Une expérience aléatoire a plusieurs issues possibles, formant l'univers $\Omega$. Un événement est un ensemble d'issues. La probabilité d'un événement $A$, notée $P(A)$, est comprise entre 0 et 1 ; $P(\Omega)=1$.
2. Calculs de probabilités
Si toutes les issues sont équiprobables : $P(A) = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables à }A}{\text{nombre d'issues possibles}}$.
Pour deux événements $A$ et $B$ : $P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B)$. Si $A$ et $B$ sont incompatibles ($A\cap B=\emptyset$) : $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.
L'événement contraire de $A$, noté $\overline A$, vérifie $P(\overline A) = 1-P(A)$.
3. Arbre pondéré
Pour une expérience à plusieurs étapes, un arbre pondéré permet de visualiser les différentes issues. La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches ; la probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui y mènent.
4. Variable aléatoire simple
Une variable aléatoire $X$ associe une valeur numérique à chaque issue d'une expérience aléatoire. Sa loi de probabilité donne, pour chaque valeur possible, sa probabilité. L'espérance $E(X)=\sum p_ix_i$ représente la valeur moyenne attendue si l'on répète l'expérience un grand nombre de fois.
Exercices Corrigés
On lance un dé équilibré à 6 faces. Calculer la probabilité d'obtenir un nombre pair.
Issues favorables : 2, 4, 6, soit 3 sur 6. $P=\dfrac36=0{,}5$.
Une urne contient 4 boules rouges, 3 bleues et 5 vertes. On tire une boule au hasard. Calculer la probabilité de tirer une boule rouge ou bleue.
Total : 12 boules. $P(\text{rouge})=\dfrac4{12}$, $P(\text{bleue})=\dfrac3{12}$, événements incompatibles. $P(\text{rouge ou bleue})=\dfrac7{12}$.
Soit $A$ un événement tel que $P(A)=0{,}35$. Calculer la probabilité de l'événement contraire.
$P(\overline A)=1-0{,}35=0{,}65$.
Un QCM propose 4 réponses possibles par question, une seule étant correcte. Un élève répond au hasard. Calculer la probabilité qu'il réponde correctement.
$P=\dfrac14=0{,}25$.
Dans une entreprise, 40% des employés sont cadres. Parmi les cadres, 60% ont plus de 5 ans d'ancienneté ; parmi les non-cadres, 30%. Calculer la probabilité qu'un employé pris au hasard soit cadre et ait plus de 5 ans d'ancienneté.
$P(\text{cadre})=0{,}4$, $P_{\text{cadre}}(\text{anc.}>5)=0{,}6$. $P(\text{cadre et anc.}>5)=0{,}4\times0{,}6=0{,}24$.
(suite) Calculer la probabilité qu'un employé ait plus de 5 ans d'ancienneté.
On lance deux dés équilibrés. Calculer la probabilité que la somme des deux dés soit égale à 8.
Issues favorables : $(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)$, soit 5 sur 36. $P=\dfrac5{36}\approx0{,}139$.
Une entreprise reçoit en moyenne 3% de commandes défectueuses. Soit $X$ la variable qui vaut 1 si une commande prise au hasard est défectueuse, 0 sinon. Donner la loi de $X$ et calculer $E(X)$.
Un jeu propose de gagner 10€ avec une probabilité de 0,2, de gagner 2€ avec une probabilité de 0,5, et de ne rien gagner sinon. Calculer l'espérance de gain de ce jeu.
(suite) Ce jeu coûte 4€ pour y participer. Est-il favorable au joueur en moyenne ? Justifier.
L'espérance de gain (3€) est inférieure au coût de participation (4€) : en moyenne, le joueur perd 1€ par partie. Le jeu n'est donc pas favorable au joueur.
