Second degré
Cours
1. Trinôme du second degré
Un trinôme du second degré s'écrit $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a \neq 0$. Il admet une forme canonique :
$$f(x) = a(x-\alpha)^2+\beta \quad \text{avec} \quad \alpha = -\dfrac{b}{2a}, \quad \beta = f(\alpha)$$
2. Discriminant
Le discriminant est $\Delta = b^2-4ac$.
3. Résolution de $ax^2+bx+c=0$
- Si $\Delta>0$ : deux solutions distinctes $x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
- Si $\Delta=0$ : une solution double $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$
- Si $\Delta<0$ : aucune solution réelle
4. Signe du trinôme
Si $\Delta>0$, le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines, et du signe opposé à $a$ entre les racines. Si $\Delta \leq 0$, le trinôme garde un signe constant (celui de $a$) sur $\mathbb{R}$.
5. Somme et produit des racines
Si $\Delta \geq 0$, les racines $x_1, x_2$ vérifient :
$$x_1+x_2 = -\dfrac{b}{a}, \qquad x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a}$$
6. Lien avec la parabole
La courbe représentative d'un trinôme est une parabole de sommet $S(\alpha;\beta)$, d'axe de symétrie la droite $x=\alpha$. Elle est tournée vers le haut si $a>0$, vers le bas si $a<0$.
Exercices Corrigés
Mettre $f(x)=2x^2-4x+1$ sous forme canonique.
Calculer le discriminant de $f(x)=x^2-5x+6$ et résoudre $f(x)=0$.
Résoudre $3x^2+2x+5=0$.
Résoudre $x^2-6x+9=0$.
Déterminer le sommet de la parabole représentant $f(x)=x^2-4x+3$.
Étudier le signe de $f(x)=-x^2+3x+4$.
Sans calculer le discriminant, donner la somme et le produit des racines de $x^2-7x+12=0$, puis en déduire les racines.
Déterminer $m$ pour que $x^2+mx+9=0$ ait une racine double.
Résoudre l'inéquation $x^2-x-6 \leq 0$.
Un objet est lancé et sa hauteur (en mètres) est modélisée par $h(t)=-5t^2+20t+1$ ($t$ en secondes). Déterminer la hauteur maximale atteinte et l'instant correspondant.