Géométrie repérée du plan

On considère les points : \[ A(2;1) \qquad\text{et}\qquad B(5;7). \]

Les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) sont : \[ \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B-x_A\\ y_B-y_A \end{pmatrix}. \]

Donc : \[ \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 5-2\\ 7-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\ 6 \end{pmatrix}. \]

Calculons maintenant la longueur \(AB\). On utilise la formule : \[ AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}. \]

Ainsi : \[ AB = \sqrt{3^2+6^2} = \sqrt{9+36} = \sqrt{45}. \]

Comme : \[ \sqrt{45}=3\sqrt{5}, \] on obtient alors : \[ \boxed{AB=3\sqrt{5}}. \]

On considère les deux vecteurs : \[ \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 2\\ 6 \end{pmatrix} \qquad\text{et}\qquad \overrightarrow{v} \begin{pmatrix} 1\\ 3 \end{pmatrix}. \]

Pour savoir s'ils sont colinéaires, on vérifie s'il existe un réel \(k\) tel que : \[ \overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v}. \]

On remarque que : \[ \begin{pmatrix} 2\\ 6 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 1\\ 3 \end{pmatrix}. \]

Ainsi : \[ \overrightarrow{u}=2\overrightarrow{v}. \]

Les deux vecteurs sont donc colinéaires.

Une droite de vecteur normal \[ \overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix} \] a une équation cartésienne de la forme : \[ ax+by+c=0. \]

Ici : \[ a=2 \qquad\text{et}\qquad b=-3. \]

L'équation est donc de la forme : \[ 2x-3y+c=0. \]

Comme la droite passe par \(A(1;4)\), les coordonnées de \(A\) vérifient l'équation : \[ 2\times1-3\times4+c=0. \]

Donc : \[ 2-12+c=0 \]

d'où : \[ c=10. \]

Une équation cartésienne de la droite est donc \(2x-3y+10=0\).

Pour une droite d'équation cartésienne \[ ax+by+c=0, \] un vecteur normal est : \[ \overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}. \]

Ici, un vecteur normal est donc : \[ \overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 3\\ 2 \end{pmatrix}. \]

Un vecteur directeur est orthogonal au vecteur normal. On peut donc choisir : \[ \overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} -b\\ a \end{pmatrix}. \]

Ainsi : \[ \overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} -2\\ 3 \end{pmatrix}. \]

Vérification : \[ \begin{pmatrix} 3\\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2\\ 3 \end{pmatrix} = 3(-2)+2(3) = -6+6 = 0. \]

Les deux vecteurs sont donc orthogonaux.

L'équation réduite d'une droite est de la forme : \[ y=mx+p. \]

Calculons le coefficient directeur \(m\) : \[ m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}. \]

Donc : \[ m=\frac{5-1}{2-0} =\frac{4}{2} =2. \]

L'équation est donc : \[ y=2x+p. \]

Comme le point \(A(0;1)\) appartient à la droite, on remplace \(x\) par \(0\) et \(y\) par \(1\) : \[ 1=2\times0+p. \]

Ainsi : \[ p=1. \]

L'équation réduite de la droite \((AB)\) est donc \(y=2x+1\).

Les coefficients directeurs sont : \[ m_1=3 \qquad\text{et}\qquad m_2=-\frac{1}{3}. \]

Deux droites non verticales sont perpendiculaires si le produit de leurs coefficients directeurs est égal à \(-1\).

Calculons : \[ m_1\times m_2 = 3\times\left(-\frac{1}{3}\right) = -1. \]

La condition de perpendicularité est donc vérifiée.

Calculons les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) :

\[ \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 3-1\\ 5-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\ 4 \end{pmatrix} \]

et

\[ \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 5-1\\ 9-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\\ 8 \end{pmatrix}. \]

On remarque que : \[ \begin{pmatrix} 4\\ 8 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 2\\ 4 \end{pmatrix}. \]

Donc : \[ \overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}. \] Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont donc colinéaires.

Comme les deux vecteurs partent du même point \(A\), les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés.

Un vecteur normal associé est $\vec{n}(2;-1)$ (orthogonal à $\vec{u}$ : $1\times2+2\times(-1)=0$).

Équation : $2x-y+c=0$, avec $A(2;3)$ : $4-3+c=0 \Rightarrow c=-1$.

Équation : $2x-y-1=0$.

Deux droites parallèles ont le même coefficient directeur. La droite recherchée a donc pour coefficient directeur : \[ m=4. \]

Son équation est donc de la forme : \[ y=4x+p. \]

Comme elle passe par le point \(A(1;2)\), on remplace \(x\) par \(1\) et \(y\) par \(2\) : \[ 2=4\times1+p. \]

Ainsi : \[ 2=4+p \] d'où : \[ p=-2. \]

L'équation de la droite parallèle à \(y=4x-1\) passant par \(A(1;2)\) est donc : \[ \boxed{y=4x-2}. \]

Leurs coefficients directeurs sont respectivement : \[ m_1=m \qquad\text{et}\qquad m_2=2. \]

Deux droites non verticales sont perpendiculaires si le produit de leurs coefficients directeurs est égal à \(-1\).

On doit donc avoir : \[ m\times2=-1. \]

Ainsi : \[ 2m=-1 \]

d'où : \[ \boxed{m=-\frac{1}{2}}. \]