay$.
3. Détermination de la constante
La constante $C$ se détermine à l'aide d'une condition initiale, par exemple la valeur $y(0)$ connue.
4. Application : charge et décharge d'un condensateur (circuit RC)
Dans un circuit RC série soumis à un échelon de tension $E$, la tension $u_C$ aux bornes du condensateur vérifie :
On pose $\tau = RC$ (constante de temps, en secondes). En charge, avec $u_C(0)=0$ : $u_C(t) = E\left(1-e^{-t/\tau}\right)$. En décharge (condensateur chargé à $E$, sans source), $u_C'(t)=-\dfrac1\tau u_C(t)$ et $u_C(t) = Ee^{-t/\tau}$.
5. Application : circuit RL
Dans un circuit RL série soumis à un échelon $E$, l'intensité $i(t)$ vérifie $L\,i'(t)+Ri(t)=E$, soit $i'(t) = -\dfrac{R}{L}i(t)+\dfrac{E}{L}$, de constante de temps $\tau=\dfrac{L}{R}$.
Exercices Corrigés
Résoudre l'équation différentielle $y'=4y$ sur $\mathbb{R}$.
$y(x)=Ce^{4x}$, $C\in\mathbb{R}$.
(suite) Déterminer la solution vérifiant $y(0)=5$.
(suite) Déterminer la solution vérifiant $y(0)=10$.
$y(0)=C+3=10 \iff C=7$. $y(x)=7e^{-2x}+3$.
Un circuit RC a $R=1000\ \Omega$ et $C=200\ \mu F$. Calculer la constante de temps $\tau=RC$ (en secondes).
$\tau=1000\times200\times10^{-6}=0{,}2$ s.
(suite) Le condensateur, initialement déchargé, est soumis à un échelon $E=9$ V. Écrire l'expression de $u_C(t)$, puis calculer $u_C(\tau)$ arrondie au dixième.
$u_C(t)=9(1-e^{-t/0{,}2})$. $u_C(\tau)=9(1-e^{-1})\approx9\times0{,}632\approx5{,}7$ V.
(suite) Déterminer le temps nécessaire pour que $u_C(t)$ atteigne 99% de $E$.
$9(1-e^{-t/0{,}2})=0{,}99\times9 \iff e^{-t/0{,}2}=0{,}01 \iff t=-0{,}2\ln(0{,}01)\approx0{,}2\times4{,}605\approx0{,}921$ s.
Un condensateur chargé à $E=12$ V se décharge dans une résistance, avec $\tau=0{,}1$ s. Écrire $u_C(t)$ pendant la décharge, et calculer $u_C(0{,}3)$ arrondie au dixième.
$u_C(t)=12e^{-t/0{,}1}$. $u_C(0{,}3)=12e^{-3}\approx12\times0{,}0498\approx0{,}6$ V.
Dans un circuit RL, $R=50\ \Omega$ et $L=0{,}5$ H, soumis à un échelon $E=20$ V. Calculer $\tau=L/R$, puis écrire l'équation différentielle vérifiée par $i(t)$.
$\tau=0{,}5/50=0{,}01$ s. $i'(t)=-\dfrac{50}{0{,}5}i(t)+\dfrac{20}{0{,}5}=-100i(t)+40$.
(suite) Sachant que $i(0)=0$, résoudre l'équation pour obtenir $i(t)$, puis calculer $\lim_{t\to+\infty} i(t)$ et interpréter.
$i_p=-\dfrac{40}{-100}=0{,}4$. $i(t)=Ce^{-100t}+0{,}4$. $i(0)=C+0{,}4=0 \Rightarrow C=-0{,}4$. $i(t)=0{,}4\left(1-e^{-100t}\right)$ A. $\lim_{t\to+\infty} i(t)=0{,}4$ A $=E/R$ : en régime permanent, la bobine se comporte comme un simple fil et le courant est limité uniquement par la résistance.
