Fonctions trigonométriques

Cours

1. Cercle trigonométrique et radian

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$. Un angle de $\pi$ radians correspond à $180°$.

2. Cosinus et sinus d'un nombre réel

Pour un réel $x$, le point $M$ image de $x$ sur le cercle trigonométrique a pour coordonnées $(\cos x \ ; \ \sin x)$.

3. Valeurs remarquables

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x & 0 & \pi/6 & \pi/4 & \pi/3 & \pi/2 \\\hline \cos x & 1 & \sqrt3/2 & \sqrt2/2 & 1/2 & 0 \\\hline \sin x & 0 & 1/2 & \sqrt2/2 & \sqrt3/2 & 1 \\\hline \end{array}$$

4. Propriétés

Pour tout réel $x$ :

$$\cos^2x+\sin^2x=1$$

Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période $2\pi$. La fonction cosinus est paire ($\cos(-x)=\cos(x)$), la fonction sinus est impaire ($\sin(-x)=-\sin(x)$).

Angles associés : $\cos(\pi-x)=-\cos(x)$, $\sin(\pi-x)=\sin(x)$, $\cos(\pi+x)=-\cos(x)$, $\sin(\pi+x)=-\sin(x)$.

5. Résolution d'équations trigonométriques

Pour un réel $a$ donné :

$$\cos(x)=\cos(a) \iff x=a+2k\pi \text{ ou } x=-a+2k\pi \ (k \in \mathbb{Z})$$

$$\sin(x)=\sin(a) \iff x=a+2k\pi \text{ ou } x=\pi-a+2k\pi \ (k \in \mathbb{Z})$$

Exercices Corrigés

Convertir $45°$ en radians.

Convertir $\dfrac{5\pi}{6}$ en degrés.

Donner $\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$.

Calculer $\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)$ en utilisant les angles associés.

Résoudre $\cos(x)=\dfrac{1}{2}$ sur $[-\pi;\pi]$.

Résoudre $\sin(x)=\dfrac{\sqrt2}{2}$ sur $[0;2\pi]$.

Vérifier que $\cos^2\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+\sin^2\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1$.

Simplifier $\cos(-x)+\cos(x)$.

Donner le signe de $\sin(x)$ sur $]\pi;2\pi[$.

Résoudre l'équation $2\cos(x)-1=0$ sur $[0;2\pi]$.

QCM notés

QCM noté — Fonctions trigonométriques 10 questions · ⏱ 20 min