Dérivation
Cours
1. Nombre dérivé
Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ est $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$. Le nombre dérivé de $f$ en $a$, noté $f'(a)$, est la limite de ce taux quand $h$ tend vers $0$ (lorsqu'elle existe).
2. Tangente
La tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ a pour équation :
$$y = f'(a)(x-a)+f(a)$$
3. Dérivées des fonctions usuelles
$$\left(x^n\right)' = nx^{n-1}, \qquad \left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}, \qquad \left(\sqrt{x}\right)' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$$
4. Opérations sur les dérivées
Pour $u$ et $v$ dérivables :
$$(u+v)' = u'+v', \qquad (uv)' = u'v+uv', \qquad \left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v-uv'}{v^2}$$
5. Dérivée et sens de variation
Si $f'(x) \geq 0$ sur un intervalle $I$, $f$ est croissante sur $I$. Si $f'(x) \leq 0$, $f$ est décroissante.
6. Extremum local
Si $f'$ s'annule en changeant de signe en $x_0$, alors $f$ admet un extremum local en $x_0$.