Pour une série de valeurs $x_1,\ldots,x_n$ (avec effectifs $n_1,\ldots,n_k$), la moyenne est $\bar x = \dfrac{\sum n_i x_i}{\sum n_i}$.
2. Médiane et quartiles
La médiane $Me$ partage la série triée en deux effectifs égaux. Les quartiles $Q_1$ et $Q_3$ la partagent en quatre parties égales. L'écart interquartile $Q_3-Q_1$ mesure la dispersion des valeurs centrales.
3. Écart-type
L'écart-type $\sigma$ mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne : $\sigma = \sqrt{\dfrac{\sum n_i(x_i-\bar x)^2}{\sum n_i}}$. Plus $\sigma$ est grand, plus les valeurs sont dispersées.
4. Diagrammes
Une série statistique peut être représentée par différents diagrammes : diagramme en bâtons ou histogramme (répartition des effectifs), diagramme en boîte (boîte à moustaches, construite à partir du minimum, $Q_1$, la médiane, $Q_3$ et le maximum), qui permet de visualiser rapidement la dispersion d'une série.
Exercices Corrigés
Un magasin relève les ventes journalières (en unités) sur 5 jours : 12, 15, 9, 18, 21. Calculer la moyenne.
$\bar x = \dfrac{12+15+9+18+21}{5} = \dfrac{75}{5} = 15$.
Une série de notes est donnée avec effectifs : note 8 (effectif 3), note 12 (effectif 5), note 16 (effectif 2). Calculer la moyenne de la classe (10 élèves).
$\bar x = \dfrac{8\times3+12\times5+16\times2}{10} = \dfrac{24+60+32}{10} = 11{,}6$.
$Q_1$ : $0{,}25\times9=2{,}25\to$ 3e valeur $=7$. $Q_3$ : $0{,}75\times9=6{,}75\to$ 7e valeur $=14$.
(suite) Calculer l'écart interquartile et interpréter.
$Q_3-Q_1=14-7=7$. Cet écart mesure la dispersion des 50% de valeurs centrales de la série.
Une série de salaires a une moyenne de 25 (centaines d'euros) et un écart-type de 3 ; une autre a une moyenne de 25 et un écart-type de 8. Laquelle est la plus homogène ?
La série avec l'écart-type le plus faible (3) est la plus homogène : ses valeurs sont moins dispersées autour de la moyenne que celles de la seconde série (écart-type 8).
Une série de 5 valeurs est : 10, 12, 12, 14, 12. Calculer la moyenne, puis l'écart-type, arrondi au centième.
Pour une boîte à moustaches, on donne : minimum=5, $Q_1$=8, médiane=11, $Q_3$=15, maximum=22. Décrire l'allure de cette boîte et interpréter la position de la médiane par rapport aux quartiles.
La boîte s'étend de $Q_1=8$ à $Q_3=15$, avec un trait à la médiane 11 à l'intérieur ; des « moustaches » relient la boîte au minimum (5) et au maximum (22). La médiane (11) est plus proche de $Q_1$ (8) que de $Q_3$ (15) : la moitié inférieure des valeurs centrales est un peu plus resserrée que la moitié supérieure.
Deux entreprises A et B ont chacune un salaire moyen de 2200€. L'entreprise A a un écart-type de 150€, l'entreprise B de 600€. Interpréter cette différence.
Bien que les salaires moyens soient identiques, l'entreprise A présente une répartition des salaires plus homogène (écart-type plus faible) : les salaires y sont plus proches les uns des autres. L'entreprise B, avec un écart-type plus élevé, a des salaires beaucoup plus dispersés.
Une série de 20 valeurs a pour minimum 2 et maximum 30, médiane 16, $Q_1=10$ et $Q_3=22$. Un observateur affirme que la moitié des valeurs sont dans $[10;22]$. A-t-il raison ? Justifier.
Oui : par définition, $Q_1$ et $Q_3$ délimitent l'intervalle contenant les 50% des valeurs centrales de la série, donc exactement la moitié des valeurs se situe dans $[Q_1;Q_3]=[10;22]$.
