Fonction exponentielle
Cours
1. Définition
Il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f'=f$ et $f(0)=1$ : c'est la fonction exponentielle, notée $x \mapsto e^x$.
2. Propriétés algébriques
Pour tous réels $a$ et $b$ :
$$e^{a+b} = e^a \times e^b, \qquad e^{-a} = \dfrac{1}{e^a}, \qquad \dfrac{e^a}{e^b} = e^{a-b}, \qquad e^0=1$$
3. Dérivée
$\left(e^x\right)' = e^x$. Plus généralement, pour $u$ dérivable, $\left(e^u\right)' = u'e^u$.
4. Signe et variations
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb{R}$, et strictement croissante (car sa dérivée $e^x$ est toujours positive).
5. Résolution d'équations
Comme la fonction exponentielle est strictement croissante (donc injective) :
$$e^a = e^b \iff a=b$$
Exercices Corrigés
Simplifier $e^2 \times e^3$.
Simplifier $\dfrac{e^5}{e^2}$.
Résoudre $e^x = e^4$.
Calculer la dérivée de $f(x)=e^{2x}$.
Calculer la dérivée de $f(x)=x+e^x$.
Étudier le signe de $e^x-1$ selon les valeurs de $x$.
Résoudre l'équation $e^{x-1}=1$.
Justifier que $f(x)=e^x$ est toujours strictement positive et strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
Résoudre l'inéquation $e^x \leq e^2$.
Simplifier $\left(e^x\right)^2 \times e^{-x}$.