Suites numériques
Cours
1. Généralités
Une suite numérique $(u_n)$ est une fonction définie sur $\mathbb{N}$ (ou une partie de $\mathbb{N}$) à valeurs dans $\mathbb{R}$. Elle peut être définie :
- de façon explicite : $u_n = f(n)$ (on calcule directement n'importe quel terme)
- par récurrence : on donne $u_0$ et une relation $u_{n+1}=f(u_n)$ (chaque terme dépend du précédent)
2. Sens de variation
$(u_n)$ est croissante si $u_{n+1} \geq u_n$ pour tout $n$ ; décroissante si $u_{n+1} \leq u_n$ pour tout $n$.
3. Suites arithmétiques
$(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ si $u_{n+1}=u_n+r$ pour tout $n$. Terme général :
$$u_n = u_0 + nr$$
Somme des $n+1$ premiers termes :
$$u_0+u_1+\cdots+u_n = \dfrac{(n+1)(u_0+u_n)}{2}$$
4. Suites géométriques
$(u_n)$ est géométrique de raison $q$ si $u_{n+1}=q \times u_n$ pour tout $n$. Terme général :
$$u_n = u_0 \times q^n$$
Somme des $n+1$ premiers termes (si $q \neq 1$) :
$$u_0+u_1+\cdots+u_n = u_0 \times \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$$
5. Comportement à l'infini (suites géométriques)
Pour $u_0>0$ :
- si $q>1$ : $(u_n)$ tend vers $+\infty$
- si $-1
- si $q=1$ : $(u_n)$ est constante
Exercices Corrigés
Une suite est définie par $u_0=5$ et $u_{n+1}=u_n+3$. Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$, puis donner le terme général.
Une suite est définie par $v_0=2$ et $v_{n+1}=3v_n$. Calculer $v_1$, $v_2$, $v_3$, puis donner le terme général.
Étudier le sens de variation de la suite arithmétique $u_n=2n-5$.
Calculer la somme des 10 premiers termes de la suite arithmétique de premier terme $3$ et de raison $4$.
Calculer $S = 1+3+9+27+\cdots+3^6$.
La suite $(u_n)$ est définie par $u_n = \dfrac{n+1}{n+2}$. Étudier son sens de variation en étudiant le signe de $u_{n+1}-u_n$.
Une suite géométrique a pour premier terme $100$ et raison $0{,}5$. Décrire son comportement quand $n$ tend vers $+\infty$.
Pour quelle valeur de $n$ la suite arithmétique $u_n=5+2n$ dépasse-t-elle $50$ pour la première fois ?
Un capital de $2000$€ augmente de $3\%$ chaque année. Modéliser cette situation par une suite et calculer le capital après 5 ans.
Une entreprise perd $200$ clients par mois ; elle en avait $5000$ au départ. Modéliser par une suite arithmétique et déterminer après combien de mois elle n'aura plus aucun client.