Fonction exponentielle et fonction logarithme
Cours
1. Fonction exponentielle
La fonction exponentielle $x\mapsto e^x$ est l'unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ égale à sa dérivée et telle que $e^0=1$. Elle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, à valeurs strictement positives. Pour tous réels $a,b$ : $e^{a+b}=e^ae^b$, $e^{-a}=\dfrac{1}{e^a}$.
$$\lim_{x\to+\infty} e^x=+\infty \qquad \lim_{x\to-\infty} e^x=0$$
Pour $f(x)=e^{u(x)}$ : $f'(x)=u'(x)e^{u(x)}$.
2. Fonction logarithme népérien
La fonction $\ln$, définie sur $]0;+\infty[$, est la fonction réciproque de l'exponentielle : $y=\ln x \iff x=e^y$ (pour $x>0$). On a $\ln 1=0$, $\ln e=1$, $\ln(ab)=\ln a+\ln b$, $\ln(a^n)=n\ln a$. $\ln'(x)=\dfrac1x$, $\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
$$\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty \qquad \lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$$
3. Logarithme décimal
Le logarithme décimal (base 10), noté $\log$, est défini par $\log x = \dfrac{\ln x}{\ln 10}$ pour $x>0$. Il vérifie les mêmes propriétés algébriques que $\ln$, avec $\log 10=1$ et $\log 1=0$. Il est très utilisé en physique : niveau sonore en décibels, pH, magnitude de Richter, décades en électronique.
4. Applications physiques
Niveau sonore : $L=10\log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$ (en dB), où $I_0=10^{-12}\ \text{W/m}^2$.
Décroissance radioactive : $N(t)=N_0e^{-\lambda t}$, demi-vie $t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{\lambda}$.
Charge/décharge d'un condensateur : tension de la forme $u(t)=E\left(1-e^{-t/\tau}\right)$ ou $u(t)=Ee^{-t/\tau}$, où $\tau$ est la constante de temps du circuit.